常見不等式通用解法

1、WORD格式常見不等式通用解法總結(jié)一、根底的一元二次不等式，可化為類似一元二次不等式的不等式根底一元二次不等式如 2x2x60 ， x22x 1 0，對于這樣能夠直接配方或者因式分解的根底一元二次不等式，重點關(guān)注解區(qū)間的“形狀 。當(dāng)二次項系數(shù)大于0，不等號為小于或小于等于號時，解區(qū)間為兩根的中間。2 x2x 60的解為 (3,2)2當(dāng)二次項系數(shù)大于0，不等號為大于或大于等于號時，解區(qū)間為兩根的兩邊。x22x 10的解為 (,12) (12, )當(dāng)二次項系數(shù)小于0 時，化成二次項系數(shù)大于0 的情況考慮?？苫癁轭愃埔辉尾坏仁降牟坏仁綋Q元x19x，令 tx2如 323 ，原不等式就變?yōu)?t3t

2、2 0 ，再算出 t 的X圍，進(jìn)而算出x 的X圍又如 x2ax43，令 tx2，再對 a 進(jìn)展分類討論來確定不等式的解集2含參數(shù)的一元二次不等式解法步驟總結(jié)：序號步驟首先判定二次項系數(shù)是否為0，為 0那么1化為一元一次不等式，再分類討論二次項系數(shù)非0，將其化為正的，討論2 判別式的正負(fù)性，從而確定不等式的解集假設(shè)可以直接看出兩根，或二次式可以因3 式分解，那么無需討論判別式，直接根據(jù)不同的參數(shù)值比較兩根大小4綜上，寫出解集2ax 10 ，首先發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)大于0，而且此不等式無法直接看出兩根，如不等式 x所以，討論a 24 的正負(fù)性即可。0, R此不等式的解集為0, xR | xa20,(,

3、aa24 ) ( aa24 , )22又如不等式 x2(a2a)xa 30 ，發(fā)現(xiàn)其可以通過因式分解化為(x a )(x a 2 ) 0 ，所以只需要判定a 2和 a 的大小即可。a0 or a1, xR| xa此不等式的解集為 0a 1,(, a2 )( a,)a0 or a1,(, a)(a 2 , )專業(yè)資料整理WORD格式又如不等式ax22( a 1)x 4 0，注意：有些同學(xué)發(fā)現(xiàn)其可以因式分解，就直接寫成( ax2)( x 2)0 ，然后開場判斷兩根2和 2 的大小關(guān)系，這樣做是有問題的。a事實上， 這個題目中并沒有說此不等式一定是一元二次不等式，所以參數(shù) a 是有可能為0 的。討論

4、完a0 的情況再討論 a 0 和 a0 的情況。所以此不等式的解集應(yīng)該是：a0,(,2)a0,(2,2)aa1,(2(2,), )aa1, xR | x20a1,(,2) (2 ,)a注意， a0 和 a0 時解區(qū)間的狀況不同，一種為中間，一種為兩邊。二、數(shù)軸標(biāo)根法又名穿針引線法解不等式這種問題的一般形式是 ( x a1 )( xa2 )( x a3 ).( xan )0 或, , 步驟：將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)式，一段為0，另一端為一次因式的乘積注意！系數(shù)為正或二次不可約因式 二次項系數(shù)為正 。畫出數(shù)軸如下，并從最右端上方起，用曲線自右向左一次由各根穿過數(shù)軸。記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，根據(jù)不等式的符

5、號寫出解集。例如，求不等式 (x 1)(x 2)( x3)(x4)0 的解集，畫出圖如下，發(fā)現(xiàn)解集為(,1) (2,3)(4,)21O1234561234為什么數(shù)軸標(biāo)根法是正確的呢？對于不等式(x1)(x2)( x3)( x4)0 來說，要滿足四項相乘為正，說明四項均正，解集為(4,) 兩正兩負(fù)，只能是( x1),( x2) 正，( x3),( x4) 負(fù)，此時解集為(2,3) 四項均負(fù)，解集為(,1) 。綜上，解集為這三種情況的并集。當(dāng)不等式左側(cè)有奇數(shù)項的時候同理。由此可知，遇到奇數(shù)個一次項系數(shù)為負(fù)的情況，如果不把系數(shù)化為正的，結(jié)果一定是錯誤的。注意，這種方法要靈活使用，假設(shè)不等式為( x

6、1)2 (x 2)( x 3)( x 4) 0 ，使用數(shù)軸標(biāo)根法得到的解集顯然和上述不一樣，因為(x1)2是偶次項，必然非負(fù)，所以在“穿針引線時，可以忽略，或者可以記住口訣“奇穿偶不穿。(x1)2 ( x2)( x3)( x4)0 的示意圖見下。專業(yè)資料整理WORD格式0.5O0.511.522.533.544.5三、解分式不等式分式不等式的解題思路，前面講了一些不等式的求解，都是講不等式的一邊化為0，另一邊為含 x 的多項式。 把一個分式不等式經(jīng)過移項和通分處理，最終總能化為f ( x)0或g ( x), , 的形式，此時解f ( x) g( x) 0就可以解出原不等式的解集。特別地，假設(shè)要

7、解f ( x)0 ，那么解f ( x) g( x)0即可。g (x)g (x)0例如2 x81，移項化簡得x23x20 ，使用穿針引線法得到解集為x2x6x2x6 x | x2或1x2或 x3 ，一定要注意 分母不為零，而分子可以為零。例：一道比較復(fù)雜的題，求a( x 1)1(a1) 的解集，現(xiàn)寫出此題的完整解題過程。x2解：原不等式通過移項通分可化為 (a1)x( a2)0 ，由于a1，所以可以進(jìn)一步化x2(a1)(xa2)a2a10 ，兩根為2 。為和x2a1當(dāng) a1時，解集為兩根的兩邊， 顯然有 a22 ，所以此時解集為 ( , a2) (2, )a1a1當(dāng) a1時，解集為兩根中間，此時

8、必須根據(jù)a的取值判斷兩根X圍。當(dāng)0a1時， a22 ，此時解集為 (2, a2)a1a1當(dāng) a0時， a22 ，此時解集為a1當(dāng) a0時， a22 ，此時解集為 (a2 ,2)a1a1至此， a 的所有值都討論完畢，所以這道題討論到這樣就完畢了當(dāng)然，如果這道題不給a1的限制條件，只需要再討論一下a1時的解集情況即可。補充內(nèi)容：一類經(jīng)典但易錯的分式不等式問題求11的解集x專業(yè)資料整理WORD格式求 11 的解集x求 11的解集x求 11的解集x求 312的解集x解答： (0,1) ( ,0)(1,) ( 1,0)(, 1)(0,11)(,)(, )，注32意的區(qū)別四、絕對值不等式對于含有絕對值的

9、不等式，解題思想為直接脫去絕對值符號f (x)g ( x)g ( x)f (x)g( x) ， f ( x)g ( x)f ( x)g (x)或 f ( x)g ( x)構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合在不等式的一端有多個絕對值時，使用零點分段法分類討論分類討論思想隨處可見平方法不等式兩邊都是非負(fù)時才能用，慎用例：圖形法某經(jīng)典問題，解不等式1a ，先畫出 f ( x) 111的圖像如下，然后分xx類討論 a 的取值，通過觀察 y f (x) 和y a的圖像，來確定不等式的解集情況。4.543.5專業(yè)資料整理WORD格式1f(x) =1xg(x ) = 132.521.510.5專業(yè)資料整理WORD格式654

10、3211234560.511.52當(dāng) a0時， yf ( x) 的圖像在ya 的圖像上方，除了點(1,1)，此時顯然不等式無解當(dāng) a1時， yf ( x) 的圖像與y1，此時的解集為1a 的圖像交點為( ,1)( , )22當(dāng) 0a1 時，y f (x)的圖像與y a 的圖像交點橫坐標(biāo)為11，此時解集為1,a 1 a(11),1a 1a專業(yè)資料整理WORD格式當(dāng) a1時， yf ( x) 的圖像與ya 的圖像交點橫坐標(biāo)為1 ,1，此時解集為1a 1a(1),(1,),a11a當(dāng)然此題使用f (x) g ( x)g (x)f ( x) g ( x) 也可以做， 化成a 11a ，只是在x討論的時

11、候需要細(xì)心，考慮到a 的所有取值。絕對值不等式的零點分段法，以及特別的做題技巧例如 x1x2 5 ，發(fā)現(xiàn)不等號左邊有兩個絕對值，所以應(yīng)該根據(jù)兩個不同的零點分段討論當(dāng) x1時，原不等式化為 2x15，解得 x2當(dāng)2x1時，原不等式化為35，顯然無解當(dāng) x2時，原不等式化為12x5，解得 x 3綜上，原不等式的解集為三種情況下的并集注意，為什么是并集而不是交集？，(, 32,)技巧：可以將絕對值看成距離，也就是將 x 1看成數(shù)軸上點 x 到點 1 的距離， 將 x 2看成 x 到-2的距離，假設(shè)畫出數(shù)軸，發(fā)現(xiàn)位于區(qū)間2,1 的點綠色點到區(qū)間端點的距離之和為 3，位于區(qū)間 2,1 之外的點到區(qū)間端點的距離之和大于3，特別地，在2處和-3處距離之和為5，所以令 x 繼續(xù)遠(yuǎn)離區(qū)間 2,1 ，發(fā)現(xiàn)距離之和大于5。2-21也就是說 x1x 2 的取值X圍是 3,同理，遇到減號的情況，例如x 3x1 ，發(fā)現(xiàn)其取值X圍是4,4此技巧常用于填空題，既可以求不等式解集，又可以求參數(shù)的X圍。例 1：假設(shè)存在實數(shù)x 使得不等式 x 1 xa 1 成立，那么 a 的取值X圍是？答案 2,0 例 2：不等式 x2 x 1 2 的解集是？答案 (,1 2五、無理不等式無理不等式能出的考題較少，主要是要