第7章 差分方程模型

1、第七章第七章 差分方程模型差分方程模型 在經濟與管理或其他實際問題中，大多數(shù)的變量是以定義在整數(shù)集上的數(shù)列形式變化的，例如，銀行中的定期存款按所設定的時間等間隔計息，國家的財政預算按年制定等等。通常稱這類變量為離散型變量。根據(jù)客觀事物的運行機理和規(guī)律，我們可以得到在不同取值點上的各離散變量之間的關系，如遞推關系，時滯關系等。描述各離散變量之間關系的數(shù)學模型稱為離散型模型，求解這類模型可以得知各個離散型變量的運行規(guī)律。 本章簡單介紹在經濟學和其他實際問題中最常見的一種以整數(shù)為自變量的函數(shù)以及相關的離散數(shù)學模型差分方程模型。 7.1 差分方程基本概念和方法差分方程基本概念和方法 7.2 7.2 市

2、場經濟中的蛛網(wǎng)模型市場經濟中的蛛網(wǎng)模型 7.3 7.3 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運動節(jié)食與運動 7.4 7.4 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型引例引例 漢諾塔問題漢諾塔問題 n n個大小不同的圓盤依其半徑大小依次套個大小不同的圓盤依其半徑大小依次套在樁在樁A A上，大的在下，小的在上，現(xiàn)要將上，大的在下，小的在上，現(xiàn)要將n n個個盤移到空樁盤移到空樁B B或或C C上，但要求一次只能移動一上，但要求一次只能移動一個盤且移動過程中，始終保持大盤在下，小個盤且移動過程中，始終保持大盤在下，小盤在上，移動過程中樁盤在上，移動過程中樁A A也可利用，設移動也可利用，設移動n n個盤的次數(shù)為

3、個盤的次數(shù)為 ，試建立關于，試建立關于 的差分方程的差分方程nanaABC 先將A上的n-1個盤按題設要求移到C上，這需要移動 次，再將A上的最大盤移到B上，這需要一次，最后將C上的n-1個盤按要求移到B上，這又需要移動 次，于是得差分方程：ABC1na1na11211nnaaa7.1 7.1 差分方程基本概念和方法差分方程基本概念和方法常系數(shù)線性差分方程的解法常系數(shù)線性差分方程的解法求解漢諾塔問題求解漢諾塔問題： 11211nnaaa解 對應的齊次方程的通解為 *2nnaA觀察特解為 1na 因為初始條件 11a 故有解 21nna 7.2 市場經濟中的蛛網(wǎng)模型市場經濟中的蛛網(wǎng)模型問問 題題

4、供大于求供大于求現(xiàn)現(xiàn)象象商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降價格下降減少產量減少產量增加產量增加產量價格上漲價格上漲供不應求供不應求描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律數(shù)量與價格在振蕩數(shù)量與價格在振蕩蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時段商品數(shù)量；時段商品數(shù)量；yk第第k時段商品價格時段商品價格消費者的需求關系消費者的需求關系)(kkxfy 生產者的供應關系生產者的供應關系減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)供應函數(shù)供應函數(shù)需求函數(shù)需

5、求函數(shù)f與與g的交點的交點P0(x0,y0) 平衡點平衡點一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0設設x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點是不穩(wěn)定平衡點gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyh

6、x在在P0點附近用直線近似曲線點附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致)(00 xxyykk 商品數(shù)量減少商品數(shù)量減少1單位單位, 價格上漲幅度價格上漲幅度)(001yyxxkk 價格上漲價格上漲1單位單位, (下時段下時段)供應的增量供應的增量考察考察 , 的含義的含義 消費者對需求的敏感程度消費者對需求的敏感程度 生產者對價格的敏感程度生產者對

7、價格的敏感程度 小小, 有利于經濟穩(wěn)定有利于經濟穩(wěn)定 小小, 有利于經濟穩(wěn)定有利于經濟穩(wěn)定結果解釋結果解釋xk第第k時段商品數(shù)量；時段商品數(shù)量；yk第第k時段商品價格時段商品價格1經濟穩(wěn)定經濟穩(wěn)定結果解釋結果解釋經濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法經濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變以行政手段控制價格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經濟實力控制數(shù)量不變靠經濟實力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf結果解釋結果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直供應曲線變?yōu)樨Q直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產

8、者根據(jù)當前時段和前一時生產者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量。段的價格決定下一時段的產量。)(00 xxyykk生產者管理水平提高生產者管理水平提高設供應函數(shù)為設供應函數(shù)為需求函數(shù)不變需求函數(shù)不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根

9、 022平衡點穩(wěn)定，即平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點穩(wěn)定條件平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣7.3 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運動節(jié)食與運動背背景景 多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持 通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分分析析 體重變化由體內能量守恒破壞引起體重變化由體內能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運動（消

10、耗熱量）引起體重減少代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少 體重指數(shù)體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假設模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量每每8000千卡增加體重千卡增加體重1千克；千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗每周每公斤體重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異), 相當于相當于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動）運動引起的體重減少正比于體重，且與運

11、動形式有關；形式有關； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。千卡。某甲身高某甲身高1.7米，體重米，體重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。千克。第一階段：每周減肥第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（少，直至達到下限（10000千卡）；千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標 2）若

12、要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。）給出達到目標后維持體重的方案。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 確定某甲的代謝消耗系數(shù)確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)體重體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)代謝消耗系數(shù)(因人而異因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不

13、運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不變千克不變wcww025. 0100800020000wc 第一階段第一階段: w(k)每周減每周減1千克千克, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一階段第一階段10周周, 每周減每周減1千克，第千克，第10周末體重周末體重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收熱量為吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥

14、計劃1)(1)1(kwkc10000mC)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 5

15、050)(975.0)(kwnkwn第二階段第二階段19周周, 每周吸收熱量保持每周吸收熱量保持10000千卡千卡, 體重按體重按 減少至減少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25lg(n)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取運動運動 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小時或自行車小時或自行車10小時小時), 14周即可。周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃）第二階段增加運動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行車自行

16、車(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運動每周運動時間時間(小時小時)()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkwnkw)()1()(3）達到目標體重）達到目標體重75千克后維持不變的方案千克后維持不變的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收熱量每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)保持某常數(shù)C，使體重，使體重w不變不變wtCww)(wtC)()(1500075025. 08000千卡C 不運動不運動)(1680075028. 08000千卡C 運動運

17、動(內容同前內容同前)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk7.3 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點穩(wěn)定平衡點(與與r大小無關大小無關)離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時刻的數(shù)量時刻的數(shù)量(人口人口)yk 某種群第某種群第k代的數(shù)量代的數(shù)量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即討論平衡點的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點是平衡點kkyNrrx) 1( 1rb記) 1 ()1 (1Nyry

18、yykkkk離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點的平衡點y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點的平衡點brrx111*(1)的平衡點的平衡點 x*代數(shù)方程代數(shù)方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點的平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點的穩(wěn)定平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點的不穩(wěn)定平衡點補充知識補充知識一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點及穩(wěn)定性的平衡點及穩(wěn)定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點平衡點bx11*穩(wěn)定性穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調增）0 x1x1x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不穩(wěn)定不穩(wěn)定另一平