[很全]拋物線焦點(diǎn)弦的有關(guān)結(jié)論附答案

1、知識(shí)點(diǎn)(1) X1X2很全拋物線焦點(diǎn)弦的有關(guān)結(jié)論1:若AB是過(guò)拋物線y2 2 Pxp0的焦點(diǎn)F的弦。設(shè)A %, y , B X2, y22/ y1y2 P2證明：如圖,(1)若AB的斜率不存在時(shí),依題息 X1X2-,X1X22若AB的斜率存在時(shí)，設(shè)為k,則 AB : y與y22 Px聯(lián)立，得k2 x-2 22 Px k xk22 pxX1X2X1X2(2)Xi2上x(chóng)C ,X22P22yi y2yi y20,yy2(2)另證：設(shè) AB : x myP匕 2上與y 22pX聯(lián)立，得22y 2 Pmy p 0, yy2,則(1)若900，設(shè) AB:y k仔x P，與y2 2Px聯(lián)立, 2k2 x22

2、 2px2 pxXiX2*kABXiX24.2，2 p k iz，而 k tan ,k2AB22p i tantan22P2 sin知識(shí)點(diǎn)3:若AB是過(guò)拋物線y22PX P0的焦點(diǎn)F的弦，則以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。證明：過(guò)點(diǎn)A、B分別向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為Ai、Bi,過(guò)AB中點(diǎn)M向準(zhǔn)線引垂線，垂足為N,設(shè)以AB為直徑的圓的半徑為r,2rABAFBFAAiBBi2 MNMNr.以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。知識(shí)點(diǎn)4:若AB是過(guò)拋物線y2 2px p0的焦點(diǎn)的弦。過(guò)點(diǎn)A、B分別向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為A. Bi,則AiFBi900 。證明借助于平行線和等腰三角形

3、容易證明oB知識(shí)點(diǎn)5:若AB是過(guò)拋物線y2 2px p0的焦點(diǎn)的弦，拋物線的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn) K ,貝U AKF BKF.證明：過(guò)點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為AA1 / KF / BB1AiKBiKAF工而AFFBA1A, BFB1BAKB1KAiAB1BAiKBiKAK,|IIJAAi KA ABiBFBB1K900AAKs BB1KAKAB1KB2 pxAKF BKF知識(shí)點(diǎn)6:若AB是過(guò)拋物線y1 2 2px p 0的焦點(diǎn)F的弦，o為拋物線的頂點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交該拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C,則 BC/OF.證明：設(shè)A x1,y1AB : y "x,x1yp2x1yp22注2p

4、2 py由知識(shí)點(diǎn)1知2yy2pyc2p_2py2y2BC/OF逆定理：若AB是過(guò)拋物線y2 2px0的焦點(diǎn)F的弦，過(guò)點(diǎn)B作BCOF交拋物線準(zhǔn)線于點(diǎn)c,則A、C、。三點(diǎn)共線。證明略知識(shí)點(diǎn)7:若AB是過(guò)拋物線y2 2px p證法:(1)若 ABx軸，則AB為通徑，而AB2p,的焦點(diǎn)F的弦,(2)若AB與x軸不垂直,設(shè) A Xi，yi , B X2, V2的斜率為則l : y k x上與 22yk4 2 Px 聯(lián)立，得 k2 x 2 px k2x2 k22由拋物線的定義知AFPX1,n2BFX2X1 X2 Pn mnX1X2X1X2n,則n證明AFxF0SBOFBmsinsin2msinmnmn1n

5、mnmn20PynAMBMmn sin2P2 pxS AOBS AOBS AOF4: m1 P2 2:m2 psin2S AOB2P4P2 n 4 m12P4_P_1 cosn,且 S AOB2 Pmn2 mnP cos知識(shí)點(diǎn)8:已知拋物線AB為其過(guò)焦點(diǎn)F的弦,0中,AFm, BFM ,若證明:設(shè) A Xi, yi , B X2,y2,則,M t,02 y2 Pxpm，則弦AB過(guò)焦點(diǎn) nS AOBAOM S_1+ bom =-tm sin21+ . tn sin2y .in,siny2. 2,sinN1V2mnmnAMxS而sin1m ntsin 2sinyy2mnAOBnt. y1y2mn1

6、 m n t. y1y22 mn而 S AOBt. yy2、l : x ay t 2又可設(shè) 2y 2 pay 2Pt 0v1V22Pt y 2px由得t - AB恒過(guò)焦點(diǎn)匕0 22例1、過(guò)拋物線y變式：直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)F ,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，由A, B分別向準(zhǔn)線引垂線AA',BB,垂足分別為a',B'，如果AR a, BF b, Q為A'B的中點(diǎn)， 2 卜2則叫.(用a,b表示)上二ouuu uur例3、設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,過(guò)焦點(diǎn)的直線l交拋物線y2 4x于A,B兩點(diǎn)，OA OB -3例4、過(guò)拋物線y2 ax(a 0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P,Q兩11 點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是p,q ,則,1 p q小結(jié):(1)拋物線中的焦點(diǎn)弦問(wèn)題很多都可以轉(zhuǎn)化為這個(gè)直角梯形中的問(wèn)題，在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)注意對(duì)這個(gè)梯形的運(yùn)用；(2)萬(wàn)變不離其宗，解決問(wèn)題的關(guān)鍵仍然是拋物線定義 . 4x的焦點(diǎn)做直線交拋物線于A(xi,yi), B(X2,y2)兩點(diǎn)，如果x X2 6 ,那么AB . 8變式：過(guò)拋物線y2 4x的焦點(diǎn)做直線交拋物線于 A,B兩點(diǎn)，如果AB 8, O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OAB的重心的橫坐標(biāo)是. 2例2、直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)F ,