二重積分的變量代換

1、 蘭亭序蘭亭序 之之 高數版高數版定理定理21. .11 若函數若函數 (,),(,)P x yQ x y在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上上 有連續(xù)的一階偏導數有連續(xù)的一階偏導數, 則有則有ddd ,LDQPP xQ yxy (1)這里這里 L 為區(qū)域為區(qū)域 D 的邊界曲線的邊界曲線, 并取正方向并取正方向. 公式公式(1)稱為稱為格林公式格林公式. 復復 習習注意定理使用的條件注意定理使用的條件. .有向性；有向性； 連續(xù)性；連續(xù)性； 封閉性封閉性. LyQxPI dd:L 補補充充曲曲線線使使其其閉閉合合后后用用格格林林公公式式. .ddddL llIP xQ yP xQ y 則則1 1. .滿滿

2、足足連連續(xù)續(xù)性性的的條條件件，則則可可直直接接用用格格林林公公式式. .2 2. .不不滿滿足足連連續(xù)續(xù)性性的的條條件件，則則添添加加曲曲線線挖挖去去洞洞眼眼. . ddddL llIP xQ yP xQ y 則則補補充充曲曲線線的的原原則則： xy1 1. .盡盡可可能能與與 、 軸軸平平行行；.DD 2 2. .與與原原來來的的圖圖形形圍圍在在一一起起為為或或yxo1 ddLP xQ y （一）曲線積分與路徑無關的定義（一）曲線積分與路徑無關的定義2 ddLP xQ y 即只與即只與起點起點和和終點終點有關有關.則稱曲線積分則稱曲線積分與路徑無關與路徑無關. LyQxP dd否則與路徑有關

3、否則與路徑有關.GB A1L2L顯然顯然ddLGP xQ y 在在 內內與與路路徑徑無無關關dd0,CP xQ y .CG 任意的閉曲線任意的閉曲線如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內對任意的內對任意的 有有12,L L在在G內內定理定理21. .12 設設 D 是單連通閉區(qū)域是單連通閉區(qū)域. 若函數若函數( ,),P x y( ,)Q x y 在在 D 內連續(xù)內連續(xù), 且具有一階連續(xù)偏導數且具有一階連續(xù)偏導數, 則以則以 下四個條件等價下四個條件等價: (i) 沿沿 D 內任一按段光滑封閉曲線內任一按段光滑封閉曲線 L, 有有dd0;LP xQ y(ii) 對對 D 中任一按段光滑曲線中任一按段光滑曲線

4、 L, 曲線積分曲線積分 ddLP xQ y與路線無關與路線無關, 只與只與 L 的起點及終點有關的起點及終點有關;ddP xQ y ( ,)u x y(iii) 是是 D 內某一函數內某一函數的全微分的全微分, 即在即在 D 內有內有 ddd ;uP xQ y (iv) 在在 D 內處處成立內處處成立 .PQyx ARBASB證證 (i)(ii) 如圖如圖 21-19, 設設 與與 為聯結點為聯結點 A, B 的任意兩條按段光滑曲線的任意兩條按段光滑曲線, 由由 (i) 可推得可推得 ddddARBASBP xQ yP xQ yddddARBBSAP xQ yP xQ ydd0,ARBSAP

5、 xQ y所以所以dddd .ARBASBP xQ yP xQ y2119 圖圖BARS( ,),u x y(iii)(iv) 設存在函數設存在函數使得使得ddd ,uP xQ y 因此因此 ( ,)( ,),( ,)( ,).xyP x yux yQ x yux y 于是由于是由 一點處都有一點處都有 ( , )( , ).xyyxPQux yux yyx即即 以及以及 P, Q 具有一階連續(xù)偏導數具有一階連續(xù)偏導數, 便可知道便可知道在在 D 內每內每 ( , ),( , ),xyyxPQux yux yyx解：解：xyo11Asin2xy L計算計算為由點為由點O(0,0)到點到點A(1

6、,1)的曲線的曲線， LyyxxxyxId)(d)2(422.2sinxy 其中其中L，xyxP22 因為因為，42yxQ ，xyP2 ，xxQ2 則則PQyx 即即.面面上上與與路路徑徑無無關關故故曲曲線線積積分分在在 xoyxoyxoy在在 平面上成立平面上成立.xoy120dxx 2315 選擇如圖所示的路徑選擇如圖所示的路徑xyo11A1:0Ly 2:1Lx 0 1x由由 到到0 1y由由 到到1L2L140(1)dyy 12224(2)d()dLLxxyxxyy L選擇新路徑應注意：選擇新路徑應注意：（3）一般選與坐標軸平行的新路徑）一般選與坐標軸平行的新路徑.（1）新路徑的起點與終

7、點不變）新路徑的起點與終點不變,（2）,G 新新路路徑徑224(2)d()dLIxxyxxyy 解：解：2,Pxyy ( )( ),Qyxyxxx ,),(2xyyxP ( ,)( ),Q x yyx 1 0 1 0 dd0yyx.21 ，xQyP 例例6. )1 , 1( )0 , 0( 22ddyyxxxyxyxy2)( Cxx 2)( 選擇如圖所示的路徑選擇如圖所示的路徑設曲線積分設曲線積分與路徑無關，與路徑無關，具有連續(xù)的導數，具有連續(xù)的導數，yxyxyxLd)(d2 ( )x 其其中中(0)0. 且且(1,1)2(0,0 )d()d .xyxyxy 計計算算由已知知由已知知即即由由，

8、0)0( 知知C=0, 則則2)(xx 故原式故原式=xyo1)1 ,1(多元函數的原函數：多元函數的原函數：,P Q若若滿滿足足定定理理2 21 1. .1 12 2的的條條件件, ,000( , )(,)( , )ddM x yMxyu x yP xQ y 二二元元函函數數d ( , )( , )d( , )du x yP x y x Q x y y 具具有有性性質質: :( , )( , )d( , )d.u x yP x yxQ x yy 所所以以我我們們稱稱為為的的一一個個原原函函數數由此由此,可以求某個全微分的原函數，可以求某個全微分的原函數，( , )d ( , )ddu x y

9、u x yP xQ y 如如何何求求使使？),(0yxC ( , )M x y xyo000(,)Mxy 0ddM CMP xQ y 00( , )(,)d( ,dx yx yuPyx Q yx 0 0 ( ,)dxxP x yx 0 ( , )dyyQ x y y 0(, )D xy0( , )d(, )d()M DMP x y xyQyu xxy 或或0 0 (, )dyyQ xyy 0 ( , )dxxP x yx 00( , )(,)ddx yxyP xQ y ，例例7 試應用曲線積分求試應用曲線積分求(2sin)d( cos )dxyxxyy 的原函數的原函數. . 解解 這里這里(

10、 ,)2sin,( ,)cos,P x yxy Q x yxy 在整個平面上成立在整個平面上成立 cos.PQyyx由定理由定理21.12, 曲線積分曲線積分(2sin )d( cos )dABxyxxyy只與起點只與起點 A 和終點和終點 B 有關有關, 而與路線的選擇無關而與路線的選擇無關. 為此為此, 取取(0,0),( , ),OB x y取路線為圖取路線為圖21-22中的折中的折 002 dcos dxyt txs s2sin.xxy x2120 圖圖( ,0)C x( , )B x yOy線段線段 于是有于是有 .OCB作業(yè)：作業(yè)：P232:5(2); 6(1); P278 3(2

11、sin )d( cos )dABxyxxyy00( ,)2 dcos dxyu x yx xxy y例如：例如：:D2222axaaxyax 積不出來積不出來,計算計算,dd22yxeDyx 其中其中D是由中心在原點，半徑是由中心在原點，半徑為為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.oxy222ayx D先先x后后y同樣積不出來同樣積不出來.222222 ddaaxxyaaxxey 原原式式:D2222ayaayxay 222222 ddaayxyaayyex 原原式式4 二重積分的變量變換 一、二重積分的變量變換公式三、二重積分的廣義極坐標變換 二、二重積分的極坐標變換 一、二重積分的

12、變量變換公式在定積分的計算中在定積分的計算中, 我們得到了如下結論我們得到了如下結論: 設設( )f x , a b( )xt t 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù), 當當 從從變到變到 時嚴格時嚴格 單調地從單調地從a 變到變到 b, 且且 ( ) t 連續(xù)可導連續(xù)可導, 則則 ( )d( ( )( )d .(1)baf xxfttt ( )0t , , ,Xa b Y 當當(即即)時時, 記記 則則 1( ),().XYYX 利用這些記號利用這些記號, 公式公式(1)又可又可 寫成寫成1()( )d( ( )( )d .(2)XXf xxfttt ( )0t 當當(即即 )時時, (1)式可寫成

13、式可寫成 1()( )d( ( )( )d .(3)XXf xxfttt 故當故當( ) t 為嚴格單調且連續(xù)可微時為嚴格單調且連續(xù)可微時, (2)式和式和(3)式可式可 統(tǒng)一寫成如下的形式統(tǒng)一寫成如下的形式:1()( )d( ( )|( )|d .(4)XXf xxfttt 引理引理 設變換設變換 :( , ),( , )Txx u vyy u v 將將 uv 平面平面 上由按段光滑封閉曲線所圍的閉區(qū)域上由按段光滑封閉曲線所圍的閉區(qū)域 , 一對一地一對一地 ( , ),( , )x u vy u v 映成映成 xy 平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域 D. 函數函數 在在內分別具有一階連續(xù)偏導數且

14、它們的函數行列式內分別具有一階連續(xù)偏導數且它們的函數行列式 則區(qū)域則區(qū)域 D 的面積的面積 ()|( , )|d d .DJ u vu v (5)( ,)( , )0,( , )( , )xxx yuvJ u vu vu vyyuv定理定理21. .13 設設 ( ,)f x y在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上可積上可積, 變變換換 :( , ),( , )Txx u vyy u v 將將 uv 平面由按段光滑平面由按段光滑封封閉曲線所圍成的閉區(qū)域閉曲線所圍成的閉區(qū)域 一對一地映成一對一地映成 xy 平面上平面上 ( , ),( , )x u vy u v 的閉區(qū)域的閉區(qū)域 D, 函數函數 在

15、在內分別具有內分別具有 一階連續(xù)偏導數且它們的函數行列式一階連續(xù)偏導數且它們的函數行列式 ( , )d d( ( , ),( , )|( , )|d d .Df x yx yf x u vy u vJ u vu v( ,)( , )0,( , ),( , )x yJ u vu vu v 則有則有例例1 求求ed d ,x yx yDx y其中其中 0,0,xyxy 1 D是由是由解解 為了簡化被積函數為了簡化被積函數, 令令,.uxy vxy 所圍的區(qū)域所圍的區(qū)域(圖圖21-23). Ox2123 圖圖11Dy即作變換即作變換 11:(),(),22Txuvyvu 它的函數行列式為它的函數行列

16、式為 11( ,)122( , )( , )21122x yJ u vu v在在 T 的作用下的作用下, 區(qū)域區(qū)域 D 的的 如圖如圖 21-24 所示所示. 原象原象 所以所以 1ed ded d2x yuxyvDx yu vOvu2124 圖圖1 uvuv 101de d2uvvvvu11101ee(ee )d.24vv例如：例如：:D2222axaaxyax 積不出來積不出來,計算計算,dd22yxeDyx 其中其中D是由中心在原點，半徑是由中心在原點，半徑為為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.oxy222ayx D先先x后后y同樣積不出來同樣積不出來.222222 ddaax

17、xyaaxxey 原原式式:D2222ayaayxay 222222 ddaayxyaayyex 原原式式二、二重積分的極坐標變換 當積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分當積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分, 或者被積函數或者被積函數 的形式為的形式為22()f xy時時, 采用極坐標變換采用極坐標變換cos,:0, 02,sin,xrTryr (8)往往能達到簡化積分區(qū)域或被積函數的目的往往能達到簡化積分區(qū)域或被積函數的目的. 此時此時, 變換變換 T 的函數行列式為的函數行列式為 cossin( ,).sincosrJ rrr 容易知道容易知道, 極坐標變換極坐標變換 T 把把r 平面上的矩形平面上的矩

18、形 0,R 此對應不是一對一的此對應不是一對一的, 222:.DxyR變換成變換成 xy 平面上的圓域平面上的圓域0,2 但但 OyxBAAB D (a)2126 圖圖(b)O r 2 2 RDFCE 定理定理21. .14 設設( ,)f x y滿足定理滿足定理21. .13 的條件的條件, 且且在在 xyr 極坐標變換極坐標變換 (8)下下, 平面上的有界閉域平面上的有界閉域 D 與與平平 面上區(qū)域面上區(qū)域 對應對應, 則成立則成立 ( ,)d d( cos, sin ) d d .(9)Df x yx yf rrr r 記憶方法：記憶方法：( , )d:Df x y cosxr siny

19、r ddd dxyrr cos , sin )d(drDrf rrr .rDD 其其中中是是 在在極極坐坐標標系系下下的的區(qū)區(qū)域域dd dr r .- - - - - - - - -極極坐坐 系系下下的的面面積積元元素素標標2.二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）(1)區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖,12( )( ).r (極點在區(qū)域極點在區(qū)域D的外部的外部)xDo1( )r 2( )r 12( ),( ) ,. 其其中中函函數數在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)d ( cos , sin ) d dDf rrr r 21( )( )( cos , sin ) d .f rrrr 特殊

20、地特殊地,區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖,12( )( ).r xoD2( )r 1( )r (極點在區(qū)域極點在區(qū)域D的外部的外部)12( ),( ) ,. 其其中中函函數數在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)d ( cos , sin ) d dDf rrr r 21( )( )( cos , sin ) d .f rrr r 2.二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）( )r xoD (2)區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖(極點在區(qū)域極點在區(qū)域D的邊界上的邊界上),0( ).r ( ) ,. 其其中中函函數數在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù) d ( cos , sin ) d dDf rrrr ( )

21、 0( cos , sin ) d .f rrr r 2.二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）(3)區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖0( ).r Dox( )r ,2 0 (極點在區(qū)域極點在區(qū)域D的內部的內部)( ) ,. 其其中中函函數數在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)極坐標系下區(qū)域的面積極坐標系下區(qū)域的面積d d .Dr r ( cos , sin ) d dDf rrrr 2 0d ( ) 0( cos , sin ) d .f rrrr 說明：說明：1.應掌握把直角坐標系下的二重積分化為極坐標系應掌握把直角坐標系下的二重積分化為極坐標系下的二重積分下的二重積分.( , )d d

22、Df x yx y cosx （siny ddddxy ）cos ,sin(d)dDf 2. 極坐標系下的二重積分為二次積分極坐標系下的二重積分為二次積分.定限方法定限方法-射線穿越法：射線穿越法：.D 若若 夾夾在在兩兩射射線線，（）之之間間，則則D 在在 ， 之之間間任任取取 ，過過極極點點做做極極角角為為 的的射射線線穿穿越越 ，1212. 入入口口線線為為（ ），出出口口線線為為（ ）則則（，）d ( cos ,sin ) d dDf 21( )( )( cos ,sin ) d .f 22()()xf xyfy 0 01 .1 .當當被被積積函函數數中中含含或或者者時時；D0 02

23、2 . .積積分分區(qū)區(qū)域域 為為圓圓域域或或者者為為圓圓域域的的一一部部分分時時；3.何時用極坐標？何時用極坐標？例例2.計算計算,dd22yxeDyx 其中其中D是由中心在原點，半徑是由中心在原點，半徑為為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.解：解：2 2 0 0ddae ).1(2ae Doxa 220012ae 2 20 01 d2ae : 0,02.Da yxeDyxdd22 在極坐標系下，在極坐標系下，例例3 計算計算 22d,1DIxy 其中其中 D 為圓域為圓域: 221.xy 解解 由于原點為由于原點為 D 的內點的內點, 故由故由 (12) 式式, 有有 210022

24、2ddd11Drrxyr 12220001dd2.r例例4 計算計算 22()ed,xyDI 其中其中 D 為圓域為圓域: 22xy2.R解解 利用極坐標變換利用極坐標變換, 由公式由公式 (12), 容易求得容易求得 22200ded(1e).RrRIrr 例例5. 將將21101d( , )dxxxf x yy 表示為極坐標下的累次積分表示為極坐標下的累次積分.10 ,11 ),( 2 xxyxyxD21 xy yx 1解解:在極坐標系下在極坐標系下,可表示為：可表示為：11,sincos 0,2 cosx siny 211yx ，11,sincosxy 1 于是于是 原式原式 121 0

25、 sincosd( cos , sin ) d .f 例例6. 設設f(x)連續(xù)連續(xù),則則1400d( cos , sin ) df rrr r 等于等于22210( )d( , )dxxAxf x y y 222100( )d( , )dxBxf x y y 22210( )d( , )dyyCyf x y x 222100( )d( , )dyDyf x y x 2006可表示為：可表示為：01,r 0,4 y1x1r 2211rxy4yx 22( , ) 1,0.2Dx y yxyy y x 221xy 解解: 22221 d dDxyx y ( , )|01,01Dx yxy 例例8.

26、 計算二重積分計算二重積分 其中積分區(qū)域為其中積分區(qū)域為111D2D解解: 如圖，記如圖，記 221( , )|1,( , )Dx yxyx yD 222( , )|1,( , )Dx yxyx yD 于是于是12DD 原原式式11222222(1)d d(1)d d(1)d dDDDxyx yxyx yxyx y 1.43 122222(1)d d(1)d dDDxyx yxyx y 1 1 12222 0 0 0 02d(1) dd(1)dxxyy 2222222,()dd_.DxyDxyRxyab 設設區(qū)區(qū)域域 為為則則解一解一: 利用極坐標計算利用極坐標計算:D 02 , 0,R 22

27、22()ddDxyxyab 則則 2 0d 22 2222 0(cossin) dRab 22222 011(cossin)dab 3 0dR 4 22222 011(cossin)d4Rab 42211().4Rab 2222222,()d d_.DxyDxyRxyab 設設區(qū)區(qū)域域 為為則則解二解二:利用對稱性利用對稱性:D 02 , 0,R 22d dd d ,DDxxyyxy 2222()d dDxyxyab 則則22211()d dDxx yab 22221 11()()d d2Dxyx yab 222 01 11()d2 ab 2 0dR 4221 11() 224Rab 2222

28、11d dd dDDxx yyx yab 222211d dd dDDxxyxxyab 42211().4Rab 三、二重積分的廣義極坐標變換 當積分區(qū)域為橢圓或橢圓的一部分時當積分區(qū)域為橢圓或橢圓的一部分時, 可考慮用如可考慮用如 下的下的廣義極坐標變換廣義極坐標變換:cos,:0, 02 ,sin,xarTrybr 并計算得并計算得cossin( ,).sincosaarJ rabrbbr 例例9 求橢球體求橢球體 2222221xyzabc 的體積的體積. 解解 由對稱性由對稱性, 橢球體的體積橢球體的體積 V 是第一卦限部分體是第一卦限部分體 積的積的 8 倍倍, 而這部分是以而這部分是以22221xyzcab為曲頂為曲頂, 22( ,) 0, 0bDx yyaxxaa222281d d .DxyVcx yab為底的曲頂柱體為底的曲頂柱體, 所以所以應用廣義極坐標變換應用廣義極坐標變換, 因此因此122008d1dVcr abr r 1220048d1d.3abcrrrabc abcR 34.3R 特別當特別當時時, 得到球的體積為得到球的體積為令令,sin,cosrbyrax則則D 的原象為的原象為:1, 02Dr),