2014屆高中數(shù)學復習知識點：圓錐曲線概念、方法、題型、易誤點技巧總結

1、1.圓錐曲線的兩個定義：（1）第一定義中要重視“括號”內的限制條件：橢圓中，與兩個定點的距離的和等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要大于，當常數(shù)等于時，軌跡是線段，當常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要小于，定義中的“絕對值”與不可忽視。若，則軌跡是以為端點的兩條射線，若，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。比如：已知定點，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是A BC D（答：C）；方程表示的曲線是_（答：雙曲線的左支）（2）第二定義中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即

2、是離心率e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉化。 如已知點及拋物線上一動點P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_（答：2）2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：（1）橢圓：焦點在x軸上時（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點在y軸上時。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，且A，B，C同號，AB）。比如：已知方程表示橢圓，則k的取值范圍為_（答：）；（2）雙曲線：焦點在x軸上：，焦點在y軸上：。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC0，且A，B異號）。比如：雙

3、曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_（答：）；（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答：）（2）雙曲線：由項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點、的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)a,b，確定橢圓、雙

4、曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，a最大，在雙曲線中，c最大，。4.圓錐曲線的幾何性質：（1）橢圓（以為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸x=0,y=0，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2a，短軸長為2b；準線：兩條準線； 離心率：，橢圓，e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。 比如：若橢圓的離心率，則m的值是_（答：3或）；（2）雙曲線（以為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸x=0,y=0，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2a，虛軸長為2b，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，

5、稱為等軸雙曲線，其方程可設為；準線：兩條準線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，e越小，開口越小，e越大，開口越大；兩條漸近線：。 比如：雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于_（答：或）；（3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點：一個焦點，其中p的幾何意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸y=0，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準線：一條準線； 離心率：，拋物線。如設，則拋物線的焦點坐標為_（答：）；5、點和橢圓的關系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上；（3）點在橢圓內6直線與圓錐曲線的位置關系：（1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與

6、雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。比如：若直線y=kx+2與雙曲線的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_（答：）；（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙

7、曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。比如：過點(2,4)作直線與拋物線

8、只有一個公共點，這樣的直線有_（答：2）；對于拋物線C：，我們稱滿足的點在拋物線的內部，若點在拋物線的內部，則直線：與拋物線C的位置關系是_（答：相離）； 求橢圓上的點到直線的最短距離（答：）；要學習網,只做中學生最喜歡、最實用的學習論壇，地址 手機版地址 7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉化到相應準線的距離，即焦半徑r=ed，其中d表示P到與F所對應的準線的距離。比如：已知橢圓上一點P到橢圓左焦點的距離為3，則點P到右準線的距離為_（答：）；橢圓內有一點p(1,-1)，F(xiàn)為右焦點，在橢圓上有一點M，使之值最小，則點M的坐標為_（答：）8、焦點三

9、角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，則在橢圓中， ，且當即P為短軸端點時，最大為；，當即P為短軸端點時，的最大值為bc；對于雙曲線的焦點三角形有：；。比如：短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為，過作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為_（答：6）；9、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設AB為焦點弦， M為準線與x軸的交點，則AMFBMF；（3）設AB為焦點弦，A、B在準線上的射影分別為，若P為的中點，則PAPB；（4）若AO的延長線

10、交準線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，則A，O，C三點共線。10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則，若弦AB所在直線方程設為，則。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。比如：過拋物線焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=10，O為坐標原點，則ABC重心的橫坐標為_（答：3）；11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率；在雙曲線中，

11、以為中點的弦所在直線的斜率；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率。 比如：如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是（答：）；12你了解下列結論嗎？（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為（為參數(shù)，0）。（3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為，焦準距（焦點到相應準線的距離）為，拋物線的通徑為2p，焦準距為p；（5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；（6）若拋物線的焦點弦為AB，則；（7）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經過定點(

12、2p,0)13動點軌跡方程： （1）求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍； （2）求軌跡方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立x,y之間的關系F(x,y)=0； 如已知動點P到定點F(1,0)和直線x=3的距離之和等于4，求P的軌跡方程（答：或）；待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。 如線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0）(m0)，端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為（答：）；要學習網,只做中學生最喜歡、最實用的學習論壇，地址 手機版地址 定義法：先根據(jù)條件得

13、出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程； 如點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是_ （答：）；代入轉移法：動點P(x,y)依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用x,y的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程； 如動點P是拋物線上任一點，定點為A(0,-1),點M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_（答：）； 參數(shù)法：當動點P(x,y)坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x,y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。 如若點在圓上運動，則點的軌跡方程是_（答：）； 注意

14、：如果問題中涉及到平面向量知識，那么應從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化，還是選擇向量的代數(shù)形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化。如已知橢圓的左、右焦點分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段與該橢圓的交點，點T在線段上，并且滿足（1）設x為點P的橫坐標，證明；（2）求點T的軌跡C的方程；（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由. （答：（1）略；（2）；（3）當時不存在；當時存在，此時F1MF22）曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌

15、跡方程時應注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數(shù)形結合(如角平分線的雙重身份對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等.如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應用“斜率或向量”為橋梁轉化.14、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內容：（1） 給出直線的方向向量；（2）給出與AB相交,等于已知過AB的中點;（3）給出,等于已知P是MN的中點;（4）給出,等于已知P,Q與AB的中點三點共線; （5） 給出以下情形之一：；存在實數(shù)；若存在實數(shù),等于已知A,B,C三點共線 （6） 給出，等于已知P是的定比分點，為定比，即 （7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角。 （8）給出,等于已知MP是的平分線; （9）在平行四邊形ABCD中，給出，等于已知ABCD是菱形; （10） 在平行四邊形ABCD中，給出，等于已知ABCD是矩形; （11）在ABC中，給出，等于已知O