高中數(shù)學概率與統(tǒng)計?？碱}型歸納

1、高中數(shù)學概率與統(tǒng)計(理科)?？碱}型歸納題型一：常見概率模型的概率幾何概型、古典概型、相互獨立事件與互斥事件的概率、條件概率是高考的熱點，幾何概型主要以客觀題考查，求解的關鍵在于找準測度(面積，體積或長度)；相互獨立事件，互斥事件常作為解答題的一問考查，也是進一步求分布列，期望與方差的基礎，求解該類問題要正確理解題意，準確判定概率模型，恰當選擇概率公式.【例11現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.(1)求這4個人中恰有2人去參加

2、甲游戲的概率；(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X,Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記七=|XY|,求隨機變量七的分布列.解依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為1,去參加乙游戲的概率為2.33設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件A(i=0,1,2,3,4).ei1i24i則p(A)=Ca-.33(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A) = C21222_83327.(2)設“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B,則B=A+A，且A3與人互斥，132141.RB)=P(A+A)=P(A)+P(A

3、)=C40X-+C4-3339(3)依題設，七的所有可能取值為0,2,4.且A1與A3互斥，A與A互斥.8則P(己=0)=P(A2)=27，P(己=2)=P(A+A)=P(A1)+P(A)11 12 33 1 3=C4 33 +C4 3 X2 403=81,P(己=4)=P(A+A)=P(A)+P(A)241C42+CJ133417=8T所以己的分布列是£024P840r17278181【類題通法】(1)本題4個人中參加甲游戲的人數(shù)服從二項分布，由獨立重復試驗,4人中恰有i人1i24一i參加中游又£的概率P=C4-，這是本題求解的關鍵33(2)解題中常見的錯誤是不能分清事件

4、間的關系，選錯概率模型，特別是在第(3)問中，不能把己=0,2,4的事件轉(zhuǎn)化為相應的互斥事件A的概率和.【變式訓練】甲、乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一32道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為431，一一2、一一”,、一E，一乙隊每人答對的概率都是設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用己表示甲隊總得分.23(1)求己=2的概率；(2)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率解(1)己=2,則甲隊有兩人答對，一人答錯，故P(己=2)=3X2X1-243以+3X1.2x1+1.3X2X1J；43

5、243224'(2)設甲隊和乙隊得分之和為4為事件A,甲隊比乙隊得分高為事件B.設乙隊得分為"，則”B3,3213213211P(E=1)=4x1-3X1-2+1-4X3X1-2+1-4x1-3X=4,=3)3211一乂一乂一=一、4324'12122P(4=1)=G.3,33922214P(4=2)=盤.3'=,339c7238P(4=3)=C33=,327.P(A)=P(己=1)P(4=3)+P(己=2)P(4=2)+P(己=3)P(4=1)1=4"8 .27411 4 1 224*9 + 4*913'121P(AB)=PY=3)七=1)

6、=4乂9=語1所求概率為RBA)=P：/A=*1.P(A)163題型二：離散型隨機變量的分布列、均值與方差離散型隨機變量及其分布列、均值與方差及應用是數(shù)學高考的一大熱點，每年均有解答題的考查，屬于中檔題.復習中應強化應用題目的理解與掌握，弄清隨機變量的所有取值是正確列隨機變量分布列和求均值與方差的關鍵，對概率模型的確定與轉(zhuǎn)化是解題的基礎，準確計算是解題的核心，在備考中強化解答題的規(guī)范性訓練.【例2】甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽.假設每局甲獲勝的概率為2,乙獲勝的概率為!各局比賽結果相互獨立.33(1)求甲在4局以內(nèi)(含4

7、局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學期望).解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，A表示“第k局甲獲勝”，巳表示“第k局乙獲2 1.勝”，則P(A)=q,P(R)=1,k=1,2,3,4,5.3 3(1) P(A)=P(AA)+P(B1AA)+P(A1BA3A)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A)+P(A)P(B2)2 2 56二二381.P(A)P(A4)2212221=3+x3+3*3*(2) X的可能取值為2,3,4,5.5P(X=2)=P(AA)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1),P(B2)="

8、;,9P(X=3)=P(BAA)+P(AB2R)2=P(B)P(AQP(A)+P(A)P(B)P(R)9P(X=4)=P(ABAA)+PBABB)10=P(A)P(P(A)P(A4)+P(Bi)P(A2)P(B)P(B4)=百,818P(X=5)=1P(X=2)P(X=3)P(X=4)=81故X的分布列為E(X)X2345P521089981818 224一二一81815210=2X +3X- + 4X +5X9981【類題通法】求離散型隨機變量的均值和方差問題的一般步驟第一步：確定隨機變量的所有可能值；第二步：求每一個可能值所對應的概率；第三步：列出離散型隨機變量的分布列；第四步：求均值和方

9、差；第五步：反思回顧.查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范.【變式訓練】為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元.求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望；(2)商場對獎勵總額的預算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的

10、4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由.解(1)設顧客所獲的獎勵額為X._c1c31依題意，得P(X=60)=豆=2,1即顧客所獲的獎勵額為60兀的概率為2.依題意，得X的所有可能取值為20,60.1C21p(x=60)=2，p(x=20)=2，即X的分布列為X2060P121211所以顧客所獲的獎勵額的數(shù)學期望為E(X)=20X2+60X2=40(兀).根據(jù)商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50,50,5

11、0,10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理，可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能白方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1,即方案(10,10,50,50),設顧客所獲的獎勵額為X,則X的分布列為X2060100P162316X的數(shù)學期望為E(X1)=20X1+60X2+100X1=60(元),636102o11600X的萬差為D(X1)=(2060)2X6+(6060)2X3+(1006

12、0)2X6=對于方案2,即方案(20,20,40,40),設顧客所獲的獎勵額為X則K的分布列為X?406080P162316121一%的數(shù)學期望為E(X)=40X-+60X；+80X-=60(X),636K的方差為D(X)=(4060)2X6+(6060)2X£+(8060)2X6=400由于兩種方案的獎勵額的數(shù)學期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應該選擇萬不2.題型三：概率與統(tǒng)計的綜合應用概率與統(tǒng)計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點.主要依托點是統(tǒng)計圖表，正確認識和使用這些圖表是解決問題的關鍵.復習時要在這些圖表上下工夫，把這些統(tǒng)計

13、圖表的含義弄清楚，在此基礎上掌握好樣本特征數(shù)的計數(shù)方法、各類概率的計算方法及數(shù)學均值與方差的運算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21屆世界杯足球賽將于俄羅斯舉行，某大學為世界杯組委會招收志愿者，被招收的志愿者需參加筆試和面試，把參加筆試的40名大學生的成績分組：第1組75,80),第2組80,85),第3組85,90),第4組90,95),第5組95,100,得到的頻率分布直方圖如圖所示：(1)分別求出成績在第3,4,5組的人數(shù)；現(xiàn)決定在筆試成績較高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6人進行面試.已知甲和乙的成績均在第3組，求甲或乙進入面試的概率；若從這6名學生中隨機抽取2名學生接

14、受考官D的面試，設第4組中有X名學生被考官D面試，求X的分布列和數(shù)學期望.解(1)由頻率分布直方圖知：第3組的人數(shù)為5XX40=12.第4組的人數(shù)為5XX40=8.第5組的人數(shù)為5XX40=4.(2)利用分層抽樣，在第3組，第4組，第5組中分別抽取3人，2人，1人.設“甲或乙進入第二輪面試”為事件A,則P(A)a5二1-73"=77,C3211'所以甲或乙進入第二輪面試的概率為511.X的所有可能取值為0,1,2,c2c48右二詬P( X= 2)C21CT 15.C22p(X=0)=d=5,P(X=1)E(X)2=0X-+1X5所以X的分布列為X012P281515158c1

15、102+2X=一.1515153【類題通法】本題將傳統(tǒng)的頻率分布直方圖與分布列、數(shù)學期望相結合，立意新穎、構思巧妙.求解離散型隨機變量的期望與頻率分布直方圖交匯題的“兩步曲”：一是看圖說話，即看懂頻率分布直方圖中每一個小矩形面積表示這一組的頻率；二是活用公式，本題中X服從超幾何分布.【變式訓練】某公司為了解用戶對某產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下:A地區(qū)：6278B地區(qū)：739373 81 9286 95 6683 62 5148 65 8195 85 7497 78 8891 46 5374 56 5464 53 7682 76 8973

16、64 8276 65 79(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,給出結論即可)；(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級:滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級兩點、丫兩點、非常泓忠記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”.假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求C的概率.解(1)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下A地區(qū)通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值;用

17、戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.記Ci表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”；C2表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”；Cbi表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；金表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”，則Ci與Cbi獨立，CA2與C2獨立，Cbi與CB2互斥，C=CB1CA1UCB2CA2.P(C)=P(CB1C1UCbCAO=p(CbiCAi)+p(Cb2co=RCbi)P(Ci)+P(Cb2)P(CA0.由所給數(shù)據(jù)得Gi,C2,Gi,CB2發(fā)生的頻率分別為260,24r200,200,即pg)/,p(C2)=2)，P(CBi)10

18、8101684=,P(CB2)=,故P(C)=oX；202020202020題型四：統(tǒng)計與統(tǒng)計案例能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式求線性回歸方程，了解獨立性檢驗的基本思想、方法，在選擇或填空題中常涉及頻率分布直方圖、莖葉圖及樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、方差)的考查，解答題中也有所考查.【例4】從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入x(單位：千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料，算得£xi=80,個a=20,士Xiyi=184,12x2=720.i=1'i=1i=1i=1(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a；(2)判斷變量x與y之間是正相

19、關還是負相關；若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄.AAA.AAA附：線性回歸萬程y=bx+a中，b=,a=ybx,其中x,y為樣本平均值.1n80斛由就息知n=10,“涓1xi=q=8,-1120丫=n_又lxx=Ax2-nx2=72010X82=80,n_-lxy=31xiyi-nxy=18410X8X2=24,.A由此得b =ly_24l xx 80a=ybx=2x8=一,故所求線性回歸方程為y=.、一A.（2）由于變重y的值隨x值的增加而增加（b=>0）,故x與y之間是正相關.（3）將x=7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y=X7=（千元）.【類題通法】（1）分析兩個變量的線性相關性，可通過計算相關系數(shù)r來確定，r的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關性越強，r的絕對值越接近于0,表