算子和算子方程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2.2 算子和算子方程2.2.1 線性算子 1. 定義：設(shè)和都是線性函數(shù)集，且，若元素經(jīng)算子映射得唯一的確定的元素，其映射關(guān)系為并滿足線性運(yùn)算律(a、b為任意常數(shù))則稱為線性算子。其中：是的定義域，是的值域。 若對于任意的，都有 成立，則稱為線性連續(xù)算子。 若對于任意的，都有 (C為有限常數(shù))成立，則稱為線性有界算子。 可以證明：線性連續(xù)算子等價(jià)于線性有界算子。 2. 運(yùn)算性質(zhì)設(shè)A、B為線性算子，、分別為其定義域 (1) 算子的和若 (2) 算子的積若， (3) 算子的逆若，則， 稱與B互為逆算子。 3. 線性算子方程： 可分為兩種類型： (1) 設(shè)A是已知線性算子，

2、若其值域中的已知點(diǎn)由定義域中相應(yīng)未知點(diǎn)映射而得，即 則稱之為確定性算子方程。 由算子方程的運(yùn)算性質(zhì)： 確定性算子方程的求解任務(wù)：算子求逆運(yùn)算。若存在，則解答是唯一的，連續(xù)，則解答是穩(wěn)定的。 (2) 設(shè)A為已知線性算子，其值域等于定義域，且(為待定常數(shù))在值域中也是未知點(diǎn)，則 稱為本征值算子方程。 本征值算子方程的求解任務(wù)： 確定所取的待定的值；求出所對應(yīng)的解。2.2.2對稱算子和正定算子1. 對稱算子定義1：設(shè)，則 稱為含算子的內(nèi)積，也即是交集上的線性泛函。定義2：若函數(shù)集中的任何兩個(gè)元素U和V所構(gòu)成含算子的內(nèi)積都滿足 則稱A為D上的對稱算子。定義3：若凡都有 則A亦稱為D上的對稱算子。2.

3、正定算子(1) 定義：若凡都有 (a為實(shí)數(shù))稱A為D上的下有界算子。當(dāng)a=0時(shí)，稱A為D上的非負(fù)算子。(2) 定義：若凡都有 則稱A為D上的正算子。(3) 定義：若凡都有 (k為正數(shù))則稱A為D上的正定算子。由以上定義可知： 正定算子 正算子 非負(fù)算子 下有界算子 對稱算子 線性算子。2.2.3自伴算子 1. 伴隨算子 定義：設(shè)A是H空間的線性連續(xù)算子，若存在B，使對于任何都有： 則稱B為A的伴隨算子，記為=。 2. 自伴算子 基于上面的定義，當(dāng)B = A時(shí)， 則稱為自伴算子，即。 由上可知，自伴算子就是定義在H空間的對稱算子?？梢試?yán)格證明：凡自伴算子都能求逆，其逆算子亦為自伴算子。 3. Lagrange意義下的自伴算子 通常求解電磁場問題，所要求解的場函數(shù)既要滿足算子方程，又要滿足邊界條件。這就是說：要求算子的自伴性，只要在符合邊界條件的函數(shù)集上是線性連續(xù)對稱算子，就能保證方程存在唯一、穩(wěn)定的解，這種線性連續(xù)自伴算子就是Lagrange意義下的自伴算子。 限定算子自伴性的邊界條件自伴邊界條件 自伴邊值問題。4. 自伴邊值問題 (1) Poisson邊值問題 (2)He