切向和法向分量

1、關(guān)于切向和法向分量現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁，共20頁概述概述：質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動時(shí)的速度相切于其運(yùn)動路徑，：質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動時(shí)的速度相切于其運(yùn)動路徑，但加速度并不如此。而把其加速度分解到其運(yùn)動但加速度并不如此。而把其加速度分解到其運(yùn)動路徑的切向和法向時(shí)可以對其加速度進(jìn)行方便的路徑的切向和法向時(shí)可以對其加速度進(jìn)行方便的研究。研究。本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的空間運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的空間運(yùn)動11.13.11.13.切向和法向分量切向和法向分量現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁，共20頁質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動 首先設(shè)想一個(gè)質(zhì)點(diǎn)如圖首先設(shè)想一個(gè)質(zhì)點(diǎn)如圖所示的平面上做曲線運(yùn)所示的平面上做曲線運(yùn)動。設(shè)動。設(shè)P P為

2、某時(shí)刻的位置，為某時(shí)刻的位置，在在P P點(diǎn)，記單位矢量點(diǎn)，記單位矢量e et t與與運(yùn)動軌跡相切，指向運(yùn)運(yùn)動軌跡相切，指向運(yùn)動方向（圖動方向（圖11.21a11.21a），），記記e et t為為P P相對應(yīng)的單位相對應(yīng)的單位矢量。矢量。 y x OPenetetP圖11.21a現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁，共20頁將將e et t 和和e et t移于同一坐標(biāo)原點(diǎn)移于同一坐標(biāo)原點(diǎn)O O，如圖，如圖11.21b11.21b得得 e et t 大小為大小為2sin(2sin(/2)/2)，且，且由由 得得由于質(zhì)點(diǎn)的速度由于質(zhì)點(diǎn)的速度v v與運(yùn)動路徑相切則與運(yùn)動路徑相切則對其兩邊關(guān)于對其兩邊關(guān)于t 求導(dǎo)得求

3、導(dǎo)得002sin/ 2sin(/2)lim= lim=1/2（）tn=ddee0limtnee（11.35）V=vet(11.36)O/2retetet圖11.21b現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁，共20頁由于由于 其中其中ds/dt=v,ds/dt=v, de det t/d/d=e=en n，d/ds=1/d/ds=1/( (為曲率半徑，圖為曲率半徑，圖11.22)11.22)ttdddvvdtdtdtevaettdede ddsdtdds dt（11.37）yxO圓心圓心sPetet=s/P圖11.22現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁，共20頁所以所以將公式代入將公式代入 得得因此兩分量分別為因此兩分量分別為綜上

4、綜上：加速度的切向分量反應(yīng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速率變化的加速度的切向分量反應(yīng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速率變化的快慢，而法向分量反應(yīng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方向的變化。只快慢，而法向分量反應(yīng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方向的變化。只有當(dāng)加速度的兩個(gè)分量都為零時(shí)，加速度才會為有當(dāng)加速度的兩個(gè)分量都為零時(shí)，加速度才會為零。零。 tndvdteettdddvvdtdtdtevae2tndvvdtaeetdvadt2nva（11.38）（11.39）（11.40）現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁，共20頁應(yīng)用應(yīng)用：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的加速度的法向分量與路徑的曲率半徑有關(guān)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的加速度的法向分量與路徑的曲率半徑有關(guān)，這一點(diǎn)在設(shè)計(jì)飛機(jī)機(jī)翼、火車鐵軌以及凸輪的結(jié)構(gòu)或這一點(diǎn)在設(shè)計(jì)飛機(jī)機(jī)翼、火車

5、鐵軌以及凸輪的結(jié)構(gòu)或尺寸時(shí)常被考慮在內(nèi)，為了避免空氣流過機(jī)翼是加速尺寸時(shí)常被考慮在內(nèi)，為了避免空氣流過機(jī)翼是加速度的突然變化，機(jī)翼的輪廓常常設(shè)計(jì)成流線形的，同度的突然變化，機(jī)翼的輪廓常常設(shè)計(jì)成流線形的，同樣對于火車鐵軌，為避免加速度的突然變化（不利于樣對于火車鐵軌，為避免加速度的突然變化（不利于設(shè)備和旅客）常常在直鐵軌和圓弧鐵軌間加過渡性的設(shè)備和旅客）常常在直鐵軌和圓弧鐵軌間加過渡性的特殊鐵軌。通過過渡曲線防止了加速度的突變，是加特殊鐵軌。通過過渡曲線防止了加速度的突變，是加速度連續(xù)的變化。速度連續(xù)的變化。如下圖：如下圖：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁，共20頁凸輪凸輪 鐵軌鐵軌機(jī)翼機(jī)翼現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁

6、，共20頁質(zhì)點(diǎn)的空間運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的空間運(yùn)動 和和 、 的關(guān)系在空間的質(zhì)點(diǎn)的關(guān)系在空間的質(zhì)點(diǎn)的移動中同樣適用的移動中同樣適用 , 然而然而由于空間曲線在由于空間曲線在P P點(diǎn)有無點(diǎn)有無數(shù)條直線與數(shù)條直線與P P點(diǎn)的切線方向垂直點(diǎn)的切線方向垂直（圖圖11.24a11.24a） ，因，因此，有必要更準(zhǔn)確的定義單位矢量此，有必要更準(zhǔn)確的定義單位矢量e en n。 2tndvvdtaeetdvadt2nvaxzyPPetet切面切面xzyetet et現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁，共20頁密切面密切面xzyPPetet密切面密切面etxzyPeten（在密切面內(nèi)）（在密切面內(nèi)）密切面密切面eb（垂直于（垂直于密切面）

7、密切面）結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)在：質(zhì)點(diǎn)在P處的處的加速度可以分解為兩加速度可以分解為兩個(gè)分量，一個(gè)沿切線個(gè)分量，一個(gè)沿切線方向，另一個(gè)沿主法方向，另一個(gè)沿主法線線eb方向。方向。 xoy面內(nèi)曲線的密面內(nèi)曲線的密切面是不是切面是不是xoy面？面？肯定是！現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁，共20頁11.1411.14徑向和橫向分量徑向和橫向分量在某些平面運(yùn)動中，質(zhì)點(diǎn)在某些平面運(yùn)動中，質(zhì)點(diǎn)P P的位置，由極坐標(biāo)的位置，由極坐標(biāo)r r和和（圖（圖11.25a11.25a）確定。這樣就可以將質(zhì)點(diǎn)的速度和加）確定。這樣就可以將質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度方便的分解到平行于垂直于速度方便的分解到平行于垂直于OPOP的方向上（圖的方向上（圖11

8、.25b11.25b） 。分量。分量e er r和和e e分別稱為徑向分量和橫向分別稱為徑向分量和橫向分量的單位向量。分量的單位向量。圖11.25arPOPO圖11.25br=rereer現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁，共20頁與與11.1311.13相似通過求導(dǎo)得到：相似通過求導(dǎo)得到： -e-er r代表與代表與e er r反向的單位向量（圖反向的單位向量（圖11.25c11.25c）通過微分的）通過微分的連鎖規(guī)則，我們對連鎖規(guī)則，我們對e er r， e e關(guān)于時(shí)間關(guān)于時(shí)間t t求導(dǎo)求導(dǎo) rddeerdd ee（11.41）rrdddddtddtdteeerdddddtddtdteeeee e er

9、ererO現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁，共20頁用點(diǎn)來代替關(guān)于用點(diǎn)來代替關(guān)于t t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 為獲得質(zhì)點(diǎn)為獲得質(zhì)點(diǎn)P P的速度的速度v v，P P點(diǎn)的位置矢量點(diǎn)的位置矢量r r可由標(biāo)量可由標(biāo)量r r和單和單位矢量位矢量e er r表示，對其兩邊關(guān)于表示，對其兩邊關(guān)于t t求導(dǎo)得求導(dǎo)得或由（或由（11.4211.42）得）得為獲得加速度再次對其關(guān)于時(shí)間為獲得加速度再次對其關(guān)于時(shí)間t t求導(dǎo)求導(dǎo) reeree（11.42）()rrrdrrrdtveee （11.43）erervr現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁，共20頁聯(lián)立聯(lián)立 和和 ，提出，提出e er r和和e e得得速度和加速度在徑向和橫向的分量的大小為速度

10、和加速度在徑向和橫向的分量的大小為 特別的注意到特別的注意到a ar r不等于不等于v vr r對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，a a也也不等于不等于v v對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù) rrdrrrrrdtvaeeeee2(2)rrrrra)ee（11.44）rvr vr2arr2arr（11.45）（11.46）ee ree現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁，共20頁在質(zhì)點(diǎn)繞圓心在質(zhì)點(diǎn)繞圓心O O做圓周運(yùn)動中，由于做圓周運(yùn)動中，由于r r為常量，為常量， 公式公式（11.4311.43）和（）和（11.4411.44）分別變?yōu)椋┓謩e變?yōu)?0 rr rve2rrraee以下內(nèi)容 為擴(kuò) 展現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁，共20

11、頁質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的空間擴(kuò)展：柱面坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的空間擴(kuò)展：柱面坐標(biāo) 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)P P的空間的空間位置，有時(shí)通位置，有時(shí)通過它的柱面坐過它的柱面坐標(biāo)標(biāo)R,R,，z z（圖（圖11.26a11.26a）表示表示xzyPRz圖11.26a現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁，共20頁方便的用單位向量方便的用單位向量 ， 和和 k k （圖（圖11.26b11.26b）將質(zhì)點(diǎn)）將質(zhì)點(diǎn)P P的位置矢量的位置矢量r r分解到這些單位矢量的方向上，得到分解到這些單位矢量的方向上，得到 和和 分別表示在水平面分別表示在水平面xyxy平面上的徑向矢量和平面上的徑向矢量和橫向矢量，矢量橫向矢量，矢量k k 代表軸的方向在方向和大小上的常代表軸的方向在方向和大小上的常量，我們?nèi)?/p>