遞推公式求通項(xiàng)公式的幾種方

1、由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，它是歷年高考命題的熱點(diǎn)題。對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通常可以通過(guò)遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。方法一：累加法形如an+1anf(n)（n2,3,4,）,且f(1)f(2)f(n-1)可求，則用累加法求an。有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后利用這種方法求解。例1：（07年北京理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）已知數(shù)列an中，a12,an1ancn(c是常數(shù)，n1,2,3,)且a1,a2,a3成公比不為1的等比數(shù)列（1）求c的值（2）求an的通項(xiàng)公式解：（1）a

2、1,a2,a3成公比不為1的等比數(shù)列 （2）由（1）知，將n1,2, ,n1,分別代入 將上面n1個(gè)式子相加得ana12(123n1)n2n又a12,ann2n2方法二：累乘法形如g(n)（n2,3,4），且f(1)f(2)f(n1)可求，則用累乘法求an.有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例2：設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n1)an12nan2an1an0(n1,2,3)，求它的通項(xiàng)公式。解：由題意知a1=1,an0(n1,2,3)由(n1)an12nan2an1an0得(an1an)(n1)an1nan0因?yàn)閍n0，則an1an0，所以 = ,將n1,2, ,n1

3、,分別代入得 = = = 將上面n1個(gè)式子相乘得， ×××又a1=1，則an點(diǎn)評(píng)：本題先由已知求出遞推公式，化成了g(n)的類(lèi)型，再利用累乘法求通項(xiàng)公式。方法三：構(gòu)造新數(shù)列法構(gòu)造新數(shù)列法：將遞推關(guān)系經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的遞推關(guān)系（等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列或等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和形式），以下類(lèi)型均采用這種解法。類(lèi)型一: an1AanB(A,BR,A0) 線(xiàn)性遞推關(guān)系 當(dāng)A0，B0時(shí)，an1Aan是以A為公比的等比數(shù)列；當(dāng)A0，B0時(shí)，an1AanB可變形為an1A（an），此時(shí)就構(gòu)造出了an這樣一個(gè)以a1為首項(xiàng)，以A為公比的新的等比數(shù)列，從而求出an

4、。例3：（07年全國(guó)理科卷）已知數(shù)列an中，a12, an1（1）（an2）n1,2,3,，求an的通項(xiàng)公式。解：由題設(shè)：an1（1）（an2）變形為an1=（1）（an）所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2公比為1的等比數(shù)列，則an（1）n 即an的通項(xiàng)公式為an（1）n1類(lèi)型二：an1pancqn(其中p,q,c均為常數(shù))方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為an1xqn+1p(anxqn ),將遞推關(guān)系an1pancqn待入得pancqnxqn+1p(anxqn )解得x,則由原遞推公式構(gòu)造出了an1·qn+1p(an·qn )，而數(shù)列an·qn是以為首相以為公比的

5、等比數(shù)列。方法二：將an1pancqn兩邊分別除以qn+1,則有 然后利用累加法求得。可見(jiàn)對(duì)于同一個(gè)題型的構(gòu)造的新數(shù)列類(lèi)型可能不唯一，所以要注意巧妙構(gòu)造。例4：（07年唐山二摸）在數(shù)列an中，a1，anan· (nn*,n2) ,求an的通項(xiàng)公式。解：由anan·可變形為an+(an),則數(shù)列 an+是以為a1+首項(xiàng)以為公比的等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得an+ （）n因此an 類(lèi)型三：an2pan1qan(其中p,q均為常數(shù))方法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an2san1= t(an1san)，其中s,t滿(mǎn)足，再利用等比數(shù)列來(lái)求解。例5：已知數(shù)列an中, a1=1, a2=

6、2, an2an1an, 求an的通項(xiàng)公式。解：由an2an1an可轉(zhuǎn)化為an2san1= t(an1san)即an2（st）an1s· tan,解得或這里不妨選用（當(dāng)然也可以選用）an2an1= (an1an)所以an1an是以a2a11為首項(xiàng), 為公比的等比數(shù)列，所以an1an()n-1 再用累加法ana1()0()1+()n-2又a1=1，因此an()n-1上面給大家介紹了由遞推公式求通項(xiàng)公式常用的三種方法（累加法、累乘法和構(gòu)造新數(shù)列法）以及幾種典型類(lèi)型題。構(gòu)造新數(shù)列法比較簡(jiǎn)捷，但如果觀察不到結(jié)構(gòu)的特殊性，就想不到構(gòu)造的新數(shù)列，所以仔細(xì)觀察結(jié)構(gòu)的特征是運(yùn)用這種方法解決求通項(xiàng)公式的問(wèn)題的關(guān)鍵所在。如果構(gòu)造新數(shù)列難度較大時(shí)也可采用迭代法求通項(xiàng)公式，迭代法即根據(jù)遞推公式循環(huán)代入，一直代到首項(xiàng)為止，上面這些類(lèi)型的問(wèn)題大都也可采用此種方法求解。有時(shí)由遞推公式求通項(xiàng)公式還可以用猜想歸納法，即利用數(shù)列的遞推公式求出前幾項(xiàng)，根據(jù)前幾項(xiàng)猜想出通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性。需要說(shuō)明的是以上這些方法都有一定的局限性，求解時(shí)要注意靈活運(yùn)用。配套練習(xí)：1、已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1，an1an ,求an。2、（04年唐山）已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11，2n-1anan1(nN, n2)，求an。3、（06年福建卷）已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11，an12an1（n2），求an。4、已知