最新的版,二面角求法及經(jīng)典題型歸納

1、實用標準文案立體幾何二面角求法一：知識準備1、二面角的概念：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面 .2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別 做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角。3、二面角的大小范圍：0° , 180° 4、三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直5、平面的法向量：直線L垂直平面”，取直線L的方向向量，則這個方向向量叫做平面a的法向量。（顯然，一個平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向

2、量）6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3種方法：（1）、定義法：在棱上取一點，在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的2條射線，這2條所夾的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一個平面，這個平面與2個半平面分別有一條交線，這2條交線所成的角；（3）、三垂線法：過一個半平面內(nèi)一點（記為 A）做另一個半平面的一條垂線，過這個垂 足（記為B）再做棱的垂線，記垂足為 C,連接AC,則/ ACB即為該二面角的平面角。7、兩個平面的法向量的夾角與這兩個平面所成的二面角的平面角有怎樣的關(guān)系？二：二面角的基本求法及練習1、定義法:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面

3、角的面，在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直， 這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角SAM一B中半平面ABM上的一已知點（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）; 在另一半平面 ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF）,這兩條 垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個平面角，再在該平面角內(nèi)建立一 個可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1.在正方體 ABCDA1B1C1D1中，求 （1）二面角 A- B1C- A的大小;（2）平面ADC）與平面ADDA所成角的正切值。AB精彩文檔例2:如圖1,設正方形ABC

4、D-AiCiD中，E為CC中點，求截面 AiBD和EBD1斤成 二面角的度數(shù)。國i練習：過正方形ABCD的頂點 A作PAA平面ABCD ,設PA=AB= a ,求二面角B- PC - D的大小。2、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線 的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.通常當點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如(例 2)過二面角B-FC1-C中半平面BFC上的一已知點B作另一半平面FCiC的垂 線，得垂足O;再過該垂足。作棱FCi的垂線，得垂足 P,連結(jié)起點與終點得斜線段 PB,便形成了三垂線定理的基本構(gòu)

5、圖(斜線PB、垂線BO、射影OP)。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。1例1.平面ABCDA平面ABEF, ABCD是正萬形，ABEF是矩形且AF= ad= a , G是 2EF的中點，(1)求證： 平面AGC a平面BGC ; (2)求GB與平面AGC所成角的正弦值;(3)求二面角B- AC- G的大小。例2.點P在平面ABC外，ABC是等腰直角三角形，？ABC 90； PAB是正三角形, PAA BC。(1)求證：平面PABA平面ABC；(2)求二面角P- AC- B的大小。例3.如圖3,設三棱錐 V-ABC中，VAL底面 ABC AB± BC DE垂直平分 VC 且分別交 AC V

6、C于D> E,又VA=AB VB=BC求二面角 E-BD-C的度數(shù)。圖3練習：正方體 ABCDAiBiCiDi的棱長為1, P是AD的中點，求二面角 A- BD1 - P的大小。3.無棱二面角的處理方法(1)補棱法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線(稱為補棱)，然后借助前述的定義法與三垂線法解題。 即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決例1.過正方形ABCD的頂點A作PAA平面ABCD ,設PA=AB= a ,(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的大小。例2.如圖所示，四棱錐 P-ABCD的底面ABCD是

7、邊長為1的菱形，/ BCD = 60° , E是CD 的中點，PA，底面 ABCD, PA= 2.(I )證明：平面 PBE，平面PAB;(n)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小.例3.如圖10,設正三棱柱ABC-A'B'C'各棱長均為a, D為CC中點，求平面 A'BD與平面ABCT成二面角的度數(shù)。例4、正三角形ABC的邊長為10, AC平面a , B、C在平面a的同側(cè)，且與a 的距離分別是4和2,求平面ABC與a所成的角的正弦值。s射影（2）射影面積法（cosq =）S凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖

8、形面積 S射的都可利用射影面積公式（cose =）求出二面角的大小。S斜例1:正方體 ABCD-A iBiCiDi中，E為棱AA 1的中點，求平面 EBiC和平面ABCD所成的 二面角。例2.正方體ABCDAiBiCiDi的棱長為i, P是棱AAi的中點，求平面PB1cl與平面ABCD 所成二面角的大小。AiM：MA=3:1,求截面 BiDiM例3如圖i2,設正方體 ABCD-A iBiCiDi中，M為AA1上點, 與底面ABCD所成二面角。m is例 4.如圖，在三棱錐 PABC 中，AC = BC =2, NACB =900, AP=BP=AB,PC _L AC . (I)求證：PC -L

9、 AB ； (n)求二面角 B-AP-C 的大小;4、垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此 公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角。例如：過二面角內(nèi)一點 A作AB，a于B,作AC，3于C,面 ABC交棱a于點O,則/ BOC就是二面角的平面角。例 1. SAA 平面ABC, ABA BC, SA= AB = BC,(1)求證：SBA BC ；(2)求二面角C- SA- B的大小;(3)求異面直線SC與AB所成角的余弦值。例2、如圖6,設正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是AB GD的中點(1)求證：A、E、C F四點共面；(2)求二面角A-EC-D的大小

10、。.網(wǎng)6例3、如圖，已知PA與正方形ABCD所在平面垂直，且 AB = PA,求平面PAB 與平面PCD所成的二面角的大小。5、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解， 用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標系， 寫出各點的坐標，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標法表示的向量，進行向量計算解題。在立體幾何中求二面角可歸結(jié)為求兩個向量的夾角問題.對于空間向量a、b,T T,a b有cosv a , b >= a b .利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中二面角的|a| |b|問題.例1.在四錐 V-ABCM,底面AB

11、CD正方形，側(cè)面VAD正三角形，平面VADL底面ABCD求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.證明： 建立如圖空間直角坐標系，并設正方形邊長為1,依題意1, 0),是面 VAD的法向量,設門=(1 , y, z)是面VDB的法向量，則T3n VB =0,|T 3n VB =0.y = -1,=3 =z = 一3cosvAB nI AB| | n |又由題意知，面 VAN面VDB所成的二面角為銳角，所以其余弦值是,21例 2.如圖，直三棱柱 ABC-ABG 中，/ ACB=90°, AC=1, CB=v；2 ,側(cè)棱AA=1,側(cè)面AAB1B的兩條對角線交點為 D, BC的中點為M.求證 CD1平面BDM求面B1BD與面CBD所成二面角的余弦值.AiCi例3如圖，在四棱錐 P ABCN,底面 ABC皿正方形,側(cè)棱 PDL底面 ABCD PD=DC E是PC的中點，作 EFL PB交PB于點F,求二面角 C-PB- D的大小三、幾點說明：1、定義法是選擇一個平面內(nèi)的一點（一般為這個面的一個頂點）向棱作垂線，再由垂足在另一個面內(nèi)作棱的垂線。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計算，不是我們首選的方法。2、三垂線法是從一個平面內(nèi)選一點（一般為這個面的一個頂點）向另一個面作垂線，再由 垂足向棱作垂線，連結(jié)這個點