多元函數(shù)的導數(shù)

1、第六章多元函數(shù)微積分第六章多元函數(shù)微積分6-46-4多元函數(shù)多元函數(shù)的導數(shù)的導數(shù) 6-4-1 6-4-1 偏偏導數(shù)導數(shù)6-4-2 6-4-2 高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)6-4-3 6-4-3 多元復合函數(shù)的求導法多元復合函數(shù)的求導法6-4-4 6-4-4 隱函數(shù)的求導法隱函數(shù)的求導法一元函數(shù)導數(shù)的概念：一元函數(shù)導數(shù)的概念：0000()()()limxf xxf xfxx 表示函數(shù)表示函數(shù)( )f x在點在點0 x處的導數(shù)處的導數(shù)其中其中00()()yf xxf x 函數(shù)的改變量函數(shù)的改變量對于二元函數(shù)對于二元函數(shù)( , ),zf x y類似的有函數(shù)的改變量類似的有函數(shù)的改變量稱為偏增量稱為偏增量00

2、00(,)(,)xzf xx yf xy 0000(,)(,)yzf xyyf xy00(,),xyfx 設函數(shù)設函數(shù) 在點在點 的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)有定義，若有定義，若 存在，則存在，則稱此極限值為稱此極限值為 函數(shù)在點函數(shù)在點 處對處對x的偏的偏導數(shù)，導數(shù)，( , )zf x y 00(,)xy( , )zf x y 00(,)xy00000(,)(,)limxf xx yf xyx 定義定義 6-8 6-4-1 6-4-1 偏偏導數(shù)導數(shù)1偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的定義00(,),xyzx 00(,),xzxy00(,).xfxy ， 記作記作 同理，若同理，若 存在，則存在，則稱此極限值為

3、稱此極限值為 在點在點 處對處對y的偏導的偏導數(shù)，數(shù)， 00000(,)(,)limyf xyyf xyy ( , )zf x y 00(,)xy00(,).yfxy 00(,),xyzy 00(,),yzxy 記作記作即即0000000(,)(,)(,)limxxyf xx yf xyzxx 00(,),xyfy 即即0000000(,)(,)(,)limyxyf xyyf xyzyy 如果如果 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)每一點內(nèi)每一點 處對處對x的偏導數(shù)都存在，那么這個偏導數(shù)仍是的偏導數(shù)都存在，那么這個偏導數(shù)仍是 的函的函數(shù)，此函數(shù)稱為數(shù)，此函數(shù)稱為 函數(shù)對自變量函數(shù)對自變量x的偏導的偏導函數(shù)，函數(shù)

4、，( , )zf x y ( , )x y, x y( , )zf x y ,zx ( , ),f x yx ,xz ( , )xfx y 記作記作 類似地，可以定義函數(shù)類似地，可以定義函數(shù) 對自變量對自變量y的的偏導函數(shù)，偏導函數(shù)，( , )zf x y ,zy ( , ),f x yy ,yz ( , )yfx y 記作記作 在不致混淆的情況下，偏導函數(shù)也稱偏導數(shù)在不致混淆的情況下，偏導函數(shù)也稱偏導數(shù)。 偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)。偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)。 2偏導數(shù)的求法偏導數(shù)的求法 232 ,22zzxyxyxy(1,1)(1,1)5,4zzxy 解：解：所以所以

5、 例例6-29 求函數(shù)求函數(shù) 在點在點 處處的兩個偏導數(shù)的兩個偏導數(shù)2332zxxyy (1,1)因為因為對對x求偏導數(shù)把求偏導數(shù)把y看成常看成常數(shù)；對數(shù)；對y 求偏導數(shù)把求偏導數(shù)把x看看成常數(shù)；成常數(shù)； 例例6-30 設設 求求(0),yzxx ,zzxy 1yzyxx 解：解：lnyzxxy 例例6-31 設設 ， 求證：求證：222uxyz 2224uuuuxyz 2 ,2 ,2uuuxyzxyz 222uuuxyz證明：證明：所以所以因為因為 22244xyzu 3偏導數(shù)的幾何意義偏導數(shù)的幾何意義 二元函數(shù)二元函數(shù) 在點在點 處的偏導數(shù)，處的偏導數(shù)，是一元函數(shù)是一元函數(shù) 及及 分別在點

6、分別在點 及及 處的導數(shù)處的導數(shù)( , )zf x y 00(,)xy0( ,)zf x y 0(, )zf xy 0yy 0 xx 因此二元函數(shù)因此二元函數(shù) 的偏導數(shù)的幾何意義是曲線切的偏導數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率線的斜率( , )zf x y 6-4-2 6-4-2 高階偏導數(shù)高階偏導數(shù) 如果這兩個函數(shù)關于如果這兩個函數(shù)關于x，y的偏導數(shù)也存在，的偏導數(shù)也存在，則稱它們的偏導數(shù)是則稱它們的偏導數(shù)是 的二階偏導數(shù)。的二階偏導數(shù)。 ( , )zf x y 函數(shù)函數(shù) 的兩個偏導數(shù)的兩個偏導數(shù)( , )zf x y ( , ),xzfx yx ( , )yzfx yy 一般說來仍然是一般說來仍

7、然是x，y的函數(shù)，的函數(shù)，xzx yzx xzy 22( , )yyyyyzzzfx yzyyyy 依照對變量的不同求導次序，依照對變量的不同求導次序， 的二階的二階偏導數(shù)有四個：偏導數(shù)有四個：( , )zf x y zxx 22zx ( , )xxxxfx yz xzx zyx 2zx y ( , )xyxyfx yz xzy zxy 2zy x ( , )yxyxfx yz yzx 其中其中 及及 稱為二稱為二階混合偏導數(shù)。階混合偏導數(shù)。2( , )xyzfx yx y 2( , )yxzfx yy x 對于二階混合偏導數(shù)有下述定理對于二階混合偏導數(shù)有下述定理 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)

8、域D上兩個二階混合上兩個二階混合偏導數(shù)偏導數(shù) 及及 連續(xù)，則連續(xù)，則 在區(qū)域在區(qū)域D上有上有( , )zf x y 22zzx yy x 2( , )xyzfx yx y 2( , )yxzfx yy x 定理定理 6-3 類似地，可以定義三階、四階、類似地，可以定義三階、四階、n階偏導階偏導數(shù)，二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)。數(shù)，二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)。 例例6-32 求函數(shù)求函數(shù) 的所有二階偏導數(shù)的所有二階偏導數(shù).e cosxzy e cos,xzyx e sinxzyy 22(e cos )xxzyx 2( e sin )xxzyy x 2(e cos )xyzyx

9、y 22( e sin )xyzyy 解解 ： 因為因為所以所以e sinxy e sinxy e cosxy = e cosxy例例6-33 求函數(shù)求函數(shù) 的所有二階偏導數(shù)的所有二階偏導數(shù).exyz e ()xyxzxyx exyzxy 222(e )xyxzyx 2( e )xyyzyx y 2( e )xyxzxy x 22( e )( )()xyxyxyyyyzxxex ey 解解 ： 因為因為所以所以2exyy ee ,xyxyxy( ) e(e )xyxyyyyy = eexyxyxy ( ) e(e )xyxyxxxx 2exyx exyy 6-4-3 6-4-3 多元復合函數(shù)的

10、求導法多元復合函數(shù)的求導法一元復合函數(shù)一元復合函數(shù)( ),( )yf u ux 求導法則求導法則uxdy duyyudu dx( ),( )zftt 可理解為可理解為(,)zf u v ( ),ut ( )vt 復合而成復合而成稱為多元復合函數(shù)稱為多元復合函數(shù)6-4-3 6-4-3 多元復合函數(shù)的求導法多元復合函數(shù)的求導法1 1中間變量均為一元函數(shù)的情形中間變量均為一元函數(shù)的情形 如果函數(shù)如果函數(shù) 均在點均在點t處可導，函處可導，函數(shù)數(shù) 在對應點在對應點 處具有連續(xù)的偏導處具有連續(xù)的偏導數(shù)，則復合函數(shù)數(shù)，則復合函數(shù) 在點處可導，且在點處可導，且有求導公式：有求導公式：( ),ut ( )vt

11、(,)zf u v (,)u v( ),( )zftt ddddddzzuzvtutvt用樹圖形象地表示它的用樹圖形象地表示它的結構，就是結構，就是 zu tv t其中其中 表示多元表示多元函數(shù)的導數(shù)（偏導）函數(shù)的導數(shù)（偏導）,zzuv2 2中間變量均是二元函數(shù)的情形中間變量均是二元函數(shù)的情形 (,) xy 設設 在點在點 處都具有處都具有偏導數(shù)偏導數(shù), ,二元函數(shù)二元函數(shù) 在對應點在對應點 處具有處具有連續(xù)的偏導數(shù)，則復合函數(shù)連續(xù)的偏導數(shù)，則復合函數(shù)在點在點 處的兩個偏導數(shù)存在，并有求導公式：處的兩個偏導數(shù)存在，并有求導公式：(,),(,)uxyvxy(,)xy(,)zf u v (,)u

12、v(,),(,) )zfxyxy (,)xyzzuzvxuxv x zzuzvyuyv y 用樹圖形象地表示它用樹圖形象地表示它的結構，就是的結構，就是 xyvzuxy 上述公式稱為上述公式稱為“鏈式法則鏈式法則”. .在多元復合函數(shù)在多元復合函數(shù)的求導過程中的求導過程中, “, “鏈式法則鏈式法則”的使用有多種情形的使用有多種情形. 例如：例如： 設設 在點在點 處都具有偏導數(shù)處都具有偏導數(shù), ,三元函數(shù)三元函數(shù) 在對應在對應 點點 處具有連續(xù)的偏導數(shù)，則復合函數(shù)處具有連續(xù)的偏導數(shù)，則復合函數(shù) 在點在點 處的兩個偏處的兩個偏 導數(shù)存在，并有求導公式：導數(shù)存在，并有求導公式：(,),(,),(

13、,)uxyvxywxy (,)xy(,)zf u v w (,)u v w(,),(,) )zfxyxy (,)xyzzuzvzwxuxvxwx zzuzvzwyuyv ywy zwxyvxyuxy設設 在點在點x處可導，處可導， 在點在點 具有偏導數(shù)具有偏導數(shù), , 函數(shù)函數(shù) 在對應點在對應點 處具處具有連續(xù)的偏導數(shù)，則復合函數(shù)有連續(xù)的偏導數(shù)，則復合函數(shù)在點在點 處的兩個偏導數(shù)存在，并有求導公式：處的兩個偏導數(shù)存在，并有求導公式：(),ux (,)xy(,)zf u v (, )u v(),(,) )zfxxy (,)xy(,)vxy ddzzuzvxu xv x zzvyv y xyvuz

14、x例例6-34 設設 求求2ln ,xzuv uvxyy ,zzxy zzuzvxuxv x 212 ln1uuvyv2222 ln()()xxyxyxy y zzuzvyuyv y 222 ln()( 1)xuuvyv 22322ln()()xxyxyxy y 解：解：例例6-35 設設 求求,sin ,cos ,vzu ut vtddztdzz duz dvdtudtv dt 1cosln( sin )vvvutuut (coslnsin )vvututu 2coscos(sin )(sinlnsin )sintttttt 解：解：例例6-36 設設 ，求求e22(,)xyzf xyzx

15、zzuzvxuxvx e2xyuvfxfy e2xyuvxfyf 解：解： 設設22,xyuxyve 則則(,),zf u v 若用若用 表示對第表示對第 個中間變量的偏導數(shù)個中間變量的偏導數(shù) ，則，則if i(1, 2)i e122xyzxfyfx 2uzzufxxux 1( 2 )uzzufyyux 2(2)uuzzyxfxyxxyfxxy 例例6-37 設設 ，其中其中 可導，可導， 證明；證明；22( ),zyf uuxy zzyxxxyf證：證：所以所以6-4-4 6-4-4 隱函數(shù)的求導法隱函數(shù)的求導法復習多元復合函數(shù)求導法則（鏈式法則）復習多元復合函數(shù)求導法則（鏈式法則）= (

16、, )zf u v= ( , ),( , )ux y vx y 則有則有zzuzvxuxvx zzuzvyuyvy 而e22(,)xyzf xyzx 求求則有則有2212()()xyxxzfxyfex 6-4-4 6-4-4 隱函數(shù)的求導法隱函數(shù)的求導法 1 1由二元方程由二元方程 所確定的一元隱函數(shù)所確定的一元隱函數(shù) 的求導公式的求導公式 ( , )0F x y ( )yf x 將方程將方程 兩邊對兩邊對 求導，得求導，得 x( , )0F x y dd( )0 xxyyFxFxddxyFyxF 所以所以按多元復合函按多元復合函數(shù)求導法則數(shù)求導法則 2由二元方程由二元方程 所確定的二元隱函數(shù)

17、所確定的二元隱函數(shù) 的求導公式的求導公式 ( , , )0F x y z (,)zfxy 將方程將方程 兩邊對兩邊對 求導，得求導，得 x( , , )0F x y z ( )( )0 xxyxzzFxFyFx xzFzxF 所以所以同理同理yzFzyF 按多元復合函按多元復合函數(shù)求導法則數(shù)求導法則需要說明的是需要說明的是表示三元函數(shù)分別對表示三元函數(shù)分別對自變量自變量 的導數(shù)的導數(shù),xyzFFF, ,x y z33( , )16F x yxyx 2316,xFx 23yFy 223163xyFdyxdxFy 令令 例例6-38 設設 ，求求3316xyx ddyx解：解：因為因為所以所以例例6-39 設設 ，求求ddyxsin(