關(guān)于等腰三角形中分類討論問題的探討

1、.螅羅薄袁肅羄芃蚄罿羃莆衿裊羃蒈螞螁羂薀蒅肀肁芀蝕羆肀莂蒃袂聿薄蠆袈肈芄薁螄肇莆螇肂肇葿薀羈肆薁螅襖肅芁薈螀膄莃螃蚆膃蒅薆羅膂膅螂羈膂莇蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肁腿節(jié)蒆羇膈莄蟻袃芇蒆蒄蝿芆膆蠆蚅芆羋蒂肄芅蒀螈羀芄薃薀袆芃節(jié)螆螂節(jié)蒞蕿肁芁蕆螄羇莀蕿薇袃莀艿螃蝿羆蒁薅螅羅薄袁肅羄芃蚄罿羃莆衿裊羃蒈螞螁羂薀蒅肀肁芀蝕羆肀莂蒃袂聿薄蠆袈肈芄薁螄肇莆螇肂肇葿薀羈肆薁螅襖肅芁薈螀膄莃螃蚆膃蒅薆羅膂膅螂羈膂莇蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肁腿節(jié)蒆羇膈莄蟻袃芇蒆蒄蝿芆膆蠆蚅芆羋蒂肄芅蒀螈羀芄薃薀袆芃節(jié)螆螂節(jié)蒞蕿肁芁蕆螄羇莀蕿薇袃莀艿螃蝿羆蒁薅螅羅薄袁肅羄芃蚄罿羃莆衿裊羃蒈螞螁羂薀蒅肀肁芀蝕羆肀莂蒃袂聿薄蠆袈肈芄薁螄肇莆螇肂肇葿

2、薀羈肆薁螅襖肅芁薈螀膄莃螃蚆膃蒅薆羅膂膅螂羈膂莇蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肁腿節(jié)蒆羇膈莄蟻袃芇蒆蒄蝿芆膆蠆蚅芆羋蒂肄芅蒀螈羀芄薃薀袆芃節(jié)螆螂節(jié)蒞蕿肁芁蕆螄羇莀蕿薇袃莀艿螃蝿羆蒁薅螅羅薄袁肅羄芃蚄罿羃莆衿裊羃蒈螞螁羂薀蒅肀肁芀蝕羆肀莂蒃袂聿薄蠆袈肈芄 關(guān)于等腰三角形中分類討論問題的探討東華初級中學(xué) 陳志平所謂分類討論思想，就是在解答數(shù)學(xué)題時有時無法用同一種形式去解決，而需要選定一個標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)這個標(biāo)準(zhǔn)將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一解決，從而使問題得到解決，這就是分類討論的思想。對于分類討論問題，初中教學(xué)階段雖然沒有對此方面的教學(xué)要求，但是需要用分類討論的思想去解決的問題卻經(jīng)常

3、遇見，華東師大版七年級下冊教材中典型的分類討論問題是在“等腰三角形”一節(jié)中，主要有由于幾何圖形性質(zhì)不明確而需分類討論的問題和幾何圖形之間的位置關(guān)系不明確而需分類討論的問題。下面舉例簡要論述這兩類問題：一、當(dāng)腰長或底邊長不能確定時，必須進(jìn)行分類討論例1、（1）已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm和10cm，求周長。（2）等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，求周長。分析：由等腰三角形的性質(zhì)可知我們在解此題前，必須明確所給的邊的定義，在這里哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”不明確，而且還要考慮到三條線段能夠構(gòu)成三角形的前提，因此必須進(jìn)行分類討論。解（1）因為8+8>10，10+10>8，則

4、在這兩種情況下都能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長為8時，周長為8+8+10=26；當(dāng)腰長為10時，周長為10+10+8=28；故這個三角形的周長為26cm或28cm。解（2）當(dāng)腰長為3時，因為3+3<7，所以此時不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長為7時，因為7+7>3，所以此時能構(gòu)成三角形，因此三角形的周長為：7+7+3=17；故這個三角形的周長為17cm。注意：對于此類題目在進(jìn)行分類討論時，必須運用三角形的三邊關(guān)系來驗證是否能構(gòu)成三角形。二、當(dāng)頂角或底角不能確定時，必須進(jìn)行分類討論例2、等腰三角形的一個角是另一個角的4倍，求它的各個內(nèi)角的度數(shù)；分析：題目沒有指明“頂角是底角的4倍”，還是“底角是頂角的4

5、倍”因此必須進(jìn)行分類討論。解：（1）當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時，設(shè)頂角為x，則底角為4x， 4x+4x+x=1800， x=200， 4x=800，于是三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)為：200，800，800。（2）當(dāng)頂角是底角的4倍時，設(shè)底角為x，則頂角為4x， x+x+4x=1800， x=300， 4x=1200，于是三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)為：300，300，1200。故三角形各個內(nèi)角的度數(shù)為200，800，800或300，300，1200。例3、已知等腰三角形的一個外角等于1500，求它的各個內(nèi)角。分析：已知等腰三角形的一個外角等于1500，有兩種情況：與一個底角相鄰的外角等于1500；與頂角相鄰的

6、外角等于1500。因此需要分類討論；解：（1）當(dāng)頂角的外角等于1500時，則頂角=1800-1500=300，每個底角=（1800-頂角）÷2=750；（2）當(dāng)?shù)捉堑耐饨堑扔?500時，則每個底角=1800-1500=300；頂角=1800-底角2=1800-3002=1200；故三角形各個內(nèi)角的度數(shù)為300，750，750或1200，300，300。三、當(dāng)高的位置關(guān)系不確定時，必須分類討論例4、等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為250，求這個三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)。分析：由于題目中的“另一邊”沒有指明是“腰”還是“底邊”，因此必須進(jìn)行分類討論，另外，還要結(jié)合圖形，分高在三角形內(nèi)還

7、是在三角形外。解：設(shè)AB=AC，BDAC；（1）高與底邊的夾角為250時，高一定在ABC的內(nèi)部，如圖1，DBC=250，C=900-DBC=900-250=650， ABC=C=650，A=1800-2×650=500。（2）當(dāng)高與另一腰的夾角為250時， 圖1 如圖2，高在ABC內(nèi)部時， 當(dāng)ABD=250時，A=900-ABD=650， C=ABC=（1800-A）÷2=57.50； 如圖3，高在ABC外部時，ABD=250， 圖2BAD=900-ABD=900-250=650， BAC=1800-650=1150， ABC=C=（1800-1150）÷2=32

8、.50 故三角形各內(nèi)角為：650，650，500或650，650，57.50或1150，32.50，32.50。 四、由腰的垂直平分線所引起的分類討論 圖3例5、在三角形ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為400，求底角B的度數(shù)。分析：題目中AB邊上的垂直平分線與直線AC相交有兩種情形； 圖4解：（1）如圖4，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點D，ADE=400，則A=900-ADE=500， AB=AC， B=（1800-500）÷2=650。（2）如圖5，AB邊的垂直平分線與直線AC的反向延長線交于點D，ADE=400，則DAE=500， 圖5

9、BAC=1300，AB=AC，B=（1800-1300）÷2=250， 故B的大小為650或250。五、由腰上的中線引起的分類討論例6、等腰三角形底邊為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，求腰長。分析：如圖6，由于題目中的“一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm”，沒有指明是“（AB+AD）-（BC+CD）”還是“（BC+CD）-（AB+AD）”的“差為3cm”，因此必須分兩種情況討論。 圖6解：如圖6， BD為AC邊上的中線，AD=CD，（1）當(dāng)（AB+AD）-（BC+CD）=3時，則AB-BC=3， BC=5 AB=BC+3=8； （2）當(dāng)（BC+CD）-（A

10、B+AD）=3時，則BC-AB=3，BC=5 AB=BC-3=2； 但是當(dāng)AB=2時，三邊長為2，2，5；而2+2<5，不合題意，舍去；故腰長為8。六、幾何圖形之間的位置關(guān)系不明確而需分類討論的問題例7、已知C、D兩點在線段AB的中垂線上，且ACB=500，ADB=800，求CAD的度數(shù)。分析：由于點C、D可以在線段AB的同側(cè)也可以在線段AB的兩側(cè)，因此要分兩種情況進(jìn)行討論。解：（1）如圖7，當(dāng)C、D兩點在線段AB的同側(cè)時，C、D兩點在線段AB的垂直平分線上，CA=CB，CAB是等腰三角形，又CEAB， 圖7CE是ACB的角平分線，ACE=BCE，而ACB=500，ACE=250，同理可

11、得ADE=400，CAD=ADE-ACE=400-250=150。（2）如圖8，當(dāng)C、D兩點在線段AB的兩側(cè)時，同（1）的方法可得ACE=250，ADE=400，于是CAD=1800-（ADE+ACE）=1800-（400+250）=1800-650=1150。 圖8故CAD的度數(shù)為150或1150。例8、如圖9，已知ABC中，BC>AB>AC，ACB=400，如果D、E是直線AB上的兩點，且AD=AC，BE=BC，求DCE的度數(shù)。 圖9分析：因為在不等邊ABC中，D、E是直線AB上的兩點，所以點D、E可以在點A的同側(cè)，也可以在點A的兩側(cè)，因此需要分類討論。解：（1）當(dāng)點D、E在點

12、A的同側(cè)，且都在BA的延長線上時，如圖10， 圖10 圖11BE=BC， BEC=（1800-ABC）÷2， AD=AC， ADC=（1800-DAC）÷2=BAC÷2， DCE=BEC-ADC，DCE=（1800-ABC）÷2-BAC÷2=（1800-ABC-BAC）÷2 =ACB÷2=400÷2=200。（2）當(dāng)點D、E在點A的同側(cè)，且點D在D的位置，E在E的為時，如圖11，與（1）類似地也可以求得ACB÷2=200。（3）當(dāng)點D、E在點A的兩側(cè)，且E點在E的位置時，如圖12， 圖12 圖13BE=B

13、C，AD=AC， ADC=（1800-DAC）÷2=BAC÷2，又，=1800-（1800-ACB）÷2 =900+ACB÷2=900+400÷2=1100。（4）當(dāng)點D、E在點A的兩側(cè)，且點D在D的位置時，如圖13，AD=AC，BE=BC，BEC=（1800-ABC）÷2，=1800-（1800-ABC）÷2+（1800-BAC）÷2 =（BAC+ABC）÷2=（1800-ACB）÷2 =（1800-400）÷2=700，故DCE的度數(shù)為200或1100或700。 莇蕿袃膂薂袈袂芄蒞螄袁莆薀蝕羀肆莃薆罿膈蕿蒂罿莁莂袀羈肀蚇螆羇膃蒀螞羆芅蚅薈羅莇蒈袇羄肇芁螃肅腿蒆蠆肅芁艿薅肂羈蒅薁肁膃莈衿肀芆薃螅聿莈莆蟻肈肈薁薇肇膀莄袆膇節(jié)薀螂膆蒞莂蚈膅肄薈蚄螁芇蒁薀螀荿蚆袈螀聿葿螄蝿膁蚄蝕螈芃蕆薆袇蒞芀裊袆肅蒆螁裊芇羋螇裊莀薄蚃襖聿莇蕿袃膂薂袈袂芄蒞螄袁莆薀蝕羀肆莃薆罿膈蕿蒂罿莁莂袀羈肀蚇螆羇膃蒀螞羆芅蚅薈羅莇蒈袇羄肇芁螃肅腿蒆蠆肅芁艿薅肂羈蒅薁肁膃莈衿肀芆薃螅聿莈莆蟻肈肈薁薇肇膀莄