ReviewofChapter3-已學(xué)過(guò)的rules（回顧）-

1、Review of Chapter 3 -已學(xué)過(guò)的 rules(回顧)-朝陽(yáng)科技大學(xué)資訊管理系李麗華 教授23.2 (p.115)1. Derivative of a constant in zero (p.115上)2. Power Rule (p.115下)3. 0dcdx1()nndxnxdxn: real( )( )ddc f xcf xdxdx(p.116中)33.2 (p.115)4. Sam & Difference Rules (p.117下)即即( )( )( )( )dddf xg xf xg xdxdxdx( )( )fxgx( )( )( )( )dddf xg

2、 xf xg xdxdxdx( )( )fxgx43.2 (p.115)5. Product Rule (p.140上)6. Quotient Rule (p.142中)7. Chain Rule (p.140下)()du vu vv udx 2( )duu vuvdx vvdydy dudxdu dx53.2 (p.115)8. General Power Rule1nndduun udxdxor1( ) ( )( )nfxn u xu x63.5 The Product (積) & Quotient Rule (商)1. 由於函數(shù)與函數(shù)間的 、 、 、 和冪次等諸多變化，茲將為分的

3、法則分別介紹。2. 已在前面學(xué)了和、差法則，即然而積與商法則都不是可以分開(kāi)帶入計(jì)算的。/ ( )( )df xg xdx( )( )ddf xg xdxdxEX:2( )f xx( )g xx, 則 ( )( )( )( )f xg xfxg x32()3xx212xx 73.5 The Product (積) & Quotient Rule (商)3. Product RuleLet( )uu x,( )vv xthen()du vu vu vdx即( ) ( ) ( )( )ddf xg xf xg xdxdx,(或()df gf gfgdx)83.5 The Product (積

4、) & Quotient Rule (商)3. Product Ruleproof： 已知0() ()( ) ( ) ( )( )limxdu xx v xxu x v xu xv xdxx加入一個(gè)( ) ()() ()u x v xxu X v xx加入項(xiàng)0( () ()( ) ()( ( ) ()( ) ( )limxu xx v xxu x v xxu x v xxu x v xx拆兩項(xiàng)00( () ()( ) ()( ( ) ()( ) ( )limlimxxu xx v xxu x v xxu x v xxu x v xxx提出共同項(xiàng)00() ()( ) ()( ) ()(

5、) ( )limlimxxu xx v xxu x v xxu x v xxu x v xxx拆0000()( )()( )lim lim ()lim ( ) limxxxxu xxu xv xxv xv xxu xxx( )( )( )( )u xv xu xv x得証93.5 The Product & Quotient Rule 範(fàn)例EX：2( )(35)(7 )f xxxx( )fx, 求sol：22( )(35) (7 ) (35) (7 )fxxxxxxx2(35) (27)(3)(7 )xxxx2262135 10321xxxxx9 23235xxEX：sol：1( )(

6、21)(1)f xxx( )fx, 求11( )(21)(1)(21)(1)fxxxxx212(1)(21) ()xxx 222222212221212xxxxxxxxx10上臺(tái)練習(xí)EX1：EX2：32( )(1)(3)f xxx32( )(1)(1)f xxxEX3：2(5)(1 2 )yxxEX4：1(41)(1)yxx113.5 The Product (積) & Quotient Rule (商)4. Quotient Rule2( )duu vuvdx vvEX：sol：51( )12xf xx, find the derivative of ( )f x2(51)(12 )

7、(51)(12 )( )(12 )xxxxfxx225 101027(12 )(12 )xxxxEX：sol：1( )43xf xx222(1)(43)(1)(43)43447( )(43)(43)(43)xxxxxxfxxxx , find the derivative of ( )f x12上臺(tái)練習(xí)EX1：EX2：EX3：EX4：24( )1 5tts tt42( )3tf tt1241( )xf xx231( )2xf xxx133.6 The Chain Rule 前面已學(xué)power rule，即 ，但這個(gè)法則並不能直接套在 這樣的式子，即 ，若將 視為另一個(gè)函數(shù)，即 ，故 ，那麼微分

8、應(yīng)該是 ，即chain rule。 Chain Rule：若 y is func. of u and u is func. of x1nndxn xdx23(1)x 2322(1)3(1)dxxdx23(1)x 21ux3( )f xudydy dudxdu dxdydy dudxdu dx143.6 The Chain Rule 範(fàn)例EX：sol：若28(1)yxlet21ux8yu72728(1)8216 (1)dydy duuxuxx xdxdu dxEX：sol：24yx求dydxlet24ux12yu1122221(2 )(4)24dydy duxuxx xdxdu dxx 153.

9、6 The Chain Rule 因此若前面的power rule中的x是另一個(gè)函數(shù)的話，則可修改如下： General Power Rule1nndduunudxdx1ndy dunuudu dxu is a differentiable function of x and n is a real number16上臺(tái)練習(xí)EX1：EX2：EX3：EX4：231( )(5)f xx43( )(1)f xx5( )(3 )f xx1( )65f xx, 25uxlet13( )f xu, 41ux 3( )f xu, , 3ux65ux5( )f xu12( )f xu, 求, 求, 求, 求(

10、 )fx( )fx( )fx( )fx17綜合練習(xí)EX1：sol：2225( )(41) (3)f xxxlet22(41)ux,25(3)vx22252225( )(41)(3) (41) (3)fxxxxx2224225(41)10 (3) 2(41)8 (3)xx xxxx222422510 (41)(3)16 (41) (3)xxxxxx18綜合練習(xí)EX2：sol：43( )(23) (7)f ttt, 求( )ft4343( )(23) (7) (23) (7)fttttt4233(23)3(7)1 4(23)2 (7)tttt 42333(23) (7)8(23) (7)ttttE

11、X3：sol：同理利用Quotient Rule應(yīng)用,5(21)( )31xf xx, 求( )fx552(21) (31)(21) (3)( )(31)xxxfxx4525(21)2(31)3(21)(31)xxxx5210(21)(31)3(21)(31)xxxx19上臺(tái)練習(xí)EX1：EX2：EX3：3(4)1xyx3(3)(21)yxx32(25)(21)yxx203.7 High-Order Derivatives (高階導(dǎo)函數(shù)) 前面所學(xué)均為一次微分，即 ，而高階即指多階微分之意，例：( )fx( )fx( )fx,寫(xiě)法： yfdydxorxD yyf22d ydxor2xD yyf3

12、3d ydxor3xD y() 計(jì)算式即逐次對(duì)前一個(gè)微分結(jié)果再做微分即可得高一階的微分213.7 High-Order Derivatives (高階導(dǎo)函數(shù))EX：5yx則dydxor yor4( )10fxx3( )40fxx2( )120fxx(4)( )240fxxEX：32( )7f xxxx, 求(3)f,(4)f2( )271fxxx( )47fxx(3)( )4fx ,(4)( )0fx 223.7 High-Order Derivatives (高階導(dǎo)函數(shù)) 二階微分即 ，我們通常稱(chēng)為一階函數(shù)的變化率，日常生活中常見(jiàn)的例子即”加速度”(Acceleration) 。( )fx2

13、33.7 High-Order Derivatives (高階導(dǎo)函數(shù))EX： 若一球往上丟之距離公式為 ，則請(qǐng)求出這個(gè)球在21680Stt 3t 的速度及加速度。sol：3280St 32S 時(shí)的速度為3t (3)32(3)80968016S 3t 的加速度為32243.7 High-Order Derivatives (高階導(dǎo)函數(shù))EX： 若一公司生產(chǎn)物品的成本為 ，請(qǐng)求出當(dāng)2( )800500.04C xxx35x 的邊際成本(marginal cost)的rate of change。sol： marginal cost 即求 ，而求marginal cost的rate of chang

14、e( )0.0850C xx 即 (即遞減的固定變化量) 。( )0.08Cx 253.8 Implicit Differentiation (隱微分)1. 若遇 這類(lèi)式子，因?yàn)闊o(wú)法寫(xiě)出所以無(wú)法直接套用所學(xué)的微分方法。對(duì)這類(lèi)函數(shù)應(yīng)採(cǎi)Implicit Differentiation。2. 已知若 ， 。若像上面的式子，我們將 或 均視為 這樣的替代變數(shù)(事實(shí)上本來(lái)就是 變數(shù)項(xiàng)的替代函數(shù)) ，則微分方法其實(shí)是一樣的。323yxxyy nyu1ndduyn udxdx3yynuyx263.8 Implicit Differentiation (隱微分)EX：223yxyxsol： 各別做223yxyx22ddyyydxdx( )ddddyx yxyxyxydxdxdxdx22dxxdx223dyxyxdx223dydydyxyxdxdxdx22dydyyxxydxdx (2)2dyyxxydx 22dyxydxyx273.8 Implicit Differentiation (隱微分)EX：32422xyyy, 求微分dydxsol：