第十一章_例題

1、例例1 ：已知：各長度如圖，系統(tǒng)可繞：已知：各長度如圖，系統(tǒng)可繞 z 軸旋轉(zhuǎn)，小球軸旋轉(zhuǎn)，小球C、D重量均為重量均為 P ，起初以，起初以細繩相連，使細繩相連，使AC、BD位于鉛直位置，系位于鉛直位置，系統(tǒng)角速度為統(tǒng)角速度為 。其他構(gòu)件自重不計。此。其他構(gòu)件自重不計。此細繩拉斷后，桿細繩拉斷后，桿AC和和BD各與鉛垂線成各與鉛垂線成 角，求這時系統(tǒng)的角速度。角，求這時系統(tǒng)的角速度。解解： 0F)()(ezM常數(shù)常數(shù)zL020122 agPaagPLz 222)sin(lagPLz021zzLL 20222)sin(lagPagP022 )sin(laaP例例22121mRJLOOvRgWmvR

2、LO2vRgWmRLLLOOO22121PeddOOMtLWRvRgWmRt)21(dd2WRRagWmRP221gWmWaP2P例例 ：兩個飛輪：兩個飛輪 ， ，兩齒輪，兩齒輪 ，軸，軸由由靜止開始以勻加速度轉(zhuǎn)動，靜止開始以勻加速度轉(zhuǎn)動，10 秒后其角速度達到秒后其角速度達到 。求需加在。求需加在軸軸上的轉(zhuǎn)動力矩及兩輪間的切向壓力上的轉(zhuǎn)動力矩及兩輪間的切向壓力 P 。已知。已知 ，不計各齒，不計各齒輪和軸的轉(zhuǎn)動慣量。輪和軸的轉(zhuǎn)動慣量。解解：軸：軸 ：如圖：如圖(b)，轉(zhuǎn)動微分方程，轉(zhuǎn)動微分方程 ： 軸軸 ：如圖：如圖(c)，轉(zhuǎn)動微分方程，轉(zhuǎn)動微分方程 ： 21100mkgJ2280mkgJ2

3、321ZZr/min1500cm101r111rPMJ 222rPJ ,PP 又又121221zzrr 122121 zzJJM122112 zzrJP代代入入數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)后后，得得：而而211715rad/s.t )(1)(2kN.m,kN.32844PM例例： 鐘擺簡化如圖。已知均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分鐘擺簡化如圖。已知均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分別為別為m1和和m2，桿長為，桿長為 l ，圓盤的直徑為，圓盤的直徑為d。求擺對于通過懸掛。求擺對于通過懸掛點點O的水平軸的轉(zhuǎn)動慣量。的水平軸的轉(zhuǎn)動慣量。解解：2131lmJO桿桿)()()()(ldldmdlmdmdlmJJCO2222222228

4、3 22212盤盤)(ldldmlmJO222218331例例 ：復(fù)擺法測轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)擺的質(zhì)量為：復(fù)擺法測轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)擺的質(zhì)量為m ，質(zhì)心為，質(zhì)心為C ，s為為質(zhì)心到懸掛軸質(zhì)心到懸掛軸O的距離。若已測得復(fù)擺繞其平衡位置擺動的的距離。若已測得復(fù)擺繞其平衡位置擺動的周期周期T，求剛體對通過質(zhì)心并平行于懸掛軸，求剛體對通過質(zhì)心并平行于懸掛軸O的軸的轉(zhuǎn)動慣量。的軸的轉(zhuǎn)動慣量。 解解：受力圖如圖：受力圖如圖 ，定軸轉(zhuǎn)動微分方程，定軸轉(zhuǎn)動微分方程 ：平行軸定理平行軸定理 ：若擺角若擺角 很小，很小， ，運動微分方程線性化為，運動微分方程線性化為 ：周期：周期：若已測得周期，可求出剛體的轉(zhuǎn)動慣量：若已測得周

5、期，可求出剛體的轉(zhuǎn)動慣量： sin mgsJO )(22222smmsmmsJJCCCO sin)(mgssmC 22022 sinsgsC sin022 sgsC gssTC222 gsTmgsmJCC2224 (運動規(guī)律與單擺類似)O例例OPxPxGIMlGIMx ,ddlGIkPlGIkJPC 0lJGICP PCGIlJT2例例1：均質(zhì)圓輪：均質(zhì)圓輪 ，半徑為，半徑為r 、質(zhì)量為、質(zhì)量為m ，作，作純滾動純滾動 ，回轉(zhuǎn)半徑為，回轉(zhuǎn)半徑為 ，作用于圓輪上的力，作用于圓輪上的力矩為矩為M ，靜摩擦系數(shù)為，靜摩擦系數(shù)為fs 。求。求:1）輪心的加速）輪心的加速度；度；2）地面對圓輪的約束力；

6、）地面對圓輪的約束力；3）在不滑動）在不滑動的條件下力矩的條件下力矩 M 的最大值。的最大值。解解: 圓輪圓輪:列平面運動微分方程列平面運動微分方程 : 欲使圓輪只滾動而不滑動，必須滿足欲使圓輪只滾動而不滑動，必須滿足 :對于均質(zhì)圓盤對于均質(zhì)圓盤 , C sCsCxFmaFma即：mgmgNmaCyN0即：rFMmsC2raC純滾：)(22rmMraCCCsmaF mgN NfFssmgfrMrsC22 rrmgfMCs22 rC22 mgrfMs23s純滾的純滾的滑動摩擦力滑動摩擦力(滾動摩阻忽略不計滾動摩阻忽略不計)方向方向判斷判斷：若有人提供質(zhì)心的線運動力就不用它(取與質(zhì)心運動方向相反)

7、；若沒人提供需要它(取與質(zhì)心運動方向相同)例例2 ：均質(zhì)圓盤：均質(zhì)圓盤 ，已知：如圖，已知：如圖m ，R ， ，試，試研究圓盤沿傾斜角為研究圓盤沿傾斜角為的斜面的平面運動。不計滾動摩阻。的斜面的平面運動。不計滾動摩阻。解解：（：（1）斜面光滑，如圖（）斜面光滑，如圖（a），）， 圓盤具有兩個自由度，圓盤具有兩個自由度， 以坐標以坐標 表示圓盤位置表示圓盤位置 ， 為圓盤相對為圓盤相對質(zhì)心平動系的轉(zhuǎn)角。由剛體平面運動微分方程質(zhì)心平動系的轉(zhuǎn)角。由剛體平面運動微分方程 ，得：，得：若若 ： ，則圓盤以加速度，則圓盤以加速度 作平動；作平動；若若 ： ，則圓盤質(zhì)心作等加速直線運動，同，則圓盤質(zhì)心作等加

8、速直線運動，同時圓盤相對質(zhì)心作等角速度轉(zhuǎn)動。時圓盤相對質(zhì)心作等角速度轉(zhuǎn)動。 C ,Cx sinmgxmC cos0mgN 02 Cm0sin gxC0, 0, 0, 0OCCvxxtsingxC 0, 0, 0, 0CCxxt（2）斜面粗糙）斜面粗糙 ：如圖（：如圖（b），平面運動微分方程為），平面運動微分方程為 ： 由斜面粗糙，圓盤作純滾動，則：由斜面粗糙，圓盤作純滾動，則：由由(1)(4) ，聯(lián)立解得：，聯(lián)立解得： 圓盤與斜面間無相對滑動圓盤與斜面間無相對滑動(純滾純滾)的條件為的條件為 ：sCFmgxmsin cos0mgN RFmsC 2 RxC RxC RxC)(1)(2)(3)(4

9、sin222gRRxCC sin222mgRFCCscosmgN NfFsstg222RfCCss(3)圓盤與斜面間的摩擦系數(shù)圓盤與斜面間的摩擦系數(shù) 時，時，圓盤沿斜面既滾又滑，具有兩個自由度，圓盤沿斜面既滾又滑，具有兩個自由度， 以以 、 表表示圓盤位置，平面運動微分方程為示圓盤位置，平面運動微分方程為 ： 此時：此時： 其中，其中， 為動摩擦系數(shù)。為動摩擦系數(shù)。由方程由方程(5)、(7)、(8)求得求得 ：tg0222RfCCSCxdCFmgxmsin cos0mgN RFmdC 2cosfmgfNFdfgfxC)cos(sin cos2fgRC ）（5）（6）（7）（8dRC例例3RCs

10、=0s+nCaCa RCs=0s+nCaCarFJmgFrRmmamgFrRmmadCnCdCcos)-(sin-)-(N2 C* rrRrrRvC)( )(dFrRm )(210sin)(23grR 22mrCJ又cos)-(N2nmgFrRmmaC2N)-(cosrRmmgFdFrRm )(210sin)(23grR sin，很小時很小時0)3(2rRg 2g)3(2)3(2rRTrRg周期振動角頻率)sin(0tA00000,t000cos0,sinAA2,00AtrRg)-( 32cos0例例4 ：均質(zhì)桿長：均質(zhì)桿長 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m ，用兩根細繩懸掛，用兩根細繩懸掛如圖所示。

11、設(shè)繩與桿的夾角為如圖所示。設(shè)繩與桿的夾角為且且OA=OBl，求當細繩求當細繩 OB 被突然剪斷時，繩被突然剪斷時，繩OA 的拉力。的拉力。 解解： 1、對象：、對象：AB桿桿 2、分析受力：剪斷瞬時，、分析受力：剪斷瞬時， 3、分析運動、分析運動 ：點：點A：圓周運動；：圓周運動；AB桿：剛體平面運動；桿：剛體平面運動；剪斷瞬時，剪斷瞬時， ，AB桿的桿的 ，設(shè)其角加速度為，設(shè)其角加速度為 ，則：，則：將將(1)式沿式沿 x 方向投影，得：方向投影，得：剛體平面運動微分方程：剛體平面運動微分方程： Tgm, CyCxCaaasinmgTmaCxsin22121lTmlnCACAACaaaa0)2( sin2laCx(1) aaaaCAACyCx)3()4