挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題——平行四邊形存在性問題

1、課題內(nèi)容平行四邊形存在性問題專題攻略一、解平行四邊形的存在性問題一般分三個(gè)步驟第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫圖，第三步計(jì)算二、難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，尋找恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，可以使得解的個(gè)數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使 計(jì)算又準(zhǔn)又快三、 如果三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)以三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過每個(gè)點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn).四、如果兩個(gè)疋點(diǎn)，一般是把確疋的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況 靈活運(yùn)用向量和中心對(duì)稱的性質(zhì)，可以使得解題簡(jiǎn)便 .典型例題例 1如圖，拋物線：y=!_x2-x-丄與x軸交于A、BA在B左側(cè),A- 1, 0、B3, 0,2 2頂點(diǎn)為

2、C 1,- 21求過A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑.2在拋物線上找點(diǎn)P,在y軸上找點(diǎn)E,使以A、B、P、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P、E的坐標(biāo).、E2-4 - 一_ =一_，或 yJ X422 2 21 2 93_3y= X - 2-=-,y 2 2 2綜上所述，點(diǎn)P、E的坐標(biāo)為：Pi4,倉(cāng)、Ei0,倉(cāng)或P2- 4,算、E20,馬丨或P32,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為:-：,點(diǎn) P、E 的坐標(biāo)為 P32,-亍、E30,21,1： A- 1, 0、B 3, 0、C 1,- 2，二 AB=3 - - 1=4,AC= ： 1 - I , |=2 . ：:, BC= ：1-|_：=鳥、E3°，汀 ：,

3、 AB2=16, AC2+BC2=8+8=16, AB2=AC2+BC2,.A ABC是直角三角形，AB是直徑，故半徑為2;2當(dāng)AB是平行四邊形的邊時(shí)，PE=AB=4，且點(diǎn)P、E的縱坐標(biāo)相等,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或-4，尸一點(diǎn)P、E的坐標(biāo)為Pi :4,或 P2- 4,、Ei0,I如圖，當(dāng)AB是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，PE平分AB , PE與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)D 1, 0,過點(diǎn)P作PF丄AB，貝U OD=FD，點(diǎn)F的坐標(biāo)為2, 0，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2, 例2. 將拋物線沿C1： y=-貢X2心沿x軸翻折，得拋物線C2,如下列圖.1請(qǐng)直接寫出拋物線C2的表達(dá)式.2現(xiàn)將拋物線C1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到

4、的新拋物線的頂點(diǎn)為 M ,與x軸的交點(diǎn) 從左到右依次為A, B;將拋物線C2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為 N，與x軸交點(diǎn)從左到右依次為D, E. 當(dāng)B，D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值； 在平移過程中，是否存在以點(diǎn) A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出 此時(shí)m的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.V* 1V人°人，°JC八備月方法一：1根據(jù)翻折的性質(zhì)可求拋物線C2的表達(dá)式；2求出拋物線C1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，分當(dāng) AD二丄AE時(shí)，當(dāng)BD二二AE時(shí)兩種情況討論33求解；存在理由：連接AN , NE, EM , MA 根據(jù)矩形的判定即可

5、得出. 方法二：1求出翻折后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求出拋物線表達(dá)式.2拋物線cl平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，求出點(diǎn) A , B, D , E的坐標(biāo)，并分類討論點(diǎn)B在點(diǎn)D 左側(cè)和右側(cè)的兩種情況，進(jìn)而求出 m的值.以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，貝U AN丄EN，利用黃金法那么二，可求出 m的值.【解答】方法一： 解：1y= x2-:；.2令-一?2+：'=0, 得 X1= - 1 , X2=1那么拋物線C1與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為-1, 0， 1, 0. A- 1 - m, 0，B 1 - m, 0.同理可得：D- 1+m, 0，E 1+m, 0.當(dāng) AD=-AE 時(shí)，-1+m- - 1 -

6、m=丄1+m- - 1 - m,當(dāng) BD=AE 時(shí)，1 - m 丨-1+mJ 1+m- - 1 - m，二 m=2.故當(dāng)B, D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，m冷或2.存在.理由：連接AN , NE, EM , MA .依題意可得：M- m，丁引，Nm,-丁5.即M , N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，二OM=ON . A- 1 - m, 0，E 1+m, 0，二 A , E 關(guān)于原點(diǎn) O 對(duì)稱，二 OA=OE四邊形ANEM為平行四邊形.AM 2= m - 1+m2+2=4 , ME2= 1+m+m2+ - ；2=4m2+4m+4 ,AE2= 1+m+1+m2=4m2+8m+4 ,假設(shè) AM 2+ME2=AE2

7、,貝U 4+4m2+4m+4=4m2+8m+4 ,二 m=1 , 此時(shí) AME是直角三角形,且/ AME=90 .當(dāng)m=1時(shí)，以點(diǎn)A , N , E , M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.方法二：1略,2拋物線 Ci : y= - :;x2+ :7;,與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為-1, 0， 1, 0，頂點(diǎn)為0,航,拋物線C2： y=-品X2-頁(yè)，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)也為-1, 0， 1, 0,頂點(diǎn)為0 ,-逅,拋物線Ci向左平移m個(gè)單位長(zhǎng) 度后,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為-m,與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A - 1 - m , 0、B : 1 - m , 0, AB=2 , 拋物線C2向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為m, - U,

8、與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為D- 1+m , 0、E 1+m , 0，二 AE= 1+m- 1 - m=2 : 1+m, B、D 是線段 AE 的三等分點(diǎn), 有兩種情況.1、B 在 D 的左側(cè),ABAE=2 , AE=6 ,3 2 1+m=6 , m=2 ,2、B 在 D 的右側(cè),AB=lAE=2 , AE=3 ,3 2 1+m3假設(shè)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,I A- 1 - m , 0, E 1+m , 0, Nm ,-們、M-m , V3,點(diǎn)A , E關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)N , M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，那么 AN 丄 EN , Kan XKen= - 1 ,

9、I A- 1 - m , 0, E 1+m , 0, Nm ,-.；,.Q+血汛_W1=- 1 1 m 1+m-IB m=1.FfVAVA強(qiáng)化訓(xùn)練1 如圖，拋物線y=-§x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A0, 1，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn) B43,色，過點(diǎn)B作BC丄x軸，垂足為C點(diǎn)P是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P作PN丄x軸, 2交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)OP的長(zhǎng)度為m .1求拋物線的解析式；2當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上不與點(diǎn)O、C重合時(shí)，試用含m的代數(shù)式表示線段PM的長(zhǎng)度;3連結(jié)CM，BN，當(dāng)m為何值時(shí)，以B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？解：1v拋物線y=- ； x2

10、+bx+c經(jīng)過A 0,1丨和點(diǎn)B 3,拋物線的解析式為y= - §x2+工!x+1 ；442設(shè)直線AB的解析式為y=kx+bk0 , A0, 1，B3 , 0,，直線AB的解析式為y=x+1 , PN丄x軸,交直線AB于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N , OP=m , P m , 0 , M m ,丄m+1, PMm+1 ；3由題意可得:m+1, MN / BC ,當(dāng) MN=BC 時(shí),四邊形BCMN為平行四邊形,1S4當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí),MN= -f又；BC=；,解得 m1=1 , m2=2；-m24當(dāng)點(diǎn)P在線段OC的延長(zhǎng)線上時(shí),MN= ： m - 2Tm解得mi=15：T不合題意，舍去，m

11、2= 一,綜上所述，當(dāng)m的值為1或2或時(shí)，以B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.2.如圖，二次函數(shù)的圖象 M經(jīng)過A- 1, 0，B4, 0，C2,- 6三點(diǎn).1求該二次函數(shù)的解析式；2點(diǎn)G是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)G與線段AC的端點(diǎn)不重合，假設(shè) ABG與厶ABC相似， 求點(diǎn)G的坐標(biāo)；3設(shè)圖象M的對(duì)稱軸為I，點(diǎn)Dm，n- 1vmv2是圖象M上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) ACD的面積為丄L時(shí)，點(diǎn)D關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)為E，能否在圖象M和I上分別找到點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)D、E、 8P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？假設(shè)能，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；假設(shè)不能，請(qǐng)說(shuō)明理由."* /1【解答】解：1V二次函數(shù)的圖象 M經(jīng)過A-

12、 1, 0，B :4, 0兩點(diǎn), 可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax+1x-4.二次函數(shù)的圖象 M經(jīng)過C2,- 6點(diǎn)， - 6=a2+12 -4，解得 a=1.c坐標(biāo)代入可得匸-1I -6=21s=-2t=-2二次函數(shù)的解析式為y=x+1x- 4，即y=x2- 3x - 4.2設(shè)直線AC的解析式為y=sx+t，把A、線段AC的解析式為y=- 2x - 2，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為k，- 2k - 2. G與C點(diǎn)不重合， ABG與厶ABC相似只有 AGBsA ABC 一種情況. 一亠AB=5，ac=J2_t乎+_卜02=3逅，AG咄虹+i冬邊k-2 乂刊烏 Dm，n 1 v mv 2， H m，- 2m -

13、2. v 點(diǎn) Dm， n在圖象 M 上, Dm, m2 - 3m - 4.27 ACD的面積為,k+“，伍'ST1 "一拓， K+1嗇 k=|或k= -f舍去，點(diǎn)G的坐標(biāo)為|，-號(hào).3能.理由如下:如圖，過D點(diǎn)作x軸的垂線交AC于點(diǎn)H，!厶.1 1 - 2m- 2- m2 - 3m-42 D丄-里.24m+1+2- m=，即卩 4m2 4m+1=0，解得 mSy=x2 - 3x - 4=x_ 二圖象M的對(duì)稱軸I為x=.2 DE丄-二=2,-假設(shè)以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,當(dāng)DE為邊時(shí)，那么有PQ/ DE且PQ=DE=2.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 二+2=上或乜-2=-

14、丄2點(diǎn)D關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)為E,. E2 2有兩種情況:12點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為丄-二2=2點(diǎn)P的坐標(biāo)為丄，-寸當(dāng)DE為對(duì)角線時(shí)，那么可知P點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，即或；綜上可知存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為，?；蛟?shī)4-卻或?qū)ぃ?. 直線y=kx+bk工0過點(diǎn)F 0, 1，與拋物線y=1x2相交于B、C兩點(diǎn).1如圖1,當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1時(shí)，求直線BC的解析式;2在1的條件下，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，與拋物線交于點(diǎn)D，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以M、D、0、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？假設(shè)存在，求出 點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；3如圖2,設(shè)Bm. nmv0，過點(diǎn)E0.- 1的直線I

15、/ x軸，BR丄I于R，CS丄l于S， 連接FR、FS.試判斷 RFS的形狀，并說(shuō)明理由.解：1因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線上，所以C 1,4又直線BC過C、F兩點(diǎn)，故得方程組:ipblf, 3< 1解之，得hl所以直線BC的解析式為：y= - - x+1 ;42要使以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么 -Jlx+1，貝U D :x, 2x2，t MD / y 軸，44x2|=1,MD=OF，如圖1所示,設(shè) Mx, MD= -2 x+1 -x2,當(dāng)x+1 -141由MD=OF，可得|-+1 -寺x2=1 時(shí),解得xi=0舍或xi= - 3,所以M當(dāng)7x+1 -所以M何，空叵或皿x=-3&

16、#177;V411 2_3+V 412 ，17-3 V418,-3,?,-x2, =- 1時(shí)，解得,綜上所述，存在這樣的點(diǎn) M，使以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形, -3+何 17-312 ，M點(diǎn)坐標(biāo)為-3,L34或土姮，訂巧何或；3過點(diǎn)F作FT丄BR于點(diǎn)T,如圖2所示，點(diǎn)Bm, n在拋物線上，二m2=4n,在Rt BTF中,BF=Jb 乎+TF 2=寸(“-1 )企1 ) J4n=4y， n> 0,二 BF=n+1,又t BR=n+1，二 BF=BR . a/ BRF= / BFR，又t BR 丄 l, EF 丄 l, BR/ ef，a/ Brf= / RFE，-/ RFE=

17、/Bfr，同理可得/ EFS=Z CFS-/RFS=t / Bfc=90 , RFS是直角三角形.Yih?八E124. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax+12- 3與x軸交于A, B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn) B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C °，-號(hào)，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H的直線I交 拋物線于P, Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸的右側(cè).1求a的值及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；2當(dāng)直線I將四邊形ABCD分為面積比為3: 7的兩局部時(shí)，求直線I的函數(shù)表達(dá)式；3當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限時(shí)，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在拋物線上，那么以DP為對(duì)角線的四邊 形DMPN能否為菱形？假設(shè)能，求出點(diǎn) N的坐標(biāo)；假設(shè)不能，請(qǐng)說(shuō)

18、明理由.解：1v拋物線與y軸交于點(diǎn)C0,-：-.3a_ 3=-,解得：ax+1 2-3r當(dāng) y=0 時(shí)，有丄x+12 - 3=0,二 X1=2, X2=- 4,二 A- 4, 0，B2, 0.32： A- 4, 0，B2, 0，C0,，D- 1，- 3 S四邊形1abcd=Sa adh +S 梯形 ocdh+Sa boc=一 X3 >3+ 213+3>丄 X2 X=10.23_2從面積分析知，直線l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況:當(dāng)直線l邊AD相交與點(diǎn)M1時(shí)，那么Sg亍X1O=3, 1 X3X- y2=3-yt = - 2,點(diǎn) M1- 2, - 2，過點(diǎn) H - 1, 0和

19、 M1- 2, - 2的直線 l 的解析式為 y=2x+2.當(dāng)直線l邊BC相交與點(diǎn)M2時(shí)，同理可得點(diǎn)M2丄，-2，過點(diǎn)H- 1, 0和M2丄，-2的直線I的解析式為y=-石.綜上所述：直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+2或y=-3設(shè)Pxi, yi、Qx2, y2且過點(diǎn)H- 1, 0的直線PQ的解析式為y=kx+b,- k+b=0,.°. b=k,.°. y=kx+k .薩二Its斗kS Y-1-3. 2-kx- k=0,. X1+X2=-2+3k, y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k ,J點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的點(diǎn) M-1,k2.假設(shè)存在這樣的N點(diǎn)如圖,直線

20、DN / PQ,設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k - 3：，解得:3xi=- 1, X2=3k- 1,A N3k - 1, 3k2- 3四邊形 DMPN 是菱形， DN=DM , : 3k2+3k22三2+整理得：3k4- k2- 4=0,v k2+1>0,二 3k2- 4=0,解得k=±3， kv 0,二 k=-耳，二 P- 33 - 1, 6，M-西-1 , 2，N-朋-1 , 1 PM=DN=2 . , PM / DN, 四邊形DMPN是平行四邊形,方法一:解:"由直線尸=X+1可知A0, 1B-3,，又點(diǎn)-1, 4經(jīng)過二次函數(shù),根據(jù)題意得:C=159a-3l)

21、+c-解得:57b=_c=.lX+1 ；,那么二次函數(shù)的解析式是：y=1742設(shè) Nx,- ；X2-x+14那么MX,-h+1，pX,0.1 - MN=PN PM= =x2 X2X=那么當(dāng)X= - ：_弋時(shí)，MN的最大值為右;3連接MC、BN、BM與NC互相垂直平分,即四邊形BCMN是菱形，那么MN=BC，且BC=MC，即-上42廠X215TX=-，且-丄 x+12+ x+3解 x2+3x+2=0,故當(dāng)N- 1,得：x= 1或x= 2舍去.4時(shí)，BM和NC互相垂直平分.方法二:1略.當(dāng)t=，二 M t,1,二 MN=5 2 154t盲寸，MN有最大值，MN=3假設(shè)BM與NC相互垂直平分，那么四邊形 BCMN為菱形. NC 丄 BM 且 MN=BC= ,即 t1= 1, t2= 2,4-0 t1