工程力學(xué)(經(jīng)典)新第四章 平面任意力系

1、第四章平面任意力系 平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)的簡(jiǎn)化 平面任意力系的平衡條件和平衡方程 物體系統(tǒng)的平衡靜定和超靜定問(wèn)題 平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算4.1工程中的平面任意力系問(wèn)題工程中的平面任意力系問(wèn)題4.2 力線平移定理FdFMMBB)( 可以把作用在剛體上點(diǎn)A的力F平行移到任一點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這個(gè)附加力偶的矩等于原來(lái)的力F對(duì)新作用點(diǎn)B的矩。力線平移定理的另一個(gè)用法，可把一個(gè)力和一個(gè)力偶合成一個(gè)力。正步驟逆步驟主矢和主矩4.3 平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化)(20222FMMFF)(10111FMMFF)(0nnnnFMMFF1212nRni FFFFFFFF平面匯交力系力，F(xiàn)R(

2、主矢，作用在簡(jiǎn)化中心)平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在該平面上)平面任意力系平面匯交力系+平面力偶系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化其中平面匯交力系的合力為平面力偶系的合成結(jié)果為1212()()()()OnOOOnOiMMMMMMMM FFFF大小22)()(iyixRFFF方向cos( , )ixRRFFiFcos( , )iyRRFFjF作用點(diǎn)作用于簡(jiǎn)化中心上主矩)(iOOFMM 平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，可得一個(gè)力和一個(gè)力偶。 這個(gè)力等于該力系的主矢，作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心O 。 這個(gè)力偶的矩等于該力系對(duì)于點(diǎn)O的主矩。主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)，主矩和簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。平面固定端約束平面固定端約

3、束=(1)平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶原平面一般力系等效為一個(gè)平面力偶系。合力偶矩M等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。由于力偶在同一平面內(nèi)可移轉(zhuǎn)，所以此時(shí)的簡(jiǎn)化結(jié)果與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)()OOMM F FR0，MO0 4.4 平面任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析(2)平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力的情形合力矩定理如果主矩等于零，主矢不等于零，則此時(shí)平面力系簡(jiǎn)化為一合力，作用線恰好通過(guò)簡(jiǎn)化中心。如果主矢和主矩均不等于零，此時(shí)還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一合力。如圖OOFRdFRFRFRMOFROOdOOORMdF()ORROMF dMF()OOiMM F結(jié)論：平面任意力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。這

4、就是平面任意力系的合力矩定理。FRdOO從圖中可以看出所以由主矩的定義知：()()OROiMM FF0RF主矢主矢主矩主矩最后結(jié)果最后結(jié)果說(shuō)明說(shuō)明合力合力合力合力合力作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心合力作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心0RF合力作用線距簡(jiǎn)化中心合力作用線距簡(jiǎn)化中心合力偶合力偶平衡平衡與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化中心：A點(diǎn)點(diǎn)思考：三角形分布載荷處理？思考：三角形分布載荷處理？ 分布在較大范圍內(nèi)，不能看作集中力的載荷稱(chēng)分布載荷。若分布載荷可以簡(jiǎn)化為沿物體中心線分布的平行力，則稱(chēng)此力系為平行分布線載荷，簡(jiǎn)稱(chēng)線載荷。載荷集度q量綱：力/長(zhǎng)度分布載荷問(wèn)題主

5、矢主矢qlqdxlxFlR210主矩主矩2031qlqdxlxxMlA簡(jiǎn)化最終結(jié)果簡(jiǎn)化最終結(jié)果lqlqlFMdRA3221312dxqlxqlFFRR21 yxdxlRF結(jié)論： 1、合力的大小等于線載荷所組成幾何圖形的面積。2、合力的方向與線載荷的方向相同。3、合力的作用線通過(guò)載荷圖的形心。1、均布載荷、均布載荷qlQ 2、三角形載荷、三角形載荷qlQ213、梯形載荷、梯形載荷l/2l/2qQlq2q1可以看作一個(gè)三角形荷載和一可以看作一個(gè)三角形荷載和一個(gè)均布載荷的疊加個(gè)均布載荷的疊加例4-1已知：1450,P kN2200,P kN1300,F kN270;F kN求：力系的合力RF解：（1

6、）、力系向o點(diǎn)簡(jiǎn)化knFPPFknFFFCBABACByx1 .670sin9 .232cos7 .16arctan22121kNFFFyxR4 .709)()(22主矢0016.19180arccos),(,84.70arccos),(RyRRxRFFjFFFiF主矩mkNFMMoo.2355)(（2）、求合力及其作用線位置.23553.3197709.4oRMdFm003.514cos 9070.84dx m平面任意力系平衡的充要條件是： 力系的主矢和對(duì)任意點(diǎn)的主矩都等于零即 00oRMF4.5 平面任意力系的平衡條件和平衡方程)()()(22iOOyxRFMMFFF因?yàn)槠矫嫒我饬ο档钠胶?/p>

7、方程)54(000oyxMFF 平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對(duì)于任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零。平面任意力系平衡方程的三種形式1) 一般式000AyxMFF2)二矩式000BAxMMF兩個(gè)取矩點(diǎn)連線，不得與投影軸垂直BA,由后面兩式知：力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶，只能簡(jiǎn)化為過(guò)A、B兩點(diǎn)的一合力或處于平衡。再加第一條件，若AB連線不垂直于x 軸 (投影軸），則力系必平衡。3)三矩式000CBAMMM三個(gè)取矩點(diǎn)，不得共線CBA, 由前面兩式知：力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶，只能簡(jiǎn)化為過(guò)A、B兩點(diǎn)的一合力或處于平衡，再加第三條件，力系只能簡(jiǎn)化為過(guò)A

8、、B、C三點(diǎn)的一合力或處于平衡，若三點(diǎn)不在同一直線上，則力系必平衡。注意：注意：以上格式分別有三個(gè)獨(dú)立方程，最多只能求出三個(gè)未知數(shù)以上格式分別有三個(gè)獨(dú)立方程，最多只能求出三個(gè)未知數(shù)。例4-2已知：, , ,;P q a Mqa求：支座A、B處的約束力.解：取AB梁，畫(huà)受力圖. 0 xF0AM 0yF0AxF解得0AxF4220BFaMPaqa a解得3142BFPqa20AyBFqaPF解得342AyPFqa例4-3已知：20,M kN m100,P kN400,F kN20,q kNm1 ;l m求： 固定端A處約束力.解：取T型剛架，畫(huà)受力圖.其中113302FqlkN 0 xF0AM 0

9、yF01sin600AxFFF316.4AxFkN060cosFPFAy0330cos30sin1lFlFlFMMAkN300AyFmkN1188AM4.6平面平行力系的平衡方程 0 xF0000 0 xF0coscoscos321FFF 0yF0sinsinsin321FFF平面平行力系的方程只有兩個(gè)，有兩種形式00AyMF各力不得與投影軸垂直00BAMMA,B兩點(diǎn)連線不得與各力平行已知：,200,70021kNkNPP尺寸如圖；求：（1）起重機(jī)滿載和空載時(shí)不翻倒，平衡載重P3；（2）P3=180kN，軌道AB給起重機(jī)輪子的約束力。解：1）取起重機(jī)，畫(huà)受力圖.滿載時(shí)，, 0AF就翻倒 0BM

10、0102821min3PPP解得 P3min=75kN例4-4kNkN350753 PP3=180kN時(shí) 0AM041424213BFPPPFB=870kN 0iyF0321PPPFFBA FA=210kN空載時(shí)，, 0BF就翻倒 0AM4 4P P3max3max-2-2P P1 1=0=0F3max=350kN2）4.7 剛體系的平衡問(wèn)題 由多個(gè)物體通過(guò)約束所組成的系統(tǒng)稱(chēng)為剛體系統(tǒng)。 外界物體作用于系統(tǒng)的力稱(chēng)該系統(tǒng)的外力。系統(tǒng)內(nèi)各剛體間相互作用的力稱(chēng)該系統(tǒng)的內(nèi)力。 當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)剛體都平衡。反之，系統(tǒng)中每個(gè)剛體都平衡，則系統(tǒng)必然平衡。因此，當(dāng)研究剛體系統(tǒng)的平衡時(shí)，研究對(duì)象可以

11、是整體，也可以是局部，也可以是單個(gè)剛體。 1 剛體系統(tǒng)靜定的判斷 在靜力學(xué)中求解剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題時(shí)，若未知量的數(shù)目(m)不超過(guò)獨(dú)立平衡方程數(shù)目(3n)。則由剛體靜力學(xué)理論，可把全部未知量求出，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為靜定問(wèn)題。 若未知量的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目，則全部未知量用剛體靜力學(xué)理論無(wú)法求出，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題。而總未知量數(shù)與總獨(dú)立平衡方程數(shù)之差稱(chēng)為靜不定次數(shù)(k=m-3n)。 靜不定問(wèn)題在強(qiáng)度力學(xué)靜不定問(wèn)題在強(qiáng)度力學(xué)（材力材力, ,結(jié)力結(jié)力, ,彈力）中用位移彈力）中用位移協(xié)調(diào)條件來(lái)求解協(xié)調(diào)條件來(lái)求解。靜定（未知數(shù)三個(gè)）靜定（未知數(shù)三個(gè)） 靜不定（未知數(shù)四個(gè)）靜不定（未知數(shù)四個(gè)

12、）PPPPFPFPF判斷各圖的超靜定次數(shù)判斷各圖的超靜定次數(shù)例4-5已知： OA=R，AB= l,F不計(jì)物體自重與摩擦,系統(tǒng)在圖示位置平衡;求力偶矩M 的大小，軸承O處的約束力，連桿AB受力，沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力.解:1)取沖頭B,畫(huà)受力圖. . 0iyF0cosBFF22cosRlFlFFB 2 物體系平衡例題 0ixF0sinBNFF22tanRlFRFFN2)取輪,畫(huà)受力圖. 0ixF0sinAoxFF22RlFRFox 0iyF0cosAoyFFFFoy 0oM0cosMRFAFRM 例4-6 已知:F F=20kN,q=10kN/m,20mkNML=1m;求:A,B處的約束力.解:1)

13、取CD梁,畫(huà)受力圖.0CMsin60cos30202BlFlqlFl 解得 F FB B=45.77kN=45.77kN解得kN89.32AxF 0iyFsin602cos300AyBFFqlF解得kN32. 2AyF 0AM22sin60 3cos3040ABMMqllFlFl解得kN37.10AM2)取整體,畫(huà)受力圖. . 0ixFcos60sin300AxBFFF例4-7DC=CE=CA=CB= =2l, ,R=2r= =l, ,450P, ,自重不計(jì).求求A,E支座處約束力及BD桿受力.解:1)取整體,畫(huà)受力圖. 0EM02522lPlFA解得PFA825 0ixF045cos0AEx

14、FF解得PFEx85 0iyF045sin0AEyFPF解得PFEy8132)取DCE桿,畫(huà)受力圖. . 0CM02245cos0lFlFlFExKDB解得PFDB823(拉)例4-8已知：F , a ,各桿重不計(jì)；求：B 鉸處約束反力.解：1)取整體，畫(huà)受力圖0CM20ByFa解得0ByF2)取DEF桿，畫(huà)受力圖0DMsin4520EFaFasin452EFF0ixFcos450EDxFF得cos452DxEFFFBMo20DxFaFa得2DxFF3)對(duì)ADB桿受力圖0AM20BxDxFaFa得BxFF 例6例4-9求圖示多跨靜定梁的支座約束力。解：先以CD為研究對(duì)象，受力如圖。3()0:3

15、302CDMFqF32DFq再以整體為研究對(duì)象，受力如圖。0:0 xAxFF0:40yAyBDFFFFFq()0:842460ADBMFFFqF132BFFq1122AyFFqCBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD例7例4-10 求圖示結(jié)構(gòu)固定端的約束力。解：先以BC為研究對(duì)象，受力如圖。0:0CMF bMCBMFFb再以AB部分為研究對(duì)象，受力如圖。0:0 xAxBFFFF0:0yAyFFqa( )0AMF21()02ABMF abqaF a 求得BBFF ,AxAyAMFFFqa MbCBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx4.8

16、 平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算工程中的桁架結(jié)構(gòu)工程中的桁架結(jié)構(gòu) 桁架是由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接形成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。桁架中所有桿件都在同一平面內(nèi)的桁架稱(chēng)為平面桁架。桁架中的鉸鏈接頭稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。 為簡(jiǎn)化桁架計(jì)算，工程實(shí)際中采用以下幾個(gè)假設(shè)： (1)桁架的桿件都是直桿； (2)桿件用光滑鉸鏈連接； (3)桁架所受的力都作用到節(jié)點(diǎn)上且在桁架平面內(nèi)； (4)桁架桿件的重量略去不計(jì)，或平均分配在桿件兩端的節(jié)點(diǎn)上。這樣的桁架，稱(chēng)為理想桁架?？倵U數(shù)mn總節(jié)點(diǎn)數(shù)32 nm33nm=2( )32 nm平面復(fù)雜（超靜定）桁架32 nm平面簡(jiǎn)單（靜定）桁架32 nm非桁架（機(jī)構(gòu)）1、節(jié)點(diǎn)法求解平面桁架 桁架內(nèi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)

17、都受平面匯交力系作用，為求桁架內(nèi)每個(gè)桿件的內(nèi)力，逐個(gè)取桁架內(nèi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，求桁架桿件內(nèi)力的方法即為節(jié)點(diǎn)法。例4-11已知:P=10kN,尺寸如圖；求桁架各桿件受力.解: 1)取整體，畫(huà)受力圖. 0ixF 0iyF 0BM0BxF042AyFPkN5AyF0PFFByAykN5ByF2)取節(jié)點(diǎn)A，畫(huà)受力圖. 0iyF030sin01 FFAy解得kN101F(壓) 0ixF030cos012 FF解得kN66. 82F(拉)3)取節(jié)點(diǎn)C,畫(huà)受力圖. 0ixF030cos30cos0104FF解得kN104F(壓) 0iyF030sin0413FFF解得kN103F(拉)4)取節(jié)點(diǎn)D,畫(huà)受力

18、圖. 0ixF025FF解得解得kN66. 85F(拉)三桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、其中兩桿在三桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、其中兩桿在一條直線上，另一桿必為零力桿。一條直線上，另一桿必為零力桿。12SS且四桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、其中兩兩在四桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、其中兩兩在一條直線上，同一直線上兩桿一條直線上，同一直線上兩桿內(nèi)力等值。內(nèi)力等值。12SS34SS兩桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、且兩桿不在兩桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、且兩桿不在一條直線上時(shí)，該兩桿是零力桿。一條直線上時(shí)，該兩桿是零力桿。特殊桿件的內(nèi)力判斷特殊桿件的內(nèi)力判斷021 SS例4-12 已知:,101kNP,72kNP桿長(zhǎng)均為1m;求:1,2,3桿受力.解:1)取整體,求支座約束力. 0ixF0AxF 0BM03221AyFPP2、截面法 用假想的截面將桁架截開(kāi)，取至少包含兩個(gè)節(jié)點(diǎn)以上部分為研究對(duì)象，考慮其平衡，求出被