高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入2.1復(fù)數(shù)的加法與減法練習(xí)北師大版選修1

1、精品教案可編輯2.1復(fù)數(shù)的加法與減法目標(biāo)、知重點1.熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加減法運算法則.2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題1 .復(fù)數(shù)加法與減法的運算法則(1)設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù)，則zi+z2=(a+c)+(b+d)i,ziZ2=(ac)+(b一d)i.(2)對任意zi,Z2,Z3C,有zi+Z2=Z2+zi,(zi+Z2)+Z3=zi+(z2+z3).2 .復(fù)數(shù)加減法的幾何意義如圖：設(shè)復(fù)數(shù)zi,z2對應(yīng)向量分別為OZi,0Z2,四邊形OZiZZ2為平行四邊形，則與zi+z2對應(yīng)的向量是0Z,與zi-z2對應(yīng)的向量是ZlZi.情境導(dǎo)學(xué)我們

2、學(xué)習(xí)過實數(shù)的加減運算，復(fù)數(shù)如何進行加減運算？我們知道向量加法的幾何意義，那么復(fù)數(shù)加法的幾何意義是什么呢？探究點一復(fù)數(shù)加減法的運算思考1我們規(guī)定復(fù)數(shù)的加法法則如下：設(shè)zi=a+bi,z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù)，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.那么兩個復(fù)數(shù)的和是個什么數(shù)，它的值唯一確定嗎？答仍然是個復(fù)數(shù)，且是一個確定的復(fù)數(shù)；思考2當(dāng)b=0,d=0時，與實數(shù)加法法則一致嗎？答一致思考3復(fù)數(shù)加法的實質(zhì)是什么？類似于實數(shù)的哪種運算方法？答實質(zhì)是實部與實部相加，虛部與虛部相加，類似于實數(shù)運算中的合并同類項思考4實數(shù)的加法有交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的加法滿足這些運算律嗎？并試著證明答

3、滿足，對任意的Z1,Z2,Z3CC,有交換律：Zl+Z2=Z2+Z1.結(jié)合律：(Zl+Z2)+Z3=Zl+(Z2+Z3).證明：設(shè)zi=a+bi,z2=c+di,zi+z2=(a+c)+(b+d)i,z2+zi=(c+a)+(d+b)i,顯然，Zl+Z2=Z2+Zl,同理可得(Zi+Z2)+Z3=Zi+(Z2+Z3).思考5類比于復(fù)數(shù)的加法法則，試著給出復(fù)數(shù)的減法法則答(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.例i計算：(i)(i2i)(2i)(2i)(i2i)；精品教案(2)1(ii2)(12i)(12i)解(1)原式=(122+1)+(2+112)i=2.(2)原式=1+(i1)+(

4、1+2i)+(12i)=(1111)+(1+22)i=2+i.反思與感悟復(fù)數(shù)的加減法運算，就是實部與實部相加減做實部，虛部與虛部相加減作虛部，同時也把i看作字母，類比多項式加減中的合并同類項跟蹤訓(xùn)練1(1)計算2i(32i)3(13i)；(2)計算(a+2bi)(3a4bi)5i(a,beR).解(1)原式=2i-(3+2i-3+9i)=2i-11i=9i.(2)原式=-2a+6bi5i=2a+(6b5)i.探究點二復(fù)數(shù)加減法的幾何意義思考1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對應(yīng)，你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？答如圖，設(shè)&1,0Z2分別與復(fù)數(shù)a+bi,c+di對應(yīng)，則有&1=(a

5、,b),&2=(c,d),由向量加法的幾何意義OZ1+oZ2=(a+c,b+d),所以0Z1+0Z2與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對應(yīng)，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行思考2怎樣作出與復(fù)數(shù)Z1-Z2對應(yīng)的向量？可編輯答z1z2可以看作z1(z2)因為復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與Z1-Z2對應(yīng)的向量(如圖).圖中OZl對應(yīng)復(fù)數(shù)Z1,&2對應(yīng)復(fù)數(shù)Z2,則ZlZl對應(yīng)復(fù)數(shù)Z1Z2.例2如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O,A,C分別表示0,3+2i,2+4i.求：(1)AO表示的復(fù)數(shù)；(2)對角線CA表示的復(fù)數(shù)；對角線OB表示的復(fù)數(shù).解(i)因為A

6、O=OA,所以AO表示的復(fù)數(shù)為一32i.(2)因為CA=OAOC,所以對角線CA表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因為對角線oB=OA+oC,所以對角線OB表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.反思與感悟復(fù)數(shù)的加減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加減法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的運用.跟蹤訓(xùn)練2復(fù)數(shù)zi=1+2i,Z2=-2+i,Z3=-1-2i,它們在復(fù)平面上的對應(yīng)點是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù).解設(shè)復(fù)數(shù)Z1,Z2,Z3在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為A,B,C,正方形的第四個頂點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x,yCR),如圖.則AD=(5d-o

7、A=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,BC=OCOB=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.,.Ad=BC,.(x-1)+(y-2)i=1-3i.x1=1x=2,解得y-2=-3y=-1故點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.探究點三復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用例3已知|Z1|=|Z2|=|Z1Z2|=1,求|Z1+Z2|.解方法一設(shè)Z1=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dCR),.Z1|=|Z2|=|Z1-Z2|=1,.a2+b2=c2+d2=1,(a-c)2+(b-d)2=1,由得2ac+2bd=1,，21+在|=4a+c2+b+d2=a2+c2+b2+d2+2ac+2bd=/.方法二

8、設(shè)O為坐標(biāo)原點，Z1,Z2,Z1+Z2對應(yīng)的點分別為A,B,C.Zl|=|Z2|=|Z1Z2|=1,，怎AB是邊長為1的正三角形，四邊形OACB是一個內(nèi)角為60。，邊長為1的菱形，且|Z1+Z2|是菱形的較長的對角線OC的長，.Z1+Z2|=|OC|=oA|2+|AC|2-2|Oa|AC|cos1203.反思與感悟(1)設(shè)出復(fù)數(shù)Z=x+yi(x,yCR),利用復(fù)數(shù)相等或模的概念，可把條件轉(zhuǎn)化為x,y滿足的關(guān)系式，利用方程思想求解，這是本章“復(fù)數(shù)問題實數(shù)化”思想的應(yīng)用.(2)在復(fù)平面內(nèi)，Z1,Z2對應(yīng)的點為A,B,Z1+Z2對應(yīng)的點為C,O為坐標(biāo)原點，則四邊形OACB為平行四邊形；若|zi+Z2

9、|=|ziZ2|,則四邊形OACB為矩形；若|zi|=|Z2|,則四邊形OACB為菱形；若|zi|=|Z2|且|zi+Z2|=|ziZ2|,則四邊形OACB為正方形.跟蹤訓(xùn)練3例3中，若條件變成|Z1|=|Z2|=1,|Z1+Z2|=2.求|Z1Z2|.解由|Z1|=|Z2|=1,|Z1+Z2|=3，知Z1,Z2,Z1+Z2對應(yīng)的點是一個邊長為1的正方形的三個頂點，所求|Z1Z2|是這個正方形的一條對角線長，所以|Z1Z2|=、.1,復(fù)數(shù)zi=2i,Z2=2i,則zi+Z2等于（）A. 03 5B.-+-i2 25 3D_-i2 2答案解析zi + Z2= (2 +) (+ 2)i =-5一i

10、. 22.若z+32i=4+i,則z等于()A. 1 +i8. 1+3i答案B解析z=4+i-(3-2i)=1+3i.3 .在復(fù)平面內(nèi)，O是原點，OA,OC,AB表示的復(fù)數(shù)分別為2+i,3+2i,1+5i,則BC表示的復(fù)數(shù)為()A.2+8iB.66iC.4-4iD.4+2i答案C解析EBC=0C-0B=(OC-(AB+0A)=4-4i.4 .若|z1|=|z+1|,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在()A.實軸上B.虛軸上C.第一象限D(zhuǎn).第二象限答案B解析,Z-1|=|z+1|,點Z到(1,0)和(一1,0)的距離相等，即點Z在以(1,0)和(一1,0)為端點的線段的中垂線上即虛軸上.5 .已知復(fù)數(shù)Z1=(a

11、2-2)+(a-4)i,Z2=a(a22)i(aCR),且z1一Z2為純虛數(shù)，則a=答案1a2a2=0,解析Z1Z2=(a2a2)+(a4+a22)i(aeR)為純虛數(shù)，解得a2+a6金0a=-1.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法滿足交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算2 復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則一、基礎(chǔ)過關(guān)1 .若復(fù)數(shù)z滿足z+i3=3i,則z等于（）A0B2iC6D62i答案D解析z=3-i-（i-3）=6-2i.2 復(fù)數(shù)ii2在復(fù)平面內(nèi)表示的點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案B解析i+i2

12、=1+i,對應(yīng)的點在第一象限.3 .復(fù)數(shù)zi=3+i,Z2=1i,則ziZ2等于（）A2B22iC42iD42i答案C4 .設(shè)zi=2+bi,z2=a+i,當(dāng)zi+z2=0時，復(fù)數(shù)a+bi為（）A. 1 +i B. 2 + iC. 3 D. - 2-i答案D解析,.a+bi=-2i.5 .已知|z|=3,且z+3i是純虛數(shù)，則z=.答案3i解析z=a+bi(abCR),則z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i為純虛數(shù)，.a=0,b+3w0,沖|=3,，b=3,z=3i.6 .計算：(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+(2008+2009i)+(2009-2010i)

13、+(2010+2011i)=.答案1005+1005i解析原式=(12+34+2008+2009-2010)+(2+34+5+2009-2010+2011)i=-1005+1005i.7 .計算：(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i);(2)(；+；i)+(2-i)-(；-；i);3232已知zi=2+3i,z2=1+2i,求zi+z2,ziz2.解(1)(-7i+5)-(9-8i)+(32i)=-7i+5-9+8i+3-2i=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.1143(2)(；+；i)+(2-i)-C-；i)3232=_+_i+2-i-+-i=4+24)+(11+3)i

14、=1+i.3322(3)z+z2=2+3i+(1+2i)=1+5i,ziz2=2+3i-(-1+2i)=3+i.、能力提升8 .如果一個復(fù)數(shù)與它的模的和為5+3i,那么這個復(fù)數(shù)是L1答案小解析設(shè)這個復(fù)數(shù)為x+yi(x,yR)-x+yi+yjx2Ty2=5+yjsi,9 .若|z2|=|z+2|,則|z1的最小值是L答案1解析由|z2|=|z+2,知z對應(yīng)點的軌跡是到(2,0)與到(一2,0)距離相等的點，即虛軸.|z1|表示z對應(yīng)的點與(1,0)的距離.11min=1.m2+m10 .設(shè)mCR,復(fù)數(shù)zi=+(m-15)i,Z2=-2+m(m-3)i,若zi+Z2是虛數(shù)，則mm+2的取值范圍是-

15、答案mw5,mw3且mw-2(mCR)m2+m解析-zi=+(m-15)i,Z2=-2+m(m-3)i,m+2m2+m.zi+Z2=-2+(m-15)+m(m-3)im+2mm4二+(m2-2m-15)i.m+2,Z1+Z2為虛數(shù)，/.m2-2m-15wo且mw2,解得mw5,mw3且mw-2(mR).11 .復(fù)平面內(nèi)有A,B,C三點，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1+2i,向量元對應(yīng)的復(fù)數(shù)是3-i,求C點在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo).解-.AC=BC-BA,A3對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3-i)-(1+2i)=2-3i,設(shè)C(x,y),則(x+yi)(2+i)=23i,.x+yi=(2+i)+(2-3i)

16、=4-2i,故x=4,y=2.C.點在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)為(4,2).12 .已知ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A,B,C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i,i,2+i,求點D對應(yīng)的復(fù)數(shù).解方法一設(shè)D點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x,yCR),則D(x,y),又由已知A(1,3),B(0,1),C(2,1).AC中點為2,2,BD中點為x,y-21.平行四邊形對角線互相平分，3x一=一22x=3.即點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+5i.y1y=52=2方法二設(shè)D點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x,yR).則AD對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(x+yi)(1+3i)=(x1)+(y3)i,又BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2+i)(i)=2+2i,.AD=BC.x1)+(y3)i=