高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)?？碱}型歸納

1、高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)(理科)?？碱}型歸納題型一：常見(jiàn)概率模型的概率幾何概型、古典概型、相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率、條件概率是高考的熱點(diǎn)，幾何概型主要以客觀題考查，求解的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)測(cè)度(面積，體積或長(zhǎng)度)；相互獨(dú)立事件，互斥事件常作為解答題的一問(wèn)考查，也是進(jìn)一步求分布列，期望與方差的基礎(chǔ)，求解該類(lèi)問(wèn)題要正確理解題意，準(zhǔn)確判定概率模型，恰當(dāng)選擇概率公式.【例11現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂(lè)活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.(1)求這4個(gè)人中恰有2人去參加

2、甲游戲的概率；(2)求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X,Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記七=|XY|,求隨機(jī)變量七的分布列.解依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為1,去參加乙游戲的概率為2.33設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件A(i=0,1,2,3,4).ei1i24i則p(A)=Ca-.33(1)這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A) = C21222_83327.(2)設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B,則B=A+A，且A3與人互斥，132141.RB)=P(A+A)=P(A)+P(A

3、)=C40X-+C4-3339(3)依題設(shè)，七的所有可能取值為0,2,4.且A1與A3互斥，A與A互斥.8則P(己=0)=P(A2)=27，P(己=2)=P(A+A)=P(A1)+P(A)11 12 33 1 3=C4 33 +C4 3 X2 403=81,P(己=4)=P(A+A)=P(A)+P(A)241C42+CJ133417=8T所以己的分布列是£024P840r17278181【類(lèi)題通法】(1)本題4個(gè)人中參加甲游戲的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),4人中恰有i人1i24一i參加中游又£的概率P=C4-，這是本題求解的關(guān)鍵33(2)解題中常見(jiàn)的錯(cuò)誤是不能分清事件

4、間的關(guān)系，選錯(cuò)概率模型，特別是在第(3)問(wèn)中，不能把己=0,2,4的事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的互斥事件A的概率和.【變式訓(xùn)練】甲、乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一32道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)或不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為431，一一2、一一”,、一E，一乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是設(shè)每人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響，用己表示甲隊(duì)總得分.23(1)求己=2的概率；(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率解(1)己=2,則甲隊(duì)有兩人答對(duì)，一人答錯(cuò)，故P(己=2)=3X2X1-243以+3X1.2x1+1.3X2X1J；43

5、243224'(2)設(shè)甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4為事件A,甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高為事件B.設(shè)乙隊(duì)得分為"，則”B3,3213213211P(E=1)=4x1-3X1-2+1-4X3X1-2+1-4x1-3X=4,=3)3211一乂一乂一=一、4324'12122P(4=1)=G.3,33922214P(4=2)=盤(pán).3'=,339c7238P(4=3)=C33=,327.P(A)=P(己=1)P(4=3)+P(己=2)P(4=2)+P(己=3)P(4=1)1=4"8 .27411 4 1 224*9 + 4*913'121P(AB)=PY=3)七=1)

6、=4乂9=語(yǔ)1所求概率為RBA)=P：/A=*1.P(A)163題型二：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差及應(yīng)用是數(shù)學(xué)高考的一大熱點(diǎn)，每年均有解答題的考查，屬于中檔題.復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用題目的理解與掌握，弄清隨機(jī)變量的所有取值是正確列隨機(jī)變量分布列和求均值與方差的關(guān)鍵，對(duì)概率模型的確定與轉(zhuǎn)化是解題的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的核心，在備考中強(qiáng)化解答題的規(guī)范性訓(xùn)練.【例2】甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為2,乙獲勝的概率為!各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.33(1)求甲在4局以?xún)?nèi)(含4

7、局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解用A表示“甲在4局以?xún)?nèi)(含4局)贏得比賽”，A表示“第k局甲獲勝”，巳表示“第k局乙獲2 1.勝”，則P(A)=q,P(R)=1,k=1,2,3,4,5.3 3(1) P(A)=P(AA)+P(B1AA)+P(A1BA3A)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A)+P(A)P(B2)2 2 56二二381.P(A)P(A4)2212221=3+x3+3*3*(2) X的可能取值為2,3,4,5.5P(X=2)=P(AA)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1),P(B2)="

8、;,9P(X=3)=P(BAA)+P(AB2R)2=P(B)P(AQP(A)+P(A)P(B)P(R)9P(X=4)=P(ABAA)+PBABB)10=P(A)P(P(A)P(A4)+P(Bi)P(A2)P(B)P(B4)=百,818P(X=5)=1P(X=2)P(X=3)P(X=4)=81故X的分布列為E(X)X2345P521089981818 224一二一81815210=2X +3X- + 4X +5X9981【類(lèi)題通法】求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問(wèn)題的一般步驟第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值；第二步：求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率；第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列；第四步：求均值和方

9、差；第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.【變式訓(xùn)練】為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元.求：顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的

10、4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由.解(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X._c1c31依題意，得P(X=60)=豆=2,1即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60兀的概率為2.依題意，得X的所有可能取值為20,60.1C21p(x=60)=2，p(x=20)=2，即X的分布列為X2060P121211所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望為E(X)=20X2+60X2=40(兀).根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對(duì)于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50,50,5

11、0,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理，可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能白方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析：對(duì)于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X,則X的分布列為X2060100P162316X的數(shù)學(xué)期望為E(X1)=20X1+60X2+100X1=60(元),636102o11600X的萬(wàn)差為D(X1)=(2060)2X6+(6060)2X3+(1006

12、0)2X6=對(duì)于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X則K的分布列為X?406080P162316121一%的數(shù)學(xué)期望為E(X)=40X-+60X；+80X-=60(X),636K的方差為D(X)=(4060)2X6+(6060)2X£+(8060)2X6=400由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇萬(wàn)不2.題型三：概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn).主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識(shí)和使用這些圖表是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.復(fù)習(xí)時(shí)要在這些圖表上下工夫，把這些統(tǒng)計(jì)

13、圖表的含義弄清楚，在此基礎(chǔ)上掌握好樣本特征數(shù)的計(jì)數(shù)方法、各類(lèi)概率的計(jì)算方法及數(shù)學(xué)均值與方差的運(yùn)算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21屆世界杯足球賽將于俄羅斯舉行，某大學(xué)為世界杯組委會(huì)招收志愿者，被招收的志愿者需參加筆試和面試，把參加筆試的40名大學(xué)生的成績(jī)分組：第1組75,80),第2組80,85),第3組85,90),第4組90,95),第5組95,100,得到的頻率分布直方圖如圖所示：(1)分別求出成績(jī)?cè)诘?,4,5組的人數(shù)；現(xiàn)決定在筆試成績(jī)較高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6人進(jìn)行面試.已知甲和乙的成績(jī)均在第3組，求甲或乙進(jìn)入面試的概率；若從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接

14、受考官D的面試，設(shè)第4組中有X名學(xué)生被考官D面試，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)由頻率分布直方圖知：第3組的人數(shù)為5XX40=12.第4組的人數(shù)為5XX40=8.第5組的人數(shù)為5XX40=4.(2)利用分層抽樣，在第3組，第4組，第5組中分別抽取3人，2人，1人.設(shè)“甲或乙進(jìn)入第二輪面試”為事件A,則P(A)a5二1-73"=77,C3211'所以甲或乙進(jìn)入第二輪面試的概率為511.X的所有可能取值為0,1,2,c2c48右二詬P( X= 2)C21CT 15.C22p(X=0)=d=5,P(X=1)E(X)2=0X-+1X5所以X的分布列為X012P281515158c1

15、102+2X=一.1515153【類(lèi)題通法】本題將傳統(tǒng)的頻率分布直方圖與分布列、數(shù)學(xué)期望相結(jié)合，立意新穎、構(gòu)思巧妙.求解離散型隨機(jī)變量的期望與頻率分布直方圖交匯題的“兩步曲”：一是看圖說(shuō)話，即看懂頻率分布直方圖中每一個(gè)小矩形面積表示這一組的頻率；二是活用公式，本題中X服從超幾何分布.【變式訓(xùn)練】某公司為了解用戶(hù)對(duì)某產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶(hù)，得到用戶(hù)對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下:A地區(qū)：6278B地區(qū)：739373 81 9286 95 6683 62 5148 65 8195 85 7497 78 8891 46 5374 56 5464 53 7682 76 8973

16、64 8276 65 79(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶(hù)滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值,給出結(jié)論即可)；(2)根據(jù)用戶(hù)滿意度評(píng)分，將用戶(hù)的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí):滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)兩點(diǎn)、丫兩點(diǎn)、非常泓忠記事件C：“A地區(qū)用戶(hù)的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶(hù)的滿意度等級(jí)”.假設(shè)兩地區(qū)用戶(hù)的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率.解(1)兩地區(qū)用戶(hù)滿意度評(píng)分的莖葉圖如下A地區(qū)通過(guò)莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶(hù)滿意度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶(hù)滿意度評(píng)分的平均值;用

17、戶(hù)滿意度評(píng)分比較集中，B地區(qū)用戶(hù)滿意度評(píng)分比較分散.記Ci表示事件：“A地區(qū)用戶(hù)的滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”；C2表示事件：“A地區(qū)用戶(hù)的滿意度等級(jí)為非常滿意”；Cbi表示事件：“B地區(qū)用戶(hù)的滿意度等級(jí)為不滿意”；金表示事件：“B地區(qū)用戶(hù)的滿意度等級(jí)為滿意”，則Ci與Cbi獨(dú)立，CA2與C2獨(dú)立，Cbi與CB2互斥，C=CB1CA1UCB2CA2.P(C)=P(CB1C1UCbCAO=p(CbiCAi)+p(Cb2co=RCbi)P(Ci)+P(Cb2)P(CA0.由所給數(shù)據(jù)得Gi,C2,Gi,CB2發(fā)生的頻率分別為260,24r200,200,即pg)/,p(C2)=2)，P(CBi)10

18、8101684=,P(CB2)=,故P(C)=oX；202020202020題型四：統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式求線性回歸方程，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法，在選擇或填空題中常涉及頻率分布直方圖、莖葉圖及樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、方差)的考查，解答題中也有所考查.【例4】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入x(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料，算得£xi=80,個(gè)a=20,士Xiyi=184,12x2=720.i=1'i=1i=1i=1(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程y=bx+a；(2)判斷變量x與y之間是正相

19、關(guān)還是負(fù)相關(guān)；若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄.AAA.AAA附：線性回歸萬(wàn)程y=bx+a中，b=,a=ybx,其中x,y為樣本平均值.1n80斛由就息知n=10,“涓1xi=q=8,-1120丫=n_又lxx=Ax2-nx2=72010X82=80,n_-lxy=31xiyi-nxy=18410X8X2=24,.A由此得b =ly_24l xx 80a=ybx=2x8=一,故所求線性回歸方程為y=.、一A.（2）由于變重y的值隨x值的增加而增加（b=>0）,故x與y之間是正相關(guān).（3）將x=7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為y=X7=（千元）.【類(lèi)題通法】（1）分析兩個(gè)變量的線性相關(guān)性，可通過(guò)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r來(lái)確定，r的絕對(duì)值越接近于1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，r的絕對(duì)值越接近于0,表