同濟大學第六版高等數(shù)學上下冊課后習題答案(14)

1、.習題7-1 1. 設(shè)u=a-b+2c, v=-a+3b-c. 試用a、b、c表示2u-3v . 解 2u-3v =2(a-b+2c)-3(-a+3b-c) =2a-2b+4c+3a-9b+3c =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一個四邊形的對角線互相平分, 試用向量證明這是平行四邊形. 證 ; , 而 , , 所以 . 這說明四邊形ABCD的對邊AB=CD且AB/CD, 從而四邊形ABCD是平行四邊形. 3. 把DABC的BC邊五等分, 設(shè)分點依次為D1、D2、D3、D4, 再把各分點與點A連接. 試以、表示向量、. 解 , , , . 4. 已知兩點M1(0, 1, 2)和M2(1,

2、 -1, 0). 試用坐標表示式表示向量及. 解 , . 5. 求平行于向量a=(6, 7, -6)的單位向量. 解 , 平行于向量a=(6, 7, -6)的單位向量為 或. 6. 在空間直角坐標系中, 指出下列各點在哪個卦限？ A(1, -2, 3); B(2, 3, -4); C(2, -3, -4); D(-2, -3, 1). 解 A在第四卦限, B在第五卦限, C在第八卦限, D在第三卦限. 7. 在坐標面上和坐標軸上的點的坐標各有什么特征？指出下列各點的位置: A(3, 4, 0); B(0, 4, 3); C(3, 0, 0); D(0, -1, 0). 解 在xOy面上, 點的

3、坐標為(x, y, 0); 在yOz面上, 點的坐標為(0, y, z); 在zOx面上, 點的坐標為(x, 0, z). 在x軸上, 點的坐標為(x, 0, 0); 在y軸上, 點的坐標為(0, y, 0), 在z軸上, 點的坐標為(0, 0, z). A在xOy面上, B在yOz面上, C在x軸上, D在y軸上. 8. 求點(a, b, c)關(guān)于(1)各坐標面; (2)各坐標軸; (3)坐標原點的對稱點的坐標. 解 (1)點(a, b, c)關(guān)于xOy面的對稱點為(a, b, -c), 點(a, b, c)關(guān)于yOz面的對稱點為(-a, b, c), 點(a, b, c)關(guān)于zOx面的對稱

4、點為(a, -b, c). (2)點(a, b, c)關(guān)于x軸的對稱點為(a, -b, -c), 點(a, b, c)關(guān)于y軸的對稱點為(-a, b, -c), 點(a, b, c)關(guān)于z軸的對稱點為(-a, -b, c). (3)點(a, b, c)關(guān)于坐標原點的對稱點為(-a, -b, -c). 9. 自點P0(x0, y0, z0)分別作各坐標面和各坐標軸的垂線, 寫出各垂足的坐標. 解 在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐標分別為(x0, y0, 0)、(0, y0, z0)和(x0, 0, z0). 在x軸、y軸和z軸上, 垂足的坐標分別為(x0, 0, 0), (0, y0

5、, 0)和(0, 0, z0). 10. 過點P0(x0, y0, z0)分別作平行于z軸的直線和平行于xOy面的平面, 問在它們上面的點的坐標各有什么特點？ 解 在所作的平行于z軸的直線上, 點的坐標為(x0, y0, z); 在所作的平行于xOy面的平面上, 點的坐標為(x, y, z0). 11. 一邊長為a的立方體放置在xOy面上, 其底面的中心在坐標原點, 底面的頂點在x軸和y軸上, 求它各頂點的坐標. 解 因為底面的對角線的長為, 所以立方體各頂點的坐標分別為 , , , , , , , . 12. 求點M(4, -3, 5)到各坐標軸的距離. 解 點M到x軸的距離就是點(4, -

6、3, 5)與點(4, 0, 0)之間的距離, 即 . 點M到y(tǒng)軸的距離就是點(4, -3, 5)與點(0, -3, 0)之間的距離, 即 . 點M到z軸的距離就是點(4, -3, 5)與點(0, 0, 5)之間的距離, 即 . 13. 在yOz面上, 求與三點A(3, 1, 2)、B(4, -2, -2)和C(0, 5, 1)等距離的點. 解 設(shè)所求的點為P(0, y, z)與A、B、C等距離, 則 , , . 由題意, 有 , 即 解之得y=1, z=-2, 故所求點為(0, 1, -2). 14. 試證明以三點A(4, 1, 9)、B(10, -1, 6)、C(2, 4, 3)為頂點的三角

7、形是等腰三角直角三角形. 解 因為 , , , 所以, . 因此DABC是等腰直角三角形. 15. 設(shè)已知兩點和M2(3, 0, 2). 計算向量的模、方向余弦和方向角. 解 ; ; , , ; , , . 16. 設(shè)向量的方向余弦分別滿足(1)cosa=0; (2)cosb=1; (3)cosa=cosb=0, 問這些向量與坐標軸或坐標面的關(guān)系如何？ 解 (1)當cosa=0時, 向量垂直于x軸, 或者說是平行于yOz面. (2)當cosb=1時, 向量的方向與y軸的正向一致, 垂直于zOx面. (3)當cosa=cosb=0時, 向量垂直于x軸和y軸, 平行于z軸, 垂直于xOy面. 17. 設(shè)向量r的模是4, 它與軸u的夾角是60, 求r在軸u上的投影. 解 . 18. 一向量的終點在點B(2, -1, 7), 它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為4, -4, 7. 求這向量的起點A的坐標. 解 設(shè)點A的坐標為(x, y, z). 由已知得 , 解得x=-2, y=3, z=0. 點A的坐標為A(-2, 3, 0). 19. 設(shè)m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k. 求向量a=4m+3n