概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第4版) ：1-習(xí)題課

1、一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容三、典型例題三、典型例題第一章概率論的基本概念第一章概率論的基本概念習(xí)習(xí) 題題 課課一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn) 1.重點(diǎn)重點(diǎn) 隨機(jī)事件的概念隨機(jī)事件的概念 古典概型的概率計(jì)算方法古典概型的概率計(jì)算方法 概率的加法公式概率的加法公式 條件概率和乘法公式的應(yīng)用條件概率和乘法公式的應(yīng)用 全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用 2.難點(diǎn)難點(diǎn) 古典概型的概率計(jì)算全概率公式的應(yīng)用古典概型的概率計(jì)算全概率公式的應(yīng)用 二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)象隨機(jī)隨機(jī)試驗(yàn)試驗(yàn)事件的事件的獨(dú)立性獨(dú)立性隨隨 機(jī)機(jī) 事事 件件基本事件基本事件必然

2、事件必然事件對(duì)立事件對(duì)立事件概概 率率古典古典概型概型幾何幾何概率概率乘法乘法定理定理事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式性質(zhì)性質(zhì)定義定義條件條件概率概率不可能事件不可能事件復(fù)合事件復(fù)合事件 在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為稱為隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象. 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行; 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果; 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)

3、結(jié)果會(huì)出現(xiàn)會(huì)出現(xiàn). 在概率論中，把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱在概率論中，把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn). 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) o1o2o3 樣本空間的元素樣本空間的元素 ,即試驗(yàn)即試驗(yàn)E 的每一個(gè)結(jié)果的每一個(gè)結(jié)果, 稱為稱為樣本點(diǎn)樣本點(diǎn). 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱的所有可能結(jié)果組成的集合稱為為樣本空間樣本空間,記為記為 S. 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間的樣本空間 S 的子集稱為的子集稱為 E 的的隨機(jī)事件隨機(jī)事件, 簡稱簡稱事件事件. 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 o1o2o3不可能事件不可能事件 隨機(jī)試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的結(jié)果隨機(jī)試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的結(jié)果. 必然事件的對(duì)立

4、面是不可能事件必然事件的對(duì)立面是不可能事件,不可能事件不可能事件的對(duì)立面是必然事件的對(duì)立面是必然事件,它們互稱為它們互稱為對(duì)立事件對(duì)立事件. 基本事件基本事件 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集. 必然事件必然事件 隨機(jī)試驗(yàn)中必然會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果隨機(jī)試驗(yàn)中必然會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果. 重要的隨機(jī)事件重要的隨機(jī)事件 事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算 .), 2 , 1(,的子集的子集是是而而的樣本空間為的樣本空間為設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)SkABASEk (1) 包含關(guān)系包含關(guān)系若事件若事件 A 出現(xiàn)，必然導(dǎo)致事件出現(xiàn)，必然導(dǎo)致事件 B 出現(xiàn)，則稱出現(xiàn)，則稱事件事件 B 包含事件包含事件 A，記作，記作.B

5、AAB 或或圖示圖示 B 包含包含 A . SBA(2) A等于等于B (3) 事件事件A與與B的并的并(和事件和事件) .和事件和事件的的事件事件與與稱為事件稱為事件或或事件事件BABxAxxBA 圖示事件圖示事件A與與B的并的并. SBA 若事件若事件 A 包含事件包含事件 B , 而且事件而且事件 B 包含事件包含事件 A, 則稱事件則稱事件 A 與事件與事件 B 相等相等,記作記作 A=B. (4) 事件事件A與與B的積事件的積事件 圖示事件圖示事件A與與B的積事件的積事件. .積事件的的事件事件與與稱為事件稱為事件且且事件事件BABxAxxBA SBA圖中圖中A和和B重疊部分重疊部分

6、.(5) 事件事件A與與B互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件 B 不出現(xiàn)不出現(xiàn) , B 出現(xiàn)也必然導(dǎo)致出現(xiàn)也必然導(dǎo)致 A 不出現(xiàn)不出現(xiàn),則稱事件則稱事件 A 與與 B互不相互不相容容,即即 . ABBA圖示圖示 A 與與 B 互不相容（互斥）互不相容（互斥） . SAB (6) 事件事件A與與B的差的差 由事件由事件A出現(xiàn)而事件出現(xiàn)而事件B不出現(xiàn)所組成的事件稱不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件為事件A與與B的差的差.記作記作 A- B. 圖示圖示 A 與與 B 的差的差. SABSABAB AB BA BA 設(shè)設(shè) A 表示表示 “事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)”

7、 , 則則 “事件事件A不出不出現(xiàn)現(xiàn)” 稱為事件稱為事件 A 的對(duì)立事件或逆事件的對(duì)立事件或逆事件. 記作記作 .A圖示圖示 A 與與 B 的對(duì)立的對(duì)立 . SBA 若若 A 與與 B 互逆互逆, 則有則有 . ABSBA且且A (7) 事件事件A的對(duì)立事件的對(duì)立事件 說明說明對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別 SSABABA A，B 對(duì)立對(duì)立 A，B 互斥互斥 . ABSBA且且 AB互斥互斥 對(duì)立對(duì)立 事件運(yùn)算的性質(zhì)事件運(yùn)算的性質(zhì) .,1oBAABABBA 交換律交換律. )()(, )()(2oBCACABCBACBA 結(jié)合律結(jié)合律. )()()()(,)()()(3oCB

8、CACBCACBABCACCBCACBA 分配律分配律. ,:4oBABABABA 摩根律摩根律德德則有則有為事件為事件設(shè)設(shè),CBA. )(,.,AfAnnAnAnnnAA并記成并記成發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率稱為事件稱為事件比值比值頻數(shù)頻數(shù)發(fā)生的發(fā)生的稱為事件稱為事件發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)事件事件試驗(yàn)中試驗(yàn)中次次在這在這次試驗(yàn)次試驗(yàn)進(jìn)行了進(jìn)行了在相同的條件下在相同的條件下(1)頻率的定義頻率的定義 頻率頻率 設(shè)設(shè) A 是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn) E 的任一事件的任一事件, 則則 ;1)(010 Afn;0)(, 1)(20 fSf. )()()()(,32121210knnnkkAfAfAfAAAfAAA

9、 則則是兩兩互不相容的事件是兩兩互不相容的事件若若(2)頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì) :)(, )(,.,滿足下列條件滿足下列條件如果集合函數(shù)如果集合函數(shù)的概率的概率稱為事件稱為事件記為記為賦予一個(gè)實(shí)數(shù)賦予一個(gè)實(shí)數(shù)每一事件每一事件的的對(duì)于對(duì)于是它的樣本空間是它的樣本空間是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)設(shè) PAAPAESE概率的定義概率的定義 ;0)(,:10 APA 有有對(duì)于每一個(gè)事件對(duì)于每一個(gè)事件非負(fù)性非負(fù)性;1)(,:20 SPS 有有對(duì)于必然事件對(duì)于必然事件規(guī)范性規(guī)范性則則有有即即對(duì)對(duì)于于件件是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事設(shè)設(shè)可可列列可可加加性性, 2 , 1,:3210 jiAAjiAAji )(

10、)()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性 .0)(10 P概率的有限可加性概率的有限可加性則則有有是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件若若,2210nAAA. )()()()(2121nnAPAPAPAAAP . )()()(, )()(,30APBPABPBPAPBABA 則則且且為兩個(gè)事件為兩個(gè)事件設(shè)設(shè).1)(,40 APA對(duì)于任一事件對(duì)于任一事件概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) . )(1)(,50APA PAA 則則的對(duì)立事件的對(duì)立事件是是設(shè)設(shè). )()()()(,)(60ABPBPAPBAPBA 有有對(duì)于任意兩事件對(duì)于任意兩事件加法公式加法公式n 個(gè)事件和的情況個(gè)事件和

11、的情況 )(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP .)2(;)1(概型概型典典驗(yàn)稱為等可能概型或古驗(yàn)稱為等可能概型或古具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的試具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的試生的可能性相同生的可能性相同試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)有限個(gè)元素有限個(gè)元素試驗(yàn)的樣本空間只包含試驗(yàn)的樣本空間只包含定義定義 等可能概型等可能概型 (古典概型古典概型) 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn) E 的樣本空間由的樣本空間由n 個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成, A為為E 的任意一個(gè)事件的任意一個(gè)事件,且包含且包含 m 個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn), 則事件則事件 A 出現(xiàn)的概率記為

12、出現(xiàn)的概率記為: 古典概型中事件概率的計(jì)算公式古典概型中事件概率的計(jì)算公式 ,)(樣本點(diǎn)總數(shù)樣本點(diǎn)總數(shù)所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)AnmAP 稱此為稱此為概率的古典定義概率的古典定義. .)(SSAPA 幾何概型幾何概型 .,幾何概型幾何概型定的概率稱為定的概率稱為量來合理規(guī)量來合理規(guī)這樣借助于幾何上的度這樣借助于幾何上的度區(qū)域的度量區(qū)域的度量的子的子是構(gòu)成事件是構(gòu)成事件是樣本空間的度量是樣本空間的度量其中其中ASSA當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意并且任意一點(diǎn)落在度量一點(diǎn)落在度量 (長度長度, 面積面積, 體積體積) 相同的子區(qū)域是相同的子區(qū)域是

13、等可能的等可能的,則事件則事件A的概率可定義為的概率可定義為 條件概率條件概率 ,)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得為在事件為在事件 B 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率. .)()()(,0)(,條件概率條件概率發(fā)生的發(fā)生的發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件為在事件為在事件稱稱且且是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件設(shè)設(shè)BAAPABPABPAPBA (1) 條件概率的定義條件概率的定義 ; )()()()(32121210BAAPBAPBAPBAAP ;)(1)(40BAPBAP ;0)(,1)(:20 BPBSP規(guī)范性規(guī)范性則有則有是兩兩不相容的事件是兩兩不相容

14、的事件設(shè)設(shè)可加可列性可加可列性,:5210BB. )(11 iiiiABPABP;0)(:10 ABP非負(fù)性非負(fù)性(2) 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì) ,0)(121 nAAAP且且個(gè)事件個(gè)事件為為設(shè)設(shè)推廣推廣,2,21 nnAAAn則有則有且且為事件為事件設(shè)設(shè),0)(, ABPCBA. )()()()(APABPABCPABCP . )()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn . )()()(,0)(APABPABPAP 則有則有設(shè)設(shè)乘法定理乘法定理 則有則有.,.2;, 2 , 1,1,21210021的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分為樣本空間為樣本空

15、間則稱則稱若若的一組事件的一組事件為為的樣本空間的樣本空間為試驗(yàn)為試驗(yàn)設(shè)設(shè)定義定義SBBBSBBBnjiBBEBBBESnnjin 樣本空間的劃分樣本空間的劃分 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式 1B2B3B1 nBnB.)()()()()()()(), 2, 1(0)(,221121稱稱為為全全概概率率公公式式則則且且的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)定定理理nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE 全概率公式全概率公式 A1B2B3B1 nBnB說明說明 全概率公式的主要用處在于它可以將全概率公式的主要用處在于

16、它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題分解為若干個(gè)簡單一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題分解為若干個(gè)簡單事件的概率計(jì)算問題事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果最終結(jié)果. A1B2B3BnB1 nB貝葉斯公式貝葉斯公式 稱此為稱此為貝葉斯公式貝葉斯公式. ., 2 , 1,)()()()()(,), 2 , 1(0)(,0)(,.121niBPBAPBPBAPABPniBPAPSBBBEASEnjjjiiiin 則則且且的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)定定理理., )()()(,獨(dú)立獨(dú)立簡稱簡稱相互獨(dú)立相互獨(dú)立則稱事件則稱事

17、件如果滿足等式如果滿足等式是兩事件是兩事件設(shè)設(shè)BABABPAPABPBA 事件事件 A 與與 B 相互獨(dú)立是指事件相互獨(dú)立是指事件 A 發(fā)生的概率發(fā)生的概率與事件與事件 B 是否出現(xiàn)無關(guān)是否出現(xiàn)無關(guān). 說明說明 事件的相互獨(dú)立性事件的相互獨(dú)立性 (1)兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立 (2)三事件兩兩相互獨(dú)立三事件兩兩相互獨(dú)立 ., )()()(, )()()(, )()()(,兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個(gè)事件是三個(gè)事件設(shè)設(shè)CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 注意注意三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件相互獨(dú)立 三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互

18、獨(dú)立 (3)三事件相互獨(dú)立三事件相互獨(dú)立 .,),()()()(, )()()(, )()()(, )()()(,相互獨(dú)立相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個(gè)事件是三個(gè)事件設(shè)設(shè)CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA , )()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21為為相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的事事件件則則稱稱nAAAn 個(gè)事件相互獨(dú)立個(gè)事件相互獨(dú)立 n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立 有有等等式式具具任任意意意意如如果果對(duì)對(duì)于于任任個(gè)個(gè)事事件件是是設(shè)設(shè)推推廣廣,1,)1(,2121niiinkknAAAkn . )(

19、)(,. 0)(,反之亦然反之亦然則則立立相互獨(dú)相互獨(dú)若若且且是兩事件是兩事件設(shè)設(shè)BPABPBAAPBA 重要定理及結(jié)論重要定理及結(jié)論 定理一定理一.,也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立與與與與與與事件事件則下列各對(duì)則下列各對(duì)是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件若若BABABABA定理二定理二兩個(gè)結(jié)論兩個(gè)結(jié)論 .,)2(,)2(2121個(gè)個(gè)事事件件仍仍相相互互獨(dú)獨(dú)立立所所得得的的事事件件們們的的對(duì)對(duì)立立中中任任意意多多個(gè)個(gè)事事件件換換成成它它則則將將相相互互獨(dú)獨(dú)立立個(gè)個(gè)事事件件若若nAAAnAAAnnn .)2(,)2(,)1(21個(gè)事件也是相互獨(dú)立個(gè)事件也是相互獨(dú)立其中任意其中任意則則相互獨(dú)立相互獨(dú)立

20、若事件若事件nkknAAAn ;)()1(1B品品只有第一個(gè)零件是合格只有第一個(gè)零件是合格;)()2(2B件是合格品件是合格品三個(gè)零件中只有一個(gè)零三個(gè)零件中只有一個(gè)零;)(,)3(3B個(gè)次品個(gè)次品一一但后兩個(gè)零件中至少有但后兩個(gè)零件中至少有第一個(gè)是合格品第一個(gè)是合格品三、典型例題三、典型例題 :)3 , 2 , 1(, )3 , 2 , 1(,3表示下列事件表示下列事件試用試用個(gè)零件是合格品個(gè)零件是合格品生產(chǎn)的第生產(chǎn)的第表示他表示他以事件以事件個(gè)零件個(gè)零件一個(gè)工人生產(chǎn)了一個(gè)工人生產(chǎn)了 iAiiAii例例1解解 ;)1(3211AAAB ;)2(3213213212AAAAAAAAAB ;)()

21、3(3213AAAB ,)4(3214AAAB ;3214AAAB 或或,)5(3215AAAB .3215AAAB 或或說明說明 一個(gè)事件往往有多個(gè)等價(jià)的表達(dá)方式一個(gè)事件往往有多個(gè)等價(jià)的表達(dá)方式. . )()5(5B三個(gè)零件都是次品三個(gè)零件都是次品;)()4(4B個(gè)合格品個(gè)合格品三個(gè)零件中最多只有兩三個(gè)零件中最多只有兩.:.,ABBCACBACABCCBA 證明證明滿足滿足設(shè)隨機(jī)事件設(shè)隨機(jī)事件證明證明 ,BAC 由于由于,BAC 故故BBABC)( 從而從而,BA BABCBCA ,BC ,ABABCACB )(BBACAC 故故BACACB .ABBC 例例2 . 6 . 0, 7 . 0

22、率率少有一次命中目標(biāo)的概少有一次命中目標(biāo)的概試求兩次獨(dú)立射擊至試求兩次獨(dú)立射擊至擊擊程內(nèi)將連續(xù)對(duì)其進(jìn)行射程內(nèi)將連續(xù)對(duì)其進(jìn)行射如果目標(biāo)一旦進(jìn)入射如果目標(biāo)一旦進(jìn)入射射擊命中目標(biāo)的概率為射擊命中目標(biāo)的概率為這時(shí)這時(shí)內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)在射程之假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)在射程之思路思路 引進(jìn)事件引進(jìn)事件 ;目標(biāo)進(jìn)入射程目標(biāo)進(jìn)入射程 A. 2 , 1, iiBi次射擊命中目標(biāo)次射擊命中目標(biāo)第第.21的概率的概率事件事件為為能命中目標(biāo)，所求概率能命中目標(biāo)，所求概率目標(biāo)不在射程之內(nèi)不可目標(biāo)不在射程之內(nèi)不可BBB 例例3 解解 由題意知由題意知 )2, 1(,6 . 0)(, 7 . 0)( iABPAPi,0

23、)( BAPA，則，則表示目標(biāo)不在射程之內(nèi)表示目標(biāo)不在射程之內(nèi)由于由于因此有因此有)()()()(ABPBAPABPBP )()(ABPAP , )()(21ABBPAP )()()(21ABBPAPBP 故故84. 07 . 0 .588. 0 )()()(2121ABPABPABBP .36. 06 . 06 . 0 ,21相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與BB)()()(2121ABBPABPABP )(21ABBP而而36. 06 . 06 . 0 .84. 0 .,573,251510兩份兩份從中先后抽出從中先后抽出名表名表隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)份份份和份和份份為為其中女生的報(bào)名

24、表分別其中女生的報(bào)名表分別生的報(bào)名表生的報(bào)名表名考名考名和名和名名設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各、;)1(p表的概率表的概率求先抽到的一份是女生求先抽到的一份是女生.,)2(q的一份是女生表的概率的一份是女生表的概率求先抽到求先抽到男生表男生表已知后抽到的一份表是已知后抽到的一份表是思路思路 由于抽到的表與來自哪個(gè)地區(qū)有關(guān)由于抽到的表與來自哪個(gè)地區(qū)有關(guān),故此故此題要用全概率公式來討論題要用全概率公式來討論. 例例4 解解 ;3, 2, 1, iHi抽到地區(qū)考生的報(bào)名表抽到地區(qū)考生的報(bào)名表記記, 2, 1, jjAj次抽到報(bào)名表是男生的次抽到報(bào)名表是男生的第第;107)(;)3 , 2 , 1(31)(11 HAPiHPi則有則有.2520)(;158)(3121 HAPHAP由全概率公式知由全