結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法

1、5 動(dòng)態(tài)分析有限元法動(dòng)態(tài)分析有限元法工程中受動(dòng)載荷的產(chǎn)品：受道路載荷的汽車；受風(fēng)載的雷達(dá)；工程中受動(dòng)載荷的產(chǎn)品：受道路載荷的汽車；受風(fēng)載的雷達(dá)；受海浪沖擊的海洋平臺(tái)；受偏心離心力作用的旋轉(zhuǎn)機(jī)械等。受海浪沖擊的海洋平臺(tái)；受偏心離心力作用的旋轉(zhuǎn)機(jī)械等。動(dòng)態(tài)分析的必要性：當(dāng)產(chǎn)品受到隨時(shí)間變化的動(dòng)載荷時(shí)，需動(dòng)態(tài)分析的必要性：當(dāng)產(chǎn)品受到隨時(shí)間變化的動(dòng)載荷時(shí)，需要進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，以了解產(chǎn)品動(dòng)態(tài)特性。要進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，以了解產(chǎn)品動(dòng)態(tài)特性。動(dòng)載荷（又稱動(dòng)力分析）動(dòng)載荷（又稱動(dòng)力分析）固有特性分析固有特性分析響應(yīng)分析響應(yīng)分析固固有有頻頻率率振振型型位位移移響響應(yīng)應(yīng)速速度度響響應(yīng)應(yīng)加加速速度度響響應(yīng)應(yīng)動(dòng)動(dòng)應(yīng)應(yīng)變變動(dòng)動(dòng)

2、應(yīng)應(yīng)力力固有特性：是一組模態(tài)參數(shù)構(gòu)成，它由結(jié)構(gòu)本身（質(zhì)量與剛度固有特性：是一組模態(tài)參數(shù)構(gòu)成，它由結(jié)構(gòu)本身（質(zhì)量與剛度分布）決定，而與外部載荷無(wú)關(guān)，但決定了結(jié)構(gòu)對(duì)動(dòng)載荷的響應(yīng)；分布）決定，而與外部載荷無(wú)關(guān)，但決定了結(jié)構(gòu)對(duì)動(dòng)載荷的響應(yīng)；響應(yīng)分析：是計(jì)算結(jié)構(gòu)對(duì)給定動(dòng)載荷的各種響應(yīng)特性。響應(yīng)分析：是計(jì)算結(jié)構(gòu)對(duì)給定動(dòng)載荷的各種響應(yīng)特性。第一節(jié)第一節(jié) 動(dòng)態(tài)分析有限元法的特點(diǎn)動(dòng)態(tài)分析有限元法的特點(diǎn)一、載荷特點(diǎn)一、載荷特點(diǎn) 結(jié)構(gòu)所受的載荷是隨時(shí)間變化的動(dòng)載荷。結(jié)構(gòu)所受的載荷是隨時(shí)間變化的動(dòng)載荷。 這是與靜力分析的一個(gè)根這是與靜力分析的一個(gè)根本區(qū)別。本區(qū)別。二、位移特點(diǎn)二、位移特點(diǎn) 1、節(jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)位移q不僅

3、是坐標(biāo)的函數(shù)，而且也是時(shí)間的函數(shù)。仍以不僅是坐標(biāo)的函數(shù)，而且也是時(shí)間的函數(shù)。仍以節(jié)節(jié)點(diǎn)位移點(diǎn)位移q作為基本未知量。作為基本未知量。 2、節(jié)點(diǎn)具有速度、節(jié)點(diǎn)具有速度 加速度。加速度。 qq 和3、利用節(jié)點(diǎn)位移插值表示單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移、利用節(jié)點(diǎn)位移插值表示單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移一般仍采用與靜力分析相同的形函數(shù)，一般仍采用與靜力分析相同的形函數(shù)，N。當(dāng)單元數(shù)量較多時(shí)，上述。當(dāng)單元數(shù)量較多時(shí)，上述插值可以得到較好的插值精度。插值可以得到較好的插值精度。4、在線彈性條件下，單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系仍為、在線彈性條件下，單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系仍為 但這時(shí)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力都是某一時(shí)刻的

4、瞬時(shí)值，它們都是隨時(shí)間但這時(shí)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力都是某一時(shí)刻的瞬時(shí)值，它們都是隨時(shí)間t變化的函數(shù)。變化的函數(shù)。 edNq= eeBqDBq=5、由于節(jié)點(diǎn)具有速度和加速度，結(jié)構(gòu)將受到阻尼和慣性力的作用。、由于節(jié)點(diǎn)具有速度和加速度，結(jié)構(gòu)將受到阻尼和慣性力的作用。根據(jù)達(dá)朗伯原理，引入慣性力和阻尼力之后結(jié)構(gòu)仍處于平衡狀態(tài)，因根據(jù)達(dá)朗伯原理，引入慣性力和阻尼力之后結(jié)構(gòu)仍處于平衡狀態(tài)，因此動(dòng)態(tài)分析中仍可采用虛位移原理來(lái)建立單元特性方程，然后再集成。此動(dòng)態(tài)分析中仍可采用虛位移原理來(lái)建立單元特性方程，然后再集成。整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程為整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程為式又稱運(yùn)動(dòng)方程，它不再是靜力問(wèn)題那樣的線性方程，而是一個(gè)二階

5、式又稱運(yùn)動(dòng)方程，它不再是靜力問(wèn)題那樣的線性方程，而是一個(gè)二階常微分方程組。常微分方程組。 MqCqKqR t求解過(guò)程復(fù)雜，建立有限元模型時(shí)要特別注意控制模型規(guī)模。求解過(guò)程復(fù)雜，建立有限元模型時(shí)要特別注意控制模型規(guī)模。第二節(jié)第二節(jié) 動(dòng)態(tài)分析有限元法的一般步驟動(dòng)態(tài)分析有限元法的一般步驟一、結(jié)構(gòu)離散一、結(jié)構(gòu)離散該步驟與靜力分析完全相同，只是應(yīng)該分析內(nèi)容不同，對(duì)網(wǎng)格形式的要求該步驟與靜力分析完全相同，只是應(yīng)該分析內(nèi)容不同，對(duì)網(wǎng)格形式的要求有可能不一樣。有可能不一樣。靜力分析：要求在應(yīng)力集中部位加密網(wǎng)格；靜力分析：要求在應(yīng)力集中部位加密網(wǎng)格；動(dòng)態(tài)分析：由于固有頻率和振型主要與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度分布有關(guān)，要

6、求動(dòng)態(tài)分析：由于固有頻率和振型主要與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度分布有關(guān)，要求整個(gè)結(jié)構(gòu)采用盡可能均勻的網(wǎng)格形式。整個(gè)結(jié)構(gòu)采用盡可能均勻的網(wǎng)格形式。二、單元分析二、單元分析單元分析的任務(wù)仍是建立單元特性矩陣，形成單元特性方程。單元分析的任務(wù)仍是建立單元特性矩陣，形成單元特性方程。動(dòng)態(tài)分析中，動(dòng)態(tài)分析中，單元特性矩陣：剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。單元特性矩陣：剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。動(dòng)態(tài)分析中，仍采用虛位移原理建立單元特性矩陣。動(dòng)態(tài)分析中，仍采用虛位移原理建立單元特性矩陣。在動(dòng)載荷作用下，對(duì)于任一瞬時(shí)，設(shè)單元節(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移在動(dòng)載荷作用下，對(duì)于任一瞬時(shí)，設(shè)單元節(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移 ，則單元，則單元內(nèi)也產(chǎn)生相應(yīng)

7、的虛位移內(nèi)也產(chǎn)生相應(yīng)的虛位移 和虛應(yīng)變和虛應(yīng)變 。單元內(nèi)產(chǎn)生的虛應(yīng)變能為。單元內(nèi)產(chǎn)生的虛應(yīng)變能為: d eq TVUdV單元除受動(dòng)載荷外，還有加速度和速度引起的慣性力單元除受動(dòng)載荷外，還有加速度和速度引起的慣性力 和阻尼力和阻尼力 ，其中，其中為材料密度，為材料密度，v是線性阻尼系數(shù)。外力所做的虛功為：是線性阻尼系數(shù)。外力所做的虛功為： d dV d dV TTTvscVATTVVWdP dVdP dAdPdd dVdd dV 式中，式中，Pv、Ps、Pc分別為作用于單元上的動(dòng)態(tài)體力、動(dòng)態(tài)面力和動(dòng)態(tài)分別為作用于單元上的動(dòng)態(tài)體力、動(dòng)態(tài)面力和動(dòng)態(tài)集中力；集中力；V為單元面積；為單元面積；A為單元面

8、積。為單元面積。UW eeeedNqdNqdNqBq由于由于且形函數(shù)僅為坐標(biāo)且形函數(shù)僅為坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此有的函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此有 ,eedNqBq根據(jù)虛位移原理，有根據(jù)虛位移原理，有代入經(jīng)整理，可得單元運(yùn)動(dòng)方程為代入經(jīng)整理，可得單元運(yùn)動(dòng)方程為 eeeeeeemqcqkqR t式中式中 eTVkBDB dV分別稱為單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，它們就是決定單元?jiǎng)討B(tài)性能的分別稱為單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，它們就是決定單元?jiǎng)討B(tài)性能的特性矩陣。特性矩陣。稱為單元節(jié)點(diǎn)動(dòng)載荷列陣，它是作用在單元上的體力、面力和集中力向單元節(jié)稱為單元節(jié)點(diǎn)動(dòng)載荷列陣，它是作用在單元上

9、的體力、面力和集中力向單元節(jié)點(diǎn)移置的結(jié)果。點(diǎn)移置的結(jié)果。 eTVmNN dV eTVcNN dV eTTTvscVAR tNP dVNP dANP在動(dòng)態(tài)分析和靜力分析中，單元的剛度矩陣是相同的，外部載荷的移置原理也一樣。在動(dòng)態(tài)分析和靜力分析中，單元的剛度矩陣是相同的，外部載荷的移置原理也一樣。 20101002010110201001020112101020010102ectAm在動(dòng)態(tài)分析中，單元的質(zhì)量矩陣通常采用以下兩種形式。在動(dòng)態(tài)分析中，單元的質(zhì)量矩陣通常采用以下兩種形式。1、一致質(zhì)量矩陣、一致質(zhì)量矩陣按按 形成的單元質(zhì)量矩陣稱為一致質(zhì)量矩陣，因?yàn)樾纬傻膯卧|(zhì)量矩陣稱為一致質(zhì)量矩陣，因?yàn)樗?/p>

10、采用了和剛度一致的形函數(shù)。這種質(zhì)量矩陣取決于單元的類型和形函它采用了和剛度一致的形函數(shù)。這種質(zhì)量矩陣取決于單元的類型和形函數(shù)的形式。數(shù)的形式。 eTVmNN dV 1000000100000010000001003000010000001eltAm2、集中質(zhì)量矩陣、集中質(zhì)量矩陣集中質(zhì)量矩陣將單元的分布質(zhì)量按等效原則分配在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上，等效原則集中質(zhì)量矩陣將單元的分布質(zhì)量按等效原則分配在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上，等效原則就是要求不改變?cè)瓎卧馁|(zhì)量中心，這樣形成的質(zhì)量矩陣稱為集中質(zhì)量矩就是要求不改變?cè)瓎卧馁|(zhì)量中心，這樣形成的質(zhì)量矩陣稱為集中質(zhì)量矩陣。集中質(zhì)量矩陣是一個(gè)對(duì)角陣，陣。集中質(zhì)量矩陣是一個(gè)對(duì)角陣，集中質(zhì)

11、量矩陣：是一個(gè)對(duì)角陣，因而可簡(jiǎn)化動(dòng)態(tài)計(jì)算，減小存儲(chǔ)容量。利集中質(zhì)量矩陣：是一個(gè)對(duì)角陣，因而可簡(jiǎn)化動(dòng)態(tài)計(jì)算，減小存儲(chǔ)容量。利用這種矩陣計(jì)算出的結(jié)構(gòu)固有頻率偏低。不過(guò)有限元模型本身比實(shí)際結(jié)構(gòu)用這種矩陣計(jì)算出的結(jié)構(gòu)固有頻率偏低。不過(guò)有限元模型本身比實(shí)際結(jié)構(gòu)偏剛，兩者相互補(bǔ)償，計(jì)算出的固有頻率反而更接近真實(shí)值。偏剛，兩者相互補(bǔ)償，計(jì)算出的固有頻率反而更接近真實(shí)值。一致質(zhì)量矩陣：由于分布較合理，因此可以求得更精確的振型，另外，整一致質(zhì)量矩陣：由于分布較合理，因此可以求得更精確的振型，另外，整個(gè)模型的質(zhì)量分布還受網(wǎng)格劃分形式的影響。個(gè)模型的質(zhì)量分布還受網(wǎng)格劃分形式的影響。三、總體矩陣集成三、總體矩陣集成

12、總體矩陣集成的任務(wù)是將各單元特性矩陣裝配成整個(gè)結(jié)構(gòu)的特性矩陣，總體矩陣集成的任務(wù)是將各單元特性矩陣裝配成整個(gè)結(jié)構(gòu)的特性矩陣，從而建立整體平衡方程，即從而建立整體平衡方程，即 1niiR tR t MqCqKqR t式中，式中，q為所以節(jié)點(diǎn)位移分量組成的為所以節(jié)點(diǎn)位移分量組成的n階列陣，階列陣，n為結(jié)構(gòu)總自由度數(shù)；為結(jié)構(gòu)總自由度數(shù)； （i為節(jié)點(diǎn)數(shù)），稱為節(jié)點(diǎn)載荷列陣；為節(jié)點(diǎn)數(shù)），稱為節(jié)點(diǎn)載荷列陣；K、M、C分別為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。分別為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。其中其中K與靜力分析中的總剛度矩陣完全相同，矩陣與靜力分析中的總剛度矩陣完全相同，矩陣M、C也采用與也采用與

13、K相同的集成方式，即相同的集成方式，即 11eeneeeneeMmnCc為單元總數(shù)矩陣矩陣K、M和和C均為均為n階對(duì)稱陣。階對(duì)稱陣。四、固有特性分析四、固有特性分析 結(jié)構(gòu)的固有特性由結(jié)構(gòu)本身決定，與外部載荷無(wú)關(guān)，它由一組模態(tài)參結(jié)構(gòu)的固有特性由結(jié)構(gòu)本身決定，與外部載荷無(wú)關(guān)，它由一組模態(tài)參數(shù)數(shù)定量描述。包括：固有頻率、模態(tài)振型、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼定量描述。包括：固有頻率、模態(tài)振型、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼比等。比等。 固有特性分析就是對(duì)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，其目的一是避免結(jié)構(gòu)出現(xiàn)共固有特性分析就是對(duì)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，其目的一是避免結(jié)構(gòu)出現(xiàn)共振和有害的振型，二是為響應(yīng)分析提供必要依據(jù)。振和

14、有害的振型，二是為響應(yīng)分析提供必要依據(jù)。 由于固有特性與外載荷無(wú)關(guān)，且阻尼對(duì)固有頻率和振型影響不大，因由于固有特性與外載荷無(wú)關(guān)，且阻尼對(duì)固有頻率和振型影響不大，因此可通過(guò)無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程計(jì)算固有特性。此可通過(guò)無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程計(jì)算固有特性。 j tqe 0MqKq式中，式中，為簡(jiǎn)諧振動(dòng)圓頻率；為簡(jiǎn)諧振動(dòng)圓頻率；為節(jié)點(diǎn)振幅列向量。為節(jié)點(diǎn)振幅列向量。由于自由振動(dòng)可分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，因此上式的解可設(shè)為由于自由振動(dòng)可分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，因此上式的解可設(shè)為 將解代入振動(dòng)方程中，同時(shí)消去因子將解代入振動(dòng)方程中，同時(shí)消去因子ejt，可得，可得 12,n 20KM 振型振型i是結(jié)構(gòu)按頻率是

15、結(jié)構(gòu)按頻率i振動(dòng)時(shí)各自由度方向振幅間的相對(duì)比例關(guān)系，振動(dòng)時(shí)各自由度方向振幅間的相對(duì)比例關(guān)系，它反映了結(jié)構(gòu)振動(dòng)的形式，并不是振幅的絕對(duì)大小。它反映了結(jié)構(gòu)振動(dòng)的形式，并不是振幅的絕對(duì)大小。上式為一廣義特征問(wèn)題。根據(jù)線性代數(shù)可知，求解該問(wèn)題可以求出上式為一廣義特征問(wèn)題。根據(jù)線性代數(shù)可知，求解該問(wèn)題可以求出n個(gè)特個(gè)特征值征值 和相對(duì)應(yīng)的和相對(duì)應(yīng)的n個(gè)特征向量個(gè)特征向量 。其中特。其中特征值征值i(i=1,2,.,n)就是結(jié)構(gòu)的就是結(jié)構(gòu)的i階固有頻率，特征向量階固有頻率，特征向量i i(i=1,2,.,n)就是結(jié)構(gòu)就是結(jié)構(gòu)的的i階模態(tài)振型。階模態(tài)振型。22121,n nndkkkK2211固有特性分析實(shí)

16、際上就是求解廣義特征值問(wèn)題。求解的數(shù)值方法主要有固有特性分析實(shí)際上就是求解廣義特征值問(wèn)題。求解的數(shù)值方法主要有1、變換法、變換法基本思想是通過(guò)一系列矩陣變換，將矩陣基本思想是通過(guò)一系列矩陣變換，將矩陣MK化為對(duì)角陣，化為對(duì)角陣，變換后的特征值不變，即原問(wèn)題與特征值問(wèn)題變換后的特征值不變，即原問(wèn)題與特征值問(wèn)題具有相同的特征值。先求特征值，再求特征向量，而且是一次性求出所具有相同的特征值。先求特征值，再求特征向量，而且是一次性求出所以特征值和特征向量。該方法主要用于一些小型問(wèn)題的求解。以特征值和特征向量。該方法主要用于一些小型問(wèn)題的求解。1122dnnmmMm 20dddKM kkA112、迭代法

17、、迭代法是對(duì)一選取的初始向量是對(duì)一選取的初始向量 和迭代公式和迭代公式求一向量序列求一向量序列 使它收斂于與使它收斂于與 絕對(duì)值最大的特征值相絕對(duì)值最大的特征值相應(yīng)應(yīng)的特征向量，在滿足收斂精度時(shí)，以的特征向量，在滿足收斂精度時(shí)，以 作為作為 的特征量，再求的特征量，再求出相應(yīng)的特征值。出相應(yīng)的特征值。先求特征向量，再求特征值，且從低階到高階依次求出各階特征對(duì)，該先求特征向量，再求特征值，且從低階到高階依次求出各階特征對(duì)，該法只適合求解法只適合求解35個(gè)低階特征對(duì)。個(gè)低階特征對(duì)。子空間迭代法，求大型結(jié)構(gòu)的少數(shù)特征對(duì)。子空間迭代法，求大型結(jié)構(gòu)的少數(shù)特征對(duì)。011, A1kA五、響應(yīng)分析五、響應(yīng)分析

18、 響應(yīng)分析的目的是計(jì)算結(jié)構(gòu)在動(dòng)載荷作用下，節(jié)點(diǎn)位移、速度和加速響應(yīng)分析的目的是計(jì)算結(jié)構(gòu)在動(dòng)載荷作用下，節(jié)點(diǎn)位移、速度和加速度度的變化規(guī)律。因此響應(yīng)分析的任務(wù)就是求解二階常微分方程組，的變化規(guī)律。因此響應(yīng)分析的任務(wù)就是求解二階常微分方程組，求解主要有求解主要有1、振型疊加法、振型疊加法根據(jù)結(jié)構(gòu)振動(dòng)理論，在動(dòng)載荷作用下，結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)可以表示為其各階根據(jù)結(jié)構(gòu)振動(dòng)理論，在動(dòng)載荷作用下，結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)可以表示為其各階主模態(tài)振型的線性疊加，即主模態(tài)振型的線性疊加，即2、直接積分法、直接積分法是一種純粹的數(shù)值方法。是一種純粹的數(shù)值方法。連續(xù)時(shí)間區(qū)域連續(xù)時(shí)間區(qū)域 離散離散 為為n1離散點(diǎn)離散點(diǎn) 時(shí)間間隔時(shí)間間隔T/n 每個(gè)時(shí)間間隔上的狀態(tài)向量每個(gè)時(shí)間間隔上的狀態(tài)向量 xxxxqnn2211瞬