2004年全過高考全國2卷四川數(shù)學(xué)(文)

1、2004 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文 科 數(shù) 學(xué)本試卷分第 I 卷（選擇題）和第 II 卷（非選擇題）兩部分. 共 150 分. 考試時(shí)間 120 分鐘.參考公式：如果事件 A、B 互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件 A、B 相互獨(dú)立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）第 I 卷球的表面積公式S=4 pR 2其中 R 表示球的半徑， 球的體積公式如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 P，那么n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生 k 次的概率nPn(k)=C k Pk(1P)nkV= 4 pR3 ，3其中 R 表示球的半徑一、選擇題：本大題共 12 小題，

2、每小題 5 分，共 60 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合 M = x | x2 < 4 |, N = x | x2 - 2x - 3 < 0，則集合 M Ç N =（）A x | x < -2 B x | x > 3C x | -1 < x < 2 D x | 2 < x < 3 2函數(shù) y =1x + 5(x ¹ -5) 的反函數(shù)是（）A y = 1 - 5(x ¹ 0)xC y = 1 + 5(x ¹ 0)xB y = x + 5(x Î R)D y =

3、x - 5(x Î R)3曲線 y = x3 - 3x2 +1在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為（）A y = 3x - 4B y = -3x + 2C y = -4x + 3D y = 4x - 54已知圓 C 與圓 (x -1)2 + y 2 = 1關(guān)于直線 y = -x 對稱，則圓 C 的方程為（）A (x +1)2 + y 2 = 1B x2 + y 2 = 1C x2 + ( y +1)2 = 15已知函數(shù) y = tan(2x + j) 的圖象過點(diǎn) ( pD x2 + ( y -1)2 = 1,0) ，則j 可以是（）ppA -B6612ppC -D12126正四棱錐的側(cè)棱長與

4、底面邊長都是 1，則側(cè)棱與底面所成的角為（）A75°B60°C45°D30°7函數(shù) y = -e x 的圖象（）A與 y = e x 的圖象關(guān)于 y 軸對稱B與 y = e x 的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱C與 y = e- x 的圖象關(guān)于 y 軸對稱D與 y = e- x 的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱8已知點(diǎn) A（1，2）、B（3，1），則線段 AB 的垂直平分線的方程是（）A 4x + 2y = 5B 4x - 2y = 5C x + 2y = 5D x - 2y = 59已知向量 a、b 滿足：|a|=1，|b|=2，|ab|=2，則|a+b|=（）256A1

5、BCDp10已知球 O 的半徑為 1，A、B、C 三點(diǎn)都在球面上，且每兩點(diǎn)間的球面距離均為，則2球心 O 到平面 ABC 的距離為（）3612ABCD333311函數(shù) y = sin 4 x + cos 2 x 的最小正周期為（）A pB pC pD2 p4212在由數(shù)字 1，2，3，4，5 組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的 5 位數(shù)中，大于 23145 且小于 43521的數(shù)共有（）A56 個(gè)B57 個(gè)C58 個(gè)D60 個(gè)第卷二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分.把答案填在題中橫線上.13已知 a 為實(shí)數(shù)， (x + a)10 展開式中 x 7 的系數(shù)是15，則 a = .1

6、4設(shè) x, y 滿足約束條件：ìx ³ 0,íïx ³ y,îï2x - y £ 1,則 z = 3x + 2y 的最大值是 .15設(shè)中心的原點(diǎn)的橢圓與雙曲線 2x2 - 2 y 2 =1 有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)， 則該橢圓的方程是 .16下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱若兩個(gè)過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱三、解答題：本大題共 6 小題，共 74 分.解

7、答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17（本小題滿分 12 分）已知等差數(shù)列 an ， a2 = 9, a5 = 21.（）求 an 的通項(xiàng)公式；（）令 bn = 2 n ，求數(shù)列b 的前 n 項(xiàng)和 Sn.nna18（本小題滿分 12 分）已知銳角三角形 ABC 中， sin( A + B) = 3 ,sin( A - B) = 1 .55（）求證 tan A = 2 tan B ；（）設(shè) AB=3，求 AB 邊上的高.19（本小題滿分 12 分）已知 8 支球隊(duì)中有 3 支弱隊(duì)，以抽簽方式將這 8 支球隊(duì)分為 A、B 兩組，每組 4 支. 求：（）A、B 兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率；（

8、）A 組中至少有兩支弱隊(duì)的概率.20（本小題滿分 12 分）如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB=90°，AC=1，2CB=，側(cè)棱 AA1=1，側(cè)面 AA1B1B 的兩條對角線交點(diǎn)為 D，B1C1 的中點(diǎn)為 M.（）求證 CD平面 BDM；（）求面 B1BD 與面 CBD 所成二面角的大小.21（本小題滿分 12 分）若函數(shù) f (x) = 1 x3 - 1 ax2 + (a -1)x + 1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間32（6，+）上為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.22（本小題滿分 14 分）給定拋物線 C： y 2 = 4x, F 是 C 的焦點(diǎn)，過點(diǎn) F 的

9、直線l 與 C 相交于 A、B 兩點(diǎn).（）設(shè) l 的斜率為 1，求 OA與OB 夾角的大?。唬ǎ┰O(shè) FB = l AF ,若l Î4,9，求l 在 y 軸上截距的變化范圍.2004 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（必修+選修）參考答案一、選擇題C A B C A C D B D B B C二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分.把答案填在題中橫線上.13 - 1145152三、解答題x 2 +2 =y121617本小題主要考查等差、等比數(shù)列的概念和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，滿分 12 分. 解：（）設(shè)數(shù)列an 的公差為 d，依題意得方程組íì

10、;a1 + d = 9,îa1 + 4d = 21,解得 a1 = 5, d = 4.所以an 的通項(xiàng)公式為 an = 4n +1.（）由 a= 4n +1得b = 24n+1 , 所以b 是首項(xiàng)b= 25 ，公式 q = 24 的等比數(shù)列.nnn1于是得bn 的前 n 項(xiàng)和Sn =25 ´ (24n -1)24 -132 ´ (24n -1)=.1518本小題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和、差的三角函數(shù)值以及應(yīng)用、分析和計(jì)算能力， 滿分 12 分.31（）證明：Qsin( A + B) = 5 ,sin( A - B) = 5 , ïì

11、9;sin Acos B + cos Asin B = 3 ,í5ïïsin Acos B - cos Asin B = 1 .î5所以 tan A = 2 tan B.ì2ï=sin Acos B,ÛÛï5íïïcos Asin B = 1î5tan Atan B= 2.p33（）解：Q 2 < A + B < p ， sin( A + B) = 5 , tan(A + B) = -,4tan A + tan B即1 - tan A tan B= -

12、34，將 tan A = 2 tan B 代入上式并整理得2 tan2 B - 4 tan B -1 = 0.解得 tan B =2 ±62 +6，舍去負(fù)值得 tan B =，22 tan A = 2 tan B = 2 +6.設(shè) AB 邊上的高為 CD.CD則 AB=AD+DB=+ CD2CD= .tan Atan B2 +666由 AB=3，得 CD=2+. 所以 AB 邊上的高等于 2+.19本小題主要考查組合、概率等基本概念，相互獨(dú)立事件和互斥事件等概率的計(jì)算，運(yùn)用 數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，滿分 12 分.C1C 31（）解法一：三支弱隊(duì)在同一組的概率為 5 + 5 =.CC

13、74488故有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率為1 - 1 = 6 .77C 2C 2C 2C 26解法二：有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率 35 + 35 =.CC748C 2C 248C 3C11（）解法一：A 組中至少有兩支弱隊(duì)的概率 35 + 3 5 =CC24488解法二：A、B 兩組有一組至少有兩支弱隊(duì)的概率為 1，由于對 A 組和 B 組來說，至少有兩支弱隊(duì)的概率是相同的，所以 A 組中至少有兩支弱隊(duì)的概率為 1 .220本小題主要考查線面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力.滿分 12 分.解法一：（）如圖，連結(jié) CA1、AC1、CM，則 CA1=2.2CB=CA1=，CB

14、A1 為等腰三角形，又知 D 為其底邊 A1B 的中點(diǎn)，CDA1B.A1C1=1，C1B1=23，A1B1=又 BB1=1，A1B=2. A1CB 為直角三角形，D 為 A1B 的中點(diǎn)，211CD= 2 A1B=1，CD=CC1，又 DM= 2 AC1= 2，DM=C1M.CDMCC1M，CDM=CC1M=90°，即 CDDM.因?yàn)?A1B、DM 為平在 BDM 內(nèi)兩條相交直線，所以 CD平面 BDM.1（）設(shè) F、G 分別為 BC、BD 的中點(diǎn)，連結(jié) B1G、FG、B1F，則 FG/CD，F(xiàn)G=21CD.FG=2，F(xiàn)GBD.1由側(cè)面矩形 BB1A1A 的對角線的交點(diǎn)為 D 知 BD

15、=B1D=2所以BB1D 是邊長為 1 的正三角形.A1B=1，3于是 B1GBD，B1G=.2又 B F2=B B2+BF2=1+（B1GF 是所求二面角的平面角，2 )2 = 3 ，11B G 22+ FG22 - B F 2( 3 )2 +( 1 )23- 3 1c o sÐB GF = 11= 222 = -.2B1C × FG2 ×3 × 13223即所求二面角的大小為p - arccos.32解法二：如圖，以 C 為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.2（）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），2D（1 1 ，M（ 2 ，1，0），, , ) 2

16、2 22CD = (2, 1 ,2212), A1 B = (2,-1,-1),DM =(0,1 ,- 1 ),22則CD × A1 B = 0,CD × DM = 0,CDA1B，CDDM.因?yàn)?A1B、DM 為平面 BDM 內(nèi)兩條相交直線，所以 CD平面 BDM.（）設(shè) BD 中點(diǎn)為 G，連結(jié) B1G，則3 2G（, 1 , 1 ）， 44 4BD = (-2112、），22B1G = (-,- 3 ,2441),4 BD × B1G = 0, BD B1G.又CD BD, BD與B1G的夾角q等于所求的二面角的平面角.cosq =CD × B1G=

17、 -3 .| CD | × | B1G |33所以所求的二面角等于p - arccos.321本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念的計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法，考查綜合運(yùn) 用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.滿分 12 分.解：函數(shù) f (x) 的導(dǎo)數(shù)f ¢(x) = x2 - ax + a -1.令 f ¢(x) = 0 ，解得x = 1或x = a - 1.當(dāng)a - 1 £ 1即a £ 2時(shí),函數(shù)f (x)在(1,+¥)上是增函數(shù), 不合題意當(dāng)a - 1 > 1即a > 2時(shí),函數(shù)f (x)在(-¥,1)上為增函數(shù),

18、在(1, a - 1)內(nèi)為減函數(shù), 在(a - 1,+¥)為增函數(shù).依題意應(yīng)有 當(dāng) x Î (1,4)時(shí), f ¢(x) < 0,當(dāng)x Î (6,+¥)時(shí), f ¢(x) > 0.所以4 £ a -1 £ 6.解得5 £ a £ 7.所以 a 的取值范圍是5，7.22本小題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系以及解析幾何的基本方法、思想和 綜合解題能力。滿分 14 分。解：（）C 的焦點(diǎn)為 F（1，0），直線 l 的斜率為 1，所以 l 的方程為 y = x -1.將 y = x -1代入方程 y 2 = 4x ，并整理得x2 - 6x +1 = 0.設(shè) A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), 則有x1 + x2 = 6, x1 x2 = 1.OA× OB = (x1 , y1 ) × (x2 , y2 ) = x1 x2 + y1 y2 = 2x1 x2 - (x1 + x2 ) +1