等比數(shù)列的性質(zhì)

1、.教學(xué)內(nèi)容【知識結(jié)構(gòu)】1 等比數(shù)列 ：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q 表示（ q 0，）即：an = q （q 0 ）an 11“從第二項起”與“前一項”之比為常數(shù)(q) an 成等比數(shù)列an 1 = q （ n N ,q 0an2 隱含：任一項 an 0且 q 0“ an 0”是數(shù)列 an 成等比數(shù)列的必要非充分條件3 q= 1 時， an 為常數(shù)2. 等比數(shù)列的通項公式 1:ana1 q n 1 (a1q0)3. 等比數(shù)列的通項公式 2:anam q m 1 (a1q0)4 既是

2、等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列5 等比中項： 如果在 a 與 b 中間插入一個數(shù) G，使 a,G，b 成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù) G 為 a 與 b 的等比中項 .即 G=± ab （a,b 同號）如果 在 a 與 b中 間插入一個數(shù) G ， 使 a,G ， b成等比數(shù)列，則GbG 2ab Gab ，aG反之，若 G 2 = ab,則 GbaG，即 a,G,b 成等比數(shù)列a,G,b 成等比數(shù)列G 2 = ab （ a·b 0 ）6 等比數(shù)列的性質(zhì)： 若 m+n=p+k，則 am ana p ak可編輯.在等比數(shù)列中， m+n=p+q， am , an , a p , ak

3、 有什么關(guān)系呢？由定義得： am a1 qm 1ana1q n 1apa q p 1aka qk 111am ana12 qm n 2， a p ak a1 2 q p k 2則 amana p ak7 等比數(shù)列的增減性： 當(dāng) q>1,a1 >0 或 0<q<1,a1 <0 時, an 是遞增數(shù)列 當(dāng)a <0, 或 0<q<1,a >0 時 , a是遞減數(shù)列 ;當(dāng) q=1 時, a; q>1,11nn是常數(shù)列 ;當(dāng) q<0 時 , an 是擺動數(shù)列 ;【熱身練習(xí)】求下列各等比數(shù)列的通項公式：1. a1 =2,a3 =82. a1

4、 =5,且 2 an 1= 3 an3. a1=5, 且an 1nann 1解： 1. a3 a1q 2q 24q2an( 2) 2n 12n 或 an( 2)( 2) n 1( 2) n2. qan 13又： a15an5 ( 3) n 1an223.an 1na21 ,a32 , ann 1ann 1a12 a23an 1n1 5以上各式相乘得： ann a1 n可編輯.【例題精講】例 1已知 an , bn 是項數(shù)相同的等比數(shù)列，求證an bn 是等比數(shù)列 .證明：設(shè)數(shù)列 an 的首項是 a1 ，公比為 q1 ; bn 的首項為 b1 ，公比為 q2 ，那么數(shù)列 anbn 的第 n 項與

5、第 n+1項分別為：a1 q1n 1 b1 q2 n 1與 a1 q1n b1q2 n即為 a1b1 (q1q2 )n 1 與 a1b1 (q1q2 )nan 1 bn 1a1b1 ( q1 q2 )nq1q2 .an bna1b1 (q1q2 )n 1它是一個與 n 無關(guān)的常數(shù)，所以an bn 是一個以 q 1q 2為公比的等比數(shù)列 .例 2已知： b是 a 與 c 的等比中項，且 a、 b、 c 同號，求證： abc , abbc ca , 3 abc 也成等比數(shù)列33證明：由題設(shè)： b 2=ac得：abc3 abcab c3b3 ab b 2bc( ab bc ca )23333abc

6、,abbcca , 3abc也成等比數(shù)列33可編輯.例 3 (1) 已知 an是等比數(shù)列，且an2a42a3a54a625, 求 a3 a50, aa(2) a c,三a,數(shù)1, c 成等差數(shù)列， a 2 ,1, c2成等比數(shù)列，求aac2c 2解：a是等比數(shù)列，(1) n a 2 a4 2 a3 a5 a4 a6 ( a3 a5 ) 2 25,又aaa5 5;n >0, 3 (2) a, 1,成c等差數(shù)列, ca2,2, 1, c2成等比數(shù)列,22有 ac1 或 ac 1,又 aac1,當(dāng) ac1 時, 由 ac2 得 a1, c 1,與 a c矛盾， ac 1,a2c 2(a c)2

7、2ac 6ac12c 2.a3012n1例 4已知無窮數(shù)列 10 5,10 5,10 5,10 5,，求證：（1）這個數(shù)列成等比數(shù)列（ 2）這個數(shù)列中的任一項是它后面第五項的1 ，10（ 3）這個數(shù)列的任意兩項的積仍在這個數(shù)列中n1an10 51證：（1）2 10 5 （常數(shù)）該數(shù)列成等比數(shù)列an1n105（2）an10n1510 1 1 ，即： an1 an 5n4an 51051010可編輯.p 1q 1pq2（3） a p aq10510510 5， p, qN ， p q 2p q 1 1且 p q 1N ，p q2n 110510 5，（第 pq1項）例 5設(shè) a, b, c, d

8、均為非零實數(shù)， a2b2d 22b ac db2c 20 ，求證： a,b,c 成等比數(shù)列且公比為 d證一：關(guān)于 d 的二次方程 a2b2d 22b ac db2c20有實根，4b 2 a c 24 a2b2 b2c 20 ， b2ac20則必有： b 2ac0 ，即 b2ac ，a,b, c 成等比數(shù)列設(shè)公比為 q ，則 baq ， caq2 代入a2a2 q 2d 22aq aaq2da 2 q2a 2 q 40 q 21a 20，即 d 22qdq 20，即 dq0證二：22d22c d220abb abc a2 d 22abdb 2b 2 d 22bcdc 20 adb 2bdc 20

9、 ，adb ，且 bdca, b,c, d 非零， bcdab例 6 設(shè) Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項和， Snkn2n ， nN * ，其中 k 是常數(shù)（ 1） 求 a1 及 an ；（ 2）若對于任意的 mN * ， am ， a2m ， a4m 成等比數(shù)列，求k 的值解（ 1）當(dāng) n1, a1S1k1，n2, anSnSn 1kn 2n k (n1)2(n1)2knk1 （）可編輯.n1,an2kn k 12am , a2 m , a4ma2m2am.a4 m( 4kmk1) 2( 21)(8kmk1)mk ( k 1)0km kmNk0 k 17ana100a1+ a2 +an=

10、a1+ a2 +a19 nn 19 n N ).b nb 91b 1 b 2b nb 1b 2b17 nn17nN *ana100a1a19a2a18ana20 n an 1 a19 n2a10 0a1a2ana190a1a2ana19a18an1a1a19a2a18a19 nan 1a1a2ana19a18an 1a1a2a19 na90a1a2ana1a2a17 nb nb 1b 2b nb 1 b 2b 17 n n17nN *可編輯.【備選例題】例 8 如圖 3 1，在邊長為 l 的等邊ABC 中，圓 O 1 為ABC 的內(nèi)切圓，圓O2 與圓 O1 外切，且與 AB ，BC 相切， ，

11、圓 O n+1 與圓 On 外切，且與 AB 、BC 相切，如此無限繼續(xù)下去 .記圓 O n 的面積為 an（n N * ），證明 an 是等比數(shù)列；l3rn 1rn=sin301證明：記 r n 為圓 O n 的半徑，則 r 1= tan30°= l 。rn 1rn°=，2621r n 1（n 2，）于是所以 rn =32l 2an(rn)21a1= r1=,an 1rn，故 an 成等比數(shù)列。1219點評：該題考察實際問題的判定，需要對實際問題情景進行分析，最終對應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析。例 9 已知數(shù)列an和bn1+1=2an 4,b( 1)n (a3n 21),其

12、滿足：a =,an3nnn中 為實數(shù)， n 為正整數(shù) .（）對任意實數(shù)，證明數(shù)列 an 不是等比數(shù)列；可編輯.（）試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論 .解：（）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使 an是等比數(shù)列，則有 a22a1a3 ,即( 23) 2( 44)4 249 4 249 0, 矛盾 .所以 an不是3999等比數(shù)列 .n12n2( ) 解：因為bn1(1)(an 1（3n 1） 21)3( 1)(an3n21)3 bn 又b118 ,所以當(dāng) 18 ， b10( n N+ ),此時 bn 不是等比數(shù)列：當(dāng) 18 時，b1180 ,由上可知 bn0，ba 12( n N+ ).故當(dāng)

13、 -18時，數(shù)列bn3bn 是以（18 ）為首項，2 為公比的等比數(shù)列 .3點評：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運算能力。例 10等比數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn ， 已知對任意的 nN，點 ( n, Sn ) ，xr (b0且 b1,b, r 均為常數(shù) )的圖像上 .均在函數(shù) y b（1）求 r 的值；（2）當(dāng) b=2時，記bnn 1 (nN)求數(shù)列 bn 的前 n 項和 Tn4an解:因為對任意的 nN,點 (n, Sn ) ，均在函數(shù) ybxr (b0 且 b1,b,r 均為常數(shù))的圖像上 .所以得 Snbnr ,當(dāng) n1 時, a1S1b r ,當(dāng) n2 時 , a

14、nSnSn 1bnr (bn 1r ) bnbn 1(b 1)bn 1 ,又因為 an 為等比數(shù)列 ,所以 r1 ,公比為 b ,所以 an(b1)bn 1（2）當(dāng) b=2時， an(b 1)bn 12n1 ,bnn 1n1n14an42n 12n 1可編輯.則 Tn234Ln12223242n 11234Lnn1Tn34252n 12n2222相減 ,得 1 Tn2111L1n 12222324252n 12n 2111 23(12n 1 )n 131n 12112n 24 2n 12n 2231n 13n3所以 Tn22n2n 122n 1【鞏固練習(xí)】1.nnS4=15設(shè)等比數(shù)列 a 的公

15、比 q=2, 前 n 項和為S ,則a 2.22.等比數(shù)列 an 中 ,a3=7, 前 3 項之和 S3 =21 ，則公比 q 的值為1或-1.23.如果 -1,a,b,c,-9 成等比數(shù)列 ,那么 b= -3,ac=9.4.在等比數(shù)列 an 中，已知 a1a3 a11 =8 ，則 a2a8 =4.5.若數(shù)列 a 的前 n 項和 S =3n-a ，數(shù)列 a為等比數(shù)列，則實數(shù) a 的值是nnn1.6.設(shè) a1 ,a2,a3 ,a4 成等比數(shù)列，其公比為2 ，2a1a2 的值為1.2a3a447.等比數(shù)列 an 前 n 項的積為 Tn ,若 a3a6a18是一個確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10 ，T13

16、 ，T17 ，T25中也是常數(shù)的項是 T17.可編輯.8.在等比數(shù)列an 中, a12 ,前 n 項和為 Sn ,若數(shù)列an1 也是等比數(shù)列 ,則 Sn 等于（ C） .(A) 2n 12(B)3n(C) 2n(D) 3n1C.提示：因數(shù)列an 為等比，則 an2qn 1 ，因數(shù)列an1 也是等比數(shù)列，( an 11)2(an1)(an 21)an 122an 1an an 2anan 2anan 22an 1則an (1q22q)0q1即 an2 ，所以 Sn2n ，故選擇答案C。9.若互不相等的實數(shù) a, b, c 成等差數(shù)列， c, a,b 成等比數(shù)列，且 a3bc10 ，則 a（ D ） A4B2C 2D 4提示：由互不