數(shù)學(xué)排列組合公式

1、精品文檔公式 P 是指排列，從N個元素取R 個進(jìn)行排列。公式 C 是指組合，從N個元素取R 個，不進(jìn)行排列。N-元素的總個數(shù)R 參與選擇的元素個數(shù)！ - 階乘，如9！ 9*8*7*6*5*4*3*2*1從 N倒數(shù) r 個，表達(dá)式應(yīng)該為 n* （n-1)*(n-2).(n-r+1);因為從 n 到（ n-r+1) 個數(shù)為 n（ n-r+1) r舉例：Q1:有從 1 到 9 共計 9 個號碼球，請問，可以組成多少個三位數(shù)？。1歡迎下載精品文檔A1: 123 和 213 是兩個不同的排列數(shù)。即對排列順序有要求的，既屬于 “排列 P”計算范疇。上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現(xiàn) 988,9

2、97 之類的組合， 我們可以這么看， 百位數(shù)有 9 種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有 9-1 種可能，個位數(shù)則應(yīng)該只有 9-1-1 種可能，最終共有 9*8*7 個三位數(shù)。計算公式 P（3，9) 9*8*7,( 從 9 倒數(shù) 3 個的乘積）Q2: 有從 1 到 9 共計 9 個號碼球，請問， 如果三個一組，代表 “三國聯(lián)盟 ”，可以組合成多少個 “三國聯(lián)盟 ”？A2: 213 組合和 312 組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于 “組合 C”計算范疇。2歡迎下載精品文檔上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個數(shù)即為最終組合數(shù) C(3,9)=9*8*7/3*2

3、*1排列、組合的概念和公式典型例題分析例 1 設(shè)有 3 名學(xué)生和 4 個課外小組（1）每名學(xué)生都只參加一個課外小組； （2）每名學(xué)生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學(xué)生參加各有多少種不同方法？解（1）由于每名學(xué)生都可以參加 4 個課外小組中的任何一個，而不限制每個課外小組的人數(shù)，因此共有 種不同方法（ 2）由于每名學(xué)生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有 種不同方法點評由于要讓 3 名學(xué)生逐個選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進(jìn)行計算例 2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少種？。3歡迎下載精品文檔解 依題意，符合

4、要求的排法可分為第一個排 、 、 中的某一個，共 3 類，每一類中不同排法可采用畫 “樹圖 ”的方式逐一排出： 符合題意的不同排法共有9 種點評 按照分 “類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理為把握不同排法的規(guī)律， “樹圖 ”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型例判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計算出結(jié)果（ 1）高三年級學(xué)生會有 11 人：每兩人互通一封信，共通了多少封信？每兩人互握了一次手，共握了多少次手？（ 2）高二年級數(shù)學(xué)課外小組共 10 人：從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？從中選 2 名參加省數(shù)學(xué)競賽，有多少種不同的選法？（ 3）有 2，3，

5、5，7，11，13，17，19 八個質(zhì)數(shù)：從中任取兩個數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積？。4歡迎下載精品文檔（ 4）有 8 盆花：從中選出 2 盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？從中選出 2 盆放在教室有多少種不同的選法？分析（ 1）由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列； 由于每兩人互握一次手， 甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關(guān)，所以是組合問題其他類似分析（ 1）是排列問題，共用了 封信；是組合問題，共需握手 （次）（ 2）是排列問題，共有 （種）不同的選法；是組合問題，共有 種不

6、同的選法（ 3）是排列問題，共有 種不同的商；是組合問題，共有 種不同的積（ 4）是排列問題，共有 種不同的選法；是組合問題，共有 種不同的選法例證明證明 左式右式。5歡迎下載精品文檔 等式成立點評 這是一個排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì) ，可使變形過程得以簡化例5 化簡解法一 原式解法二 原式點評 解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式， 并利用階乘的性質(zhì)； 解法二選用了組合數(shù)的兩個性質(zhì)，都使變形過程得以簡化例 6 解方程：（ 1） ；（ 2） 解 （1）原方程解得 （ 2）原方程可變?yōu)椤?歡迎下載精品文檔 ， ， 原方程可化為 即 ，解得第六章排列組合、二項式定理一、

7、考綱要求1. 掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題 .2. 理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的問題 .3. 掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計算和論證一些簡單問題 .。7歡迎下載精品文檔二、知識結(jié)構(gòu)三、知識點、能力點提示( 一) 加法原理乘法原理說明 加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排 列、組合中有關(guān)問題提供了理論根據(jù) .例 1 5 位高中畢業(yè)生， 準(zhǔn)備報考 3 所高等院校，每人報且只報一所，不同的報名方法共有多少種 ?解： 5 個學(xué)生中每人都可以在 3 所高等院校中任選一所

8、報名，因而每個學(xué)生都有 3 種不同的 報名方法，根據(jù)乘法原理， 得到不同報名方法總共有3×3×3×3×3=35( 種)。8歡迎下載精品文檔( 二) 排列、排列數(shù)公式說明 排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題，在中學(xué)代數(shù)中較為獨特，它研 究的對象以及研 究問題的方法都和前面掌握的知識不同，內(nèi)容抽象，解題方法比較靈活，歷屆高考主要考查排列的應(yīng)用題，都是選擇題或填空題考查 .例 2由數(shù)字 1、2、3、4、5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于 50 000 的 偶數(shù)共有 ()A.60 個B.48 個C.36個D.24 個。9歡迎下載精品文檔解因為要求是偶數(shù)， 個位數(shù)只能是 2 或 4 的排法有1；小于 50P2000 的五位數(shù)，萬位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一個的排法有1P 3;3131個)在首末兩位數(shù)排定后，中間 3 個位數(shù)的排法有 P 3，得 P3P3P 236(由此可知此題應(yīng)選C.例 3 將數(shù)字 1、2、3、4 填入標(biāo)號為 1、2、3、4 的四個方格里，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種 ?解： 將數(shù)字 1 填入第 2 方格，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法有 3 種，即 214 3 ，3142，4123；同樣將數(shù)字 1 填入