數(shù)學(xué)物理方法1-3

1、 z0 或 z z0 的示意圖如右：導(dǎo)數(shù)，記作： f (z) 或則稱 w=f (z) 在點(diǎn)z可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限值為 f (z)在 z點(diǎn)的 ()( )0limf zzf zzz dzdf1.3 1.3 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析性復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析性 保角映射保角映射一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 柯西黎曼條件1.導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè) w=f (z)是在區(qū)域D中定義的單值函數(shù)，對(duì)D內(nèi)某一點(diǎn)z，若極限 存在, (并且是與z0 的方式無(wú)關(guān)的有限值)說(shuō)明：(1)實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)f (z)的定義0()( )limxf xxf xx 0z例：設(shè) f (z) = zn，求 f (z) =？ 可見，實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義形式一樣

2、，但對(duì)于實(shí)變函數(shù)來(lái)說(shuō)z 只能沿實(shí)軸逼近零(有兩種趨近方式)。如對(duì)兩種趨近方式來(lái)說(shuō)，其極限存在且相同，則f (x) 在x點(diǎn)可導(dǎo)；而對(duì)于復(fù)變函數(shù)來(lái)說(shuō)z可沿復(fù)平面的任一曲線逼近零，若沿任何方式逼近z時(shí)，極限存在且相同 ，則稱f (z) 在點(diǎn)z可導(dǎo)。因此復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)要求嚴(yán)格得多。121001()(1)( )()2limlimnnnnnzznzzzn nfznzzzzznz (2) 導(dǎo)數(shù)存在要求f(z) 在點(diǎn)z連續(xù)，但并不是：f (z)在點(diǎn) z 連續(xù)，則 f(z) 在點(diǎn) z 一定可導(dǎo)。設(shè) 存在，則12( ),( )fzfz1212( )( )( )( )f zfzfzfz121212( )( )( )

3、( )( )( )f z fzfz fzf z fz112122222( )( )( )( )( )( )0)( )( )f zfz fzf z fzfzfzfzdzzdddfdzzdf)()()(2.導(dǎo)數(shù)公式實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義形式相同實(shí)變函數(shù)所有的導(dǎo)數(shù)公式可推廣到復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式形式相同的例子：zdzzdedzdezzcossin;在z點(diǎn)的微分，記作 則稱w=f (z) 在z點(diǎn)可微，且w 的線性部分z稱為w=f ( z)式中 ， 是關(guān)于 的高階無(wú)窮小量，設(shè)w=f (z)在z點(diǎn)的改變量 可以寫成)(ozw22)()(yxz)(ozdw00()( )( )( )limlimz

4、zf zzf zzofzzz zdzdzzfdw)( )()(zfzzfw3.微分的定義與微分公式得微分公式又f (z)在點(diǎn)z可導(dǎo)的必要條件是 存在，且 xvyuyvxu,滿足C R條件： yvxvyuxu,二、柯西黎曼條件（CR條件）要解決的問(wèn)題：給定一函數(shù)w=f (z)=u(x , y )+i v(x, y)，如何判斷f (z)在點(diǎn)z是否可導(dǎo)？導(dǎo)數(shù)存在的必要條件：證明：由導(dǎo)數(shù)的定義可知: z以任何方式趨于零時(shí),極限0()( )limzf zzf zz 存在，且有同一的極限值，即f (z)與z0的方式無(wú)關(guān)，),(),(),(),()()(yxivyxuyyxxivyyxxuzfzzfw使我們

5、可討論沿平行x軸和y軸趨于0的情形。設(shè)：z = x + i y，則函數(shù)的改變量為1. 令z = x，y=0 ，即z 沿平行于x軸的方向趨于 0，則0000()( ) (, )(, ) ( , )( , )( )limlim(, )( , )(, )( , )limlimzxxxf zzf zu xx yiv xx yu x yiv x yf zzxu xx yu x yv xx yv x yixxuvixx 0000()( ) ( ,)( ,) ( , )( , )( ) limlim( ,)( , )( ,)( , )limlimzyyyf zzf zu x yyiv x yyu x yiv

6、 x yf zzi yu x yyu x yv x yyv x yii yi yuviyy 2 2.令x=0，z = i y，即z沿平行于y軸的方向趨于0，有2 21 1zzyuxvyvxu若f (z)在點(diǎn)(x, y)可導(dǎo)，則(1)、(2)兩式相等，于是柯西黎曼條件 (C R條件)說(shuō)明： 1. f (z)在點(diǎn)z可導(dǎo)的必要條件只保證沿平行于x軸和y軸方向z0 時(shí)， 趨于同一極限，但沒有保證沿任意方向z 0時(shí)， 趨于同一極限。2.由C R條件，f (z)可寫為以下四種形式zzf)(zzf)( )uvvuuuvvfziiiixxyyxyyx補(bǔ)充：全微分對(duì)于一元函數(shù) y=f (x)，y關(guān)于x微分的特性

7、：1. 它與自變量的改變成正比；2. 當(dāng)自變量的改變趨于零時(shí)，它與函數(shù)的改變量之差是較 自變量的改變量更高階的無(wú)窮小。)()(xfxxfy函數(shù)的改變量()( )()(:constant)yf xxf xA xoxA dyA x函數(shù)的微分對(duì)于二元函數(shù) u=f(x,y)定義：若函數(shù) u=f(x,y) 的全改變量u可表示為22(,)( , )( ()() )uf xx yyf x yA xB yOxy ( , )dudf x yA xB y 且其中A , B與x, y無(wú)關(guān)而僅依賴于 x,y，則稱在點(diǎn)(x,y)可可微微。并稱Ax + By為f (x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分，記為du或df (x,y

8、) , 即 若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，則有200( () )(, )( , )( , )limlimxxxA xOxf xx yf x yfx yAxx 即 f(x,y) 在點(diǎn)(x,y)可微 f x 存在且等于A定理：若 f x (x ,y) 及 f y (x ,y)在點(diǎn)(x ,y)及某一鄰域內(nèi)存在且 在這一點(diǎn)它們都連續(xù)，則函數(shù)u= f (x,y)在該點(diǎn)可微。同理f y 存在且等于B，故xydufxfy 對(duì)一元函數(shù)，可微與可導(dǎo)是同一回事，而對(duì)多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微，但在一定條件下，偏導(dǎo)數(shù)與可微性之間密切聯(lián)系。以下定理說(shuō)明了這種聯(lián)系：證明：),(),(),(),(),(),(yx

9、fyxxfyxxfyyxxfyxfyyxxfu已設(shè)f x 、f y 存在，當(dāng)x, y 充分小時(shí)，應(yīng)用中值定理：f x 、f y在點(diǎn)(x , y)連續(xù)1212(,)(, )(0( ,)1)yxufxx yyyfxx yx 12(,)( , )(, )( , )yyxxfxx yyfx yfxx yfx y)0(,00yx( , )( , )xyufx yxfx yyxy 0)()(22yxyxx0, y0時(shí)：由定義可知f (x,y)在點(diǎn)( x, y)可微。三、導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件u (x,y) 及 v ( x, y)可微且滿足CR條件f (z)在D內(nèi)點(diǎn)z可導(dǎo)的充要條件是：221()()uuux

10、yxyxy 222()()vvvxyxyxy 證明：1. 充分性。由于u,v可微，故u,v的全微分存在，即：無(wú)窮小量21,對(duì)于任意的z = x + i y ，有：2212()()() ()()( )uvxi yixi yixyf zui vxxzxi yxi yxi y 2212()()()iuvixyxxxi y 2212120,0()()()00 xyixyixi y 221200() ()()lim0 xyixyxi y 0( )( )limzf zuvfzizxx 0z 任意方式，極限存在且相同 可導(dǎo)而即 0()( )( )limzf zzf zfzz 0()( )( )limzf z

11、zf zfziz ()( )()f zzf zizz 2.必要性。由在點(diǎn)z可導(dǎo)，得 有確定極限，即f (z) 存在 ,存在。由上式得：當(dāng) z 0 時(shí)趨于零的復(fù)數(shù)。設(shè))Im(),Re(2121zziz12()( )()()f zzf zui vixi yi 則有：12uxyvyx 0,0,uvyxxx ： 令對(duì)y求偏導(dǎo)，因?yàn)?, 存在，所以導(dǎo)數(shù)存在 對(duì)x求偏導(dǎo)，因?yàn)?, 存在，所以導(dǎo)數(shù)存在0,0,uvxyyy ：,uvuvxyyx 令C R條件：12,uuvvuxyvxyxyxy 說(shuō)明：復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)比實(shí)變函數(shù)的可導(dǎo)嚴(yán)格得多，這種嚴(yán)格所導(dǎo)致的結(jié)果是：可導(dǎo)的復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部不是互相獨(dú)立的，而是

12、通過(guò)CR條件而聯(lián)系起來(lái)。又因?yàn)?，故 ,可見 f (z)在 z0 點(diǎn)滿足C R條件。例1.3.1 設(shè) ，問(wèn)f (z) 在z=0點(diǎn)是否滿足C R條件？是否可導(dǎo)？ ( )f zxy=0=000=0=000(, )( , )|lim|lim0 x xxxxyyxu xx yu x yuxx 解: 由題設(shè)得 ,( , )0uxyv x y=00=000|lim0y xyyyuy ( , )0v x y =0=0=0=0|0,|0 x xy xyyvv(1)(2)讓z以任意方式趨于零，如讓z沿徑向趨于零，即令ize 000(0)(0)limlimcossinlimcossinzziixyfzfzzee

13、(見下圖)yOzxi y 顯然，隨著 角取值不同， 不趨于同一極限值， 故f (z)在z=0點(diǎn)不可導(dǎo)。0( )limzf zz 復(fù)變函數(shù)的幾何意義：當(dāng)z在Z平面沿曲線L變動(dòng)時(shí)，w在W平面沿曲線L 變動(dòng)。設(shè)w=f ( z )在 z0 可導(dǎo)，即有： z, w, f (z0)的表示式： zwzzfzzfzfzzlimlim00000)()()( 0arg ()argarg00,()()ifziziwzz eww efzfze 四、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義2 2.導(dǎo)數(shù)的輻角arg f (z0)表示曲線L上點(diǎn)z0的切線與曲線 L1. 導(dǎo)數(shù)的模f (z0)表示通過(guò)點(diǎn)z0的無(wú)窮小線段z，映射為 W平面的w 時(shí)

14、，長(zhǎng)度的放大系數(shù)。0argarg ()(argarg)00arg0000( )( )limlimlimlimiwif ziwzizzzzzwewwf zf zeezz ez 0000()lim, arg()lim(argarg)zzwfzfzwzz 由導(dǎo)數(shù)的定義式可得：導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義：上的點(diǎn)w0的切線的夾角，即從z平面到W平面映射前后 切線的轉(zhuǎn)動(dòng)角。1. 若函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，則稱在點(diǎn)z0解析；(注：a. 點(diǎn)z0的鄰域是指滿足 zz0 的點(diǎn)的集合， 包含z0點(diǎn)本身。 b. 在點(diǎn)z0解析比在點(diǎn)z0可導(dǎo)要求高，若說(shuō)在 z0點(diǎn)可導(dǎo)，則僅意味著在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在)上式表示

15、的是普遍的復(fù)變函數(shù)。在此研究的是一類具有特殊性質(zhì)的復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)。 五五 復(fù)變函數(shù)的解析性復(fù)變函數(shù)的解析性 (思考：解析函數(shù)的性質(zhì))w=f (z)=u (x,y) + i v(x,y)復(fù)變函數(shù)是兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的有序組合(一)、解析函數(shù)的定義 2. 若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，則稱f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析；3. 若f (z)在包含 的某個(gè)開區(qū)域解析,則稱在閉區(qū)域 中解析 (那個(gè)開區(qū)域比 大)；4.若函數(shù)在點(diǎn)a不解析,則稱點(diǎn)a是f (z)的奇點(diǎn)。 DDD1( )f zz例： 在z=0點(diǎn)無(wú)定義，故z=0是f (z)的奇點(diǎn)。說(shuō)明：下述情況之一的點(diǎn)z0都是奇點(diǎn)： a. f(z)在點(diǎn)z0無(wú)定義或無(wú)確定值

16、； b. f(z)在點(diǎn)z0不連續(xù)； c. f(z)在點(diǎn)z0不可導(dǎo)；d. f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)，但找不到某個(gè)鄰域在其內(nèi)處處可導(dǎo)。(二)、函數(shù)解析的充要條件 定理二 函數(shù)f (z)在區(qū)域D(或點(diǎn)z)解析的充要條件： 在區(qū)域D(或點(diǎn)z的鄰域)內(nèi)各點(diǎn)u (x,y)和v (x,y)可微并滿 足C R條件。(證明略)說(shuō)明：1.由解析函數(shù)的定義可見解析函數(shù)是從普遍的復(fù)變函數(shù)中加上很強(qiáng)的條件后選出來(lái)的一類特殊的復(fù)變函數(shù)(這一類函數(shù)在物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用)。這個(gè)條件不僅要求函數(shù)在嚴(yán)格的意義下可導(dǎo)(極限值與z0的方式無(wú)關(guān))，而且還要求它在某個(gè)區(qū)域中處處可導(dǎo)。 2.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部通過(guò)柯西黎曼條件互相聯(lián)系，并不

17、獨(dú)立。例1：討論f(z)=x + i xy的解析性，即求解其解析區(qū)域。 解：1. f (z)可導(dǎo)區(qū)域，即u, v可微并滿足CR條件的區(qū)域()()1,0,uxuxvxyvxyyxxxyyxxyy，2. f(z)在z=1是否解析？不解析。因要求z=1點(diǎn)及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，才在z=1解析，但 f (z)只在z=1可導(dǎo)，故f(z)在全平面內(nèi)處處不解析?？傻茫簒=1, y=0可見u, v在整個(gè)平面有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即在整個(gè)平面可微，但僅在(1，0)點(diǎn)滿足CR條件。所以f(z)在z=1可導(dǎo)。( )(cossin )cos ,sinzx iyxxxf zeeey iyu ey v ey cos ,sinsin

18、,cosxxxxuueyeyxyvveyeyxy 例2討論f(z) = e z 的解析區(qū)域。解：因u, v有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，故u, v在全平面可微。又： 顯然，f(z)在全平面滿足CR條件。故 f(z) =e z 在整個(gè)平面解析。(三)、解析函數(shù)的實(shí)部和虛部的聯(lián)系若給定解析函數(shù)w=f (z)在某點(diǎn)z0=x0+i y0的值f (z0)=u0+i v0，則可由v(x,y)求u(x,y)或由u(x,y)求v(x,y)，進(jìn)而求出w=f(z)。uuvvdudxdydxdyxyyx上式左邊是全微分，起始點(diǎn)確定后，上式積分后左邊的值就確定了，因此等式右邊積分與路徑無(wú)關(guān)。證明：w=f(z)解析可得u, v可微并滿

19、足CR條件，則00( , )00(,)( , )()(,)x yxyvvu x ydxdyu xyyx00( , )00(,)( , )()(,)x yxyuuv x ydxdyv xyyx作由 (x0, y0) 到任一點(diǎn) (x, y) 的線積分，則同理：例.3 已知解析函數(shù)w=f(z)的實(shí)部u(x,y)=x2 y2 ，且w(0) = 0。 求函數(shù) f(z)。 解 沿圖1-3-2的路徑進(jìn)行積分( ,0)( , )00(0,0)( ,0)222xx yxvydxxdyvxyv所以根據(jù)w(0) =0 得到v0 = 0。因此 ，所求的函數(shù)是w=f(z)=z2 。22200(2)()wuivxyixy

20、vxi yiv例例4 4 已知解析函數(shù)的虛部 v(x , y)=2(x2 y2) + x，求解析函數(shù)f (z)。解：由CR條件有：du = ux dx +uy dy = vy dxvxdy4 ,(41)xyyxuvyuvx (a) 全微分法。由式(1)及式(2) 得4(41)( 4)xyduu dxu dyydxxdydxyy 易見( , )4u x yxyyC (3)現(xiàn)在知道了u (x,y)和 v(x,y)，怎樣才能找到f (z)呢？從函數(shù)形式來(lái)看,0,0( )()()| ( , )( , )|( ,0)( ,0)x z yx z yf zf xiyf xiyu x yiv x yu ziv

21、 z(4)(1)(2)由題設(shè)易得由此得22,02( ) 42()|(2)x z yf zxyyCixyxizzC(5)(b) 曲線積分法。由式(2)得( , )(0,0)( , )(0,0)( , )() 4(41)x yxyx yu x yu dxu dyCydxxdyC(6)積分分兩段進(jìn)行，即由(0,0)到(x,0)，再到(x, y )在(0,0)段， y=0，dy=0；在(x,0)到(x, y )段，dx=0。由此得0( , )(41)4yu x yxdyCxyyC 與式(3)完全一致，求f (z)的方法與式(5)相同。(c) 不定積分法。 ux= 4y 對(duì) x 作不定積分，由于被積函數(shù)是二元函數(shù)，故“積分常數(shù)”應(yīng)與積分變量x無(wú)關(guān)，但它可以是另一變量y的函數(shù)，即( , )( )4( )4( )xu x yu dxg yydxg yxyg y (7)(8)(41)4( )yxuxg y ( )g yyC 將式(8)代入式(7) 得( , )4u x yxyyC (9)與式(3)相同，同理可得 f (z)。將上式代入式(2)的 uy = (4x+1) 確定g (y)，即由此得 g(y) = 1，故( )4(41)4yxfzvivyixi zi 2( )(2)h zizzC(11)故 f (z)與h (z)只能相差一個(gè)常數(shù)C，即2( )( )(2)f zh