高中數(shù)學數(shù)列的概念與簡單表示法學案新人教A版必修

1、§2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法材拓展1 .從函數(shù)的觀點看數(shù)列一方而，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問題時，要善于利用函數(shù)的知識、函數(shù)的觀點、函數(shù)的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題.例如，類比單調函數(shù)的定義得出單調數(shù)列的判斷方法.即：數(shù)列4單調遞增=a=）生.對任意n（n£M）都成立：數(shù)列QJ單調遞減0而為對任意aGcN）都成立.例如：己知=另一方面，還要注意數(shù)列的特殊性（離散型），由于它的定義域是M或它的子集1,2,川，因而它的圖象是一系列孤立的點，而不像我們前面所研究過的初等函數(shù)一般都是連續(xù)的曲線.則這個數(shù)列的前30項中最大項和最小項分別是（）n-A/993

2、1939Ao，一展+J99-J98，點（m力）在函數(shù)y=V99-V98-v-/99+ 1的圖象上.在直角坐標系中作出函數(shù)'=言請+1的圖象.由圖象易知當x£（0,強）時，函數(shù)單調遞減./.4<a：<a<1,當x£（相，+8）時，函數(shù)單調遞減.310>511：古0>1所以，數(shù)列QJ的前30項中最大的項是須，最小的項是以答案c2. 了解一點周期數(shù)列的知識類比周期函數(shù)的概念可以得出周期數(shù)列的定義：對于數(shù)列QJ,若存在一個大于1的自然數(shù)7(7為常數(shù))，使&，=為,對一切/ISM恒成立，則稱數(shù)列&為周期數(shù)列，7就是它的一個周期.易

3、知，若7是4的一個周期，則H(ACN)也是它的周期，周期最小的那個值叫最小正周期.-1例如：己知數(shù)列QJ中，a,=a(a為正常數(shù))，=(h=l,2,3,)，則下列能十1使捻=&的a的數(shù)值是()A.15B.16C.17D.18-解析&=a,”二=以十,_一-al丁+11-1-13'主+1-a-,a，a-1-1砥=-1=中，a=色，含=比，依次類推可得：a2=小，4為周期數(shù)列，周期為3.<*=a,/卜2=a=&答案B3 .數(shù)列的前a項和夕與a的關系對所有數(shù)列都有：2=備+土+4$+烝，£一1=鼻+充+&1(422).因此，當2時，有：捻=S&

4、#163;當n=1時，有：=S,所以djjS?的關系為：捻=S,/?=1、.注意這一關系適用于所有數(shù)列.SSiG2例如：己知數(shù)列QJ的前項和£=(-1)-2”+1,貝Ija產(chǎn).解析當A=1時，5i=Si=L當n22時，a=£-S-=(n-l)2fl+l-U-2)21+1=U-1)2-G2)2E=n21所以通項公式可以統(tǒng)一為a=n2廠'.答案4 .由簡單的遞推公式求通項公式(1)形如飛1一4=，(),且f(l)+f(2)+F(向可求和,采用累加法求小即：&=盤+(全一國)+(上交)+(必-HlJ=z+f(l)+f(2)+£(/?1)ir-1=z+&#

5、163;f(。i-i(2)形如&，尸f34,且fF(2)fG)可化簡,采用累乘法求品充小區(qū),.fl-X即a=a：>-=a：f(l)f(2)FIf(f)a：a2a-i1(注：£為連加求和符號，n為連乘求積符號)(3)形如%-=力圓十萬(的聲0且月Wl).設“小一才=月(施一x),則：升為+(1-月)*由(1一月)x=5,=（1一尸）旦+4&1A一、觀察法寫數(shù)列的通項公式方法鏈接：根據(jù)數(shù)列前幾項，要寫出它的一個通項公式，其關鍵在于觀察、分析數(shù)列的前幾項的特征、特點，找到數(shù)列的一個構成規(guī)律.根據(jù)此規(guī)律便可寫出一個相應的通項公式.注意以下幾點：(1)為了突出顯現(xiàn)數(shù)列的構

6、成規(guī)律，可把序號1,2,3,標在相應項上，這樣便于突出第A項區(qū)與項數(shù)A的關系，即4如何用表示.(2)由于給出的數(shù)列的前幾項是一些特殊值，必然進行了化簡，因此我們要觀察出它的構成規(guī)律，就必須要對它進行還原工作.如數(shù)列的前幾項中均用分數(shù)表示，但其中有幾項分子或分母相同，不妨把這幾項的分子或分母都統(tǒng)一起來試一試.(3)當一個數(shù)列出現(xiàn)“+”、“一”相間時，應先把符號分離出來，即用(一1尸或(一1尸一1表示，然后再考慮各項絕對值的規(guī)律.(4)熟記一些基本數(shù)列的前幾項以及它們的變化規(guī)律(如增減速度)，有利于我們寫出它的通項公式.1一個通項公式：,N 1 4 2于亍IT T -(3)1, 3,6,10,15

7、, 根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的,、1925(2)亍 2, 5，8,;(4)7,77,777,:(5)0, 3, 8,15, 24, (6) L1V 13f 214444解(1)注意前四項中有兩項的分子為4,不妨把分子統(tǒng)一為4,即為.婷77,0O11144于是它們的分母相差3,因而有a=不把分母統(tǒng)一為2,則有:1 4 9 16 2529 5' 29 工'T，因而有注意6=2X3,10=2X5,15=3X5,規(guī)律還不明顯，再把各項的分子和分母都乘以2,1X2 2X3 3X4 4X5T"' 29 29 25X6T-因而有口=一n+12(4)把各項除以7,得1

8、,11,111,，再乘以9,得9,99,999，.7因而有=-(101).(5)觀察數(shù)列遞增速度較快，有點像成平方地遞增，不妨用平方數(shù)列對照看一看，即1,2:,3:435%,則有取=必一L(6)顯然各項的分子均為1,其關鍵在于分母，而分母的規(guī)律不是很明顯，注意到分母組成的數(shù)列1,3,7,13,21,，遞增速度也有點像平方數(shù)列，不妨從每一項對應減去平方數(shù)列的項組成數(shù)列0,1,2,3,4,，其規(guī)律也就明顯了.如1故屬尸產(chǎn)行？二、數(shù)列的單調性及最值方法鏈接：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此可用函數(shù)的單調性的研究方法來研究數(shù)列的單調性.例2在數(shù)列QJ中，a=（刀+1）怖6£10.試問數(shù)列QJ的最大

9、項是第幾項？解方法一（aCN）,，a»+LA=（a+2）（當）"（a+1）（當）=（臥右當時，&&遞增，即士a3甌,Z|a=9時,由=a0.當210時，&a匕，a遞減，即&0的如.1O10乂由=盤。=115.數(shù)列/的最大項是第9項和第10項.方法二令士21G22）,整理得小然.解得后1。令三21,及卜4即RF整理得，解得G9.A十411所以從第1項到第9項遞增，從第10項起遞減.因此數(shù)列QJ先遞增，后遞減.二2（七Y39，、口1O102。如2二,旦小=%。=五？.數(shù)列QJ中的最大項是第9項和第10項.三、數(shù)列的周期性及運用方法鏈接：通俗地講，

10、數(shù)列中的項按一定規(guī)律重復出現(xiàn)，這樣的數(shù)列就應考慮是否具有周期性，其周期性往往隱藏于數(shù)列的遞推公式中，解周期數(shù)列問題的關鍵在于利用遞推公式算出前若干項或由遞推公式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出周期而獲解.3己知數(shù)列aJ,5i=1h=3.i*G123）,那么充°,。與So”依次是（）A.1,3B.3,1C.2,2D.2,2解析a尸&T- sin1=&?&r=（a啟-二）-&r=-'a二II&，*=1/.aR»6=a,3="（-a.J=& 4為周期數(shù)列，且周期7=6. 比010-&6=土a：-SLz"2./.2+

11、充+小+團+叁+恁=（a+ai）+（正+屈）+（央+.）=0+04-0=0,且2010是6的倍數(shù)， *S二oio=0. S：009=Szoxo-a：oxo=0-a：oio=0-（2）=2.答案C四、已知前A項和£，求通項4方法鏈接：已知數(shù)列QJ的前項和S,求a，先由n=l時，備=£,求出2,再由&=£一$,（刀22）求出小，最后驗證盤與施能否統(tǒng)一，若能統(tǒng)一要統(tǒng)一成一個代數(shù)式，否則分段表示.例已知下列各數(shù)列QJ的前n項和2的公4式，求&的通項公式.(1)2=(-1)"'m(2)$=3。一2.解(1)當=1時，鼻=£=1；當

12、時，a»=-S»5r-i=(l)a(n)(l)a*(n1)=(-1)'(2n+l).由于a：也適合此等式，因此4=(一1尸(-2a+1)(£").(2)與n=1時，a：=SI=1；當時，4=S-St=235'.1n=l23”1后2.五、由遞推公式求通項為方法鏈接：由遞推公式求通項公式主要觀察遞推公式的特征，合理選擇方法需要理解一點，對為-G22）不僅僅是一個式子而是對任意的）22恒成立的無數(shù)個式子，正是因為這一點，在己知遞推公式求通項公式的題目中如何將無數(shù)個式子轉化為為，就是解題的關鍵所在.另外遞推公式具有遞推性，故由為再加上遞推公式可以

13、遞推到5由下列數(shù)列的遞推公式求數(shù)列a的通項公式：2=1,七一41=A(G2)：/、aA1/一、(2)a=l,=G>2)1h解(1)由題意得，當n22時，七一a&La二=/2-1,，一上=3,正一由=2.將上述各式累加得，一ai=h+(72-1)+3+2,即&=a+(a-1)+3+2+1=，乙由于2也適合此等式.una+1故屬尸-.由題意得,當a，2時，為a-1ann-2史_2生aRin'a"n-Va：3'a：2'將上述各式累乘得，-=i即=±nn由于2也適合此等式，故a=1n六、數(shù)列在日常生活中的初步應用方法鏈接：數(shù)列知識在日常

14、生活中有著廣泛的應用.構建遞推關系是其中重要的方法之一，利用遞推方法解決實際問題常分為三個環(huán)節(jié)：（1）求初始值：（2）建立遞推關系；（3）利用遞推關系分析解決問題.其中構建遞推關系是關鍵.6某商店的櫥窗里按照下圖的方式擺著第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”，如圖、（2）、（3）、（4）分別有1個、5個、13個、25個.如果按照同樣的方式接著擺下去，記第a個圖需用f。）個“福娃迎迎”，那么An+l）-f（n）=；/（6）=.解析Vf(l)=l,f(2)=5,K3)=析,4)=25,/.£(2)-Al)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,/.f(血+1)f(n)=

15、4a.:.f(6)=f(l)+jf(2)/(I)+A3)f(2)+/(4)jf(3)+/(5)f(4)+f(6)f=1+4+8+12+16+20=61.答案4n61區(qū)突破1.對數(shù)列的概念理解不準而致錯1 已知數(shù)列屆是遞增數(shù)列，且對于任意的a£N，升=步+4/2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.錯解因為a=力+是關于的二次函數(shù)，且所以一方W1,解得422 .點撥數(shù)列是以正整數(shù)M(或它的有限子集1,2,，6)為定義域的函數(shù)，因此它的圖象只是一些孤立的點.正解1因為4=/+4功其圖象的對稱軸為=一，由數(shù)列QJ是單調遞增數(shù)列有一得2：如圖所示，當2(一丹一日一1,即1>一3時，數(shù)列QJ也是

16、單調遞增的.故乂的取值范圍為，4>-2U3r>3=川/>一3.即4一3為所求的范圍.正解2因為數(shù)列含是單調遞增數(shù)列，所以a4>0(n£N*)恒成立.又品=力+4a(n£N*),所以3+1尸+A(jj+1)所+4a)>0恒成立,即2n+H-DO.所以a>-(2n+l)(a£N)恒成立.而h£N*時，一(2n+l)的最大值為一3(a=1時)，所以4>一3即為所求的范圍.!溫豪山評利用函數(shù)觀點研究數(shù)列性質時，一定要注意:數(shù)列定義域是2,3,4,，小或其子集這一特殊，性，防止因獷大定義域而出錯，2.對公式使用條件考慮不周

17、而致錯2已知數(shù)列尾的前n項和為£=3'+2口+1,求錯解&=£一£-=(3fl+2n+l)-31+2(n-l)+l=23”&+2.%n=l點撥公式區(qū)=是分段的，因為n=l時，S一無意義.在上5一£-G2述解答中，應加上限制條件n，2,然后驗證a=1時的值是否適合時的表達式.正解a=£=6：口22時，牛=£一£-1=(3"+2+1)3”7+2(刀-1)+1=235'+2.由于/不適合此式,所以231+2n=l422溫馨點評因為在藪列I%）中1%戶。這樣的符號是沒：有任何意義的,因此Q=

18、5-5|僅適用于/1/2時求:區(qū)第一項4要利用叼:51單獨求解,若能統(tǒng)一妾統(tǒng)一T:I否則妥分段寫出，i3也多解例設QJ是首項為1的正項數(shù)列且（a+1）h：,l遍+61a=0（a£N*）,求力.分析先求出相鄰兩項4-與4的關系，再選擇適當?shù)姆椒ㄇ鬄?解方法二（累變法）由（n+1）蘇門/2五+&.”：&=0得（2匕+&）（/?r-n+&）=0.由于4,1+a0,（a+1）H"1?&=0.含11n&n+T%33盤az193=1X.XX,X.X4&nrn-11二T=Z,方法二（換元法）由已知得（a+1）a-/2a=0,設b尸血,則6小一4=0.8是常數(shù)列.'6啟=6=1義&=19I'P/2&r=L；Ea=.n賞析1.（2009北京）已知數(shù)列QJ滿足:a