同濟大學第六版高等數(shù)學上下冊課后習題答案(16)

1、.習題6-2 1. 求圖6-21 中各畫斜線部分的面積: (1) 解 畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為0, 1. 所求的面積為 . (2) 解法一 畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為0, 1. 所求的面積為 , 解法二 畫斜線部分在y軸上的投影區(qū)間為1, e. 所求的面積為 . (3) 解 畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為-3, 1. 所求的面積為 . (4) 解 畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為-1, 3. 所求的面積為 . 2. 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積: (1) 與x2+y2=8(兩部分都要計算); 解: . . (2)與直線y=x及x=2; 解: 所求的面積為 . (3) y=ex, y

2、=e-x與直線x=1; 解: 所求的面積為 . (4)y=ln x, y軸與直線y=ln a, y=ln b (b>a>0). 解 所求的面積為 3. 求拋物線y=-x2+4x-3及其在點(0, -3)和(3, 0)處的切線所圍成的圖形的面積. 解: y¢=-2 x+4. 過點(0, -3)處的切線的斜率為4, 切線方程為y=4(x-3). 過點(3, 0)處的切線的斜率為-2, 切線方程為y=-2x+6. 兩切線的交點為, 所求的面積為 . 4. 求拋物線y2=2px及其在點處的法線所圍成的圖形的面積. 解 2y×y¢=2p . 在點處, , 法線的

3、斜率k=-1, 法線的方程為, 即. 求得法線與拋物線的兩個交點為和. 法線與拋物線所圍成的圖形的面積為 . 5. 求由下列各曲線 所圍成的圖形的面積;(1)r=2acosq ; 解: 所求的面積為 =pa2. (2)x=acos3t, y=asin3t; 解 所求的面積為 . (3)r=2a(2+cosq ) 解 所求的面積為 . 6. 求由擺線x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱(0£t£2p)與橫軸 所圍成的圖形的面積. 解: 所求的面積為 . 7. 求對數(shù)螺線r=aeq(-p£q£p)及射線q=p所圍成的圖形面積. 解 所求

4、的面積為 . 8. 求下列各曲線所圍成圖形的公共部分的面積. (1)r=3cosq 及r=1+cosq 解 曲線r=3cosq 與r=1+cosq 交點的極坐標為, . 由對稱性, 所求的面積為 . (2)及. 解 曲線與的交點M的極坐標為M. 所求的面積為 . 9. 求位于曲線y=ex下方, 該曲線過原點的切線的左方以及x軸上方之間的圖形的面積. 解 設直線y=kx與曲線y=ex相切于A(x0, y0)點, 則有 , 求得x0=1, y0=e, k=e . 所求面積為 . 10. 求由拋物線y2=4ax與過焦點的弦所圍成的圖形的面積的最小值. 解 設弦的傾角為a. 由圖可以看出, 拋物線與過

5、焦點的弦所圍成的圖形的面積為 . 顯然當時, A1=0; 當時, A1>0. 因此, 拋物線與過焦點的弦所圍成的圖形的面積的最小值為 . 11. 把拋物線y2=4ax及直線x=x0(x0>0)所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn), 計算所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 12. 由y=x3, x=2, y=0所圍成的圖形, 分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn), 計算所得兩個旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 13. 把星形線所圍成的圖形, 繞x軸旋轉(zhuǎn), 計算所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 由對稱性, 所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 14. 用積分方法證明圖中球缺

6、的體積為. 證明 . 15. 求下列已知曲線所圍成的圖形, 按指定的軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積: (1), , 繞y軸; 解 . (2), x=0, x=a, y=0, 繞x軸; 解 . (3), 繞x 軸. 解 . (4)擺線x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱, y=0, 繞直線y=2a. 解 . 16. 求圓盤繞x=-b(b>a>0)旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 . 17. 設有一截錐體, 其高為h, 上、下底均為橢圓, 橢圓的軸長分別為2a、2b和2A、2B, 求這截錐體的體積. 解 建立坐標系如圖. 過y軸上y點作垂直于y軸的平面, 則平面與截錐體的截

7、面為橢圓, 易得其長短半軸分別為 , . 截面的面積為. 于是截錐體的體積為 . 18. 計算底面是半徑為R的圓, 而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積. 解 設過點x且垂直于x軸的截面面積為A(x), 由已知條件知, 它是邊長為的等邊三角形的面積, 其值為 , 所以 . 19. 證明 由平面圖形0£a£x£b, 0£y£f(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 證明 如圖, 在x處取一寬為dx的小曲邊梯形, 小曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積近似為2px×f(x)dx, 這就是體積元素, 即 dV=2p

8、x×f(x)dx, 于是平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 20. 利用題19和結(jié)論, 計算曲線y=sin x(0£x£p)和x軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 . 21. 計算曲線y=ln x上相應于的一段弧的長度. 解 , 令, 即, 則 . 22. 計算曲線上相應于1£x£3的一段弧的長度. 解 , , , , 所求弧長為 . 23. 計算半立方拋物線被拋物線截得的一段弧的長度. 解 由得兩曲線的交點的坐標為, . 所求弧長為. 因為 , , . 所以 . 24. 計算拋物線y2=2px 從頂點到這曲線上的一點M(x

9、, y)的弧長. 解 . 25. 計算星形線, 的全長. 解 用參數(shù)方程的弧長公式. . 26. 將繞在圓(半徑為a)上的細線放開拉直, 使細線與圓周始終相切, 細線端點畫出的軌跡叫做圓的漸伸線, 它的方程為 , . 計算這曲線上相應于t從0變到p的一段弧的長度. 解 由參數(shù)方程弧長公式 . 27. 在擺線x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)上求分擺線第一拱成1: 3的點的坐標. 解 設t從0變化到t0時擺線第一拱上對應的弧長為s(t0), 則 . 當t0=2p時, 得第一拱弧長s(2p)=8a. 為求分擺線第一拱為1: 3的點為A(x, y), 令 , 解得, 因而分點的坐標為: 橫坐標,