高中數(shù)學(xué)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法學(xué)案新人教A版必修

1、§2.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法材拓展1 .從函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列一方而，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要善于利用函數(shù)的知識(shí)、函數(shù)的觀點(diǎn)、函數(shù)的思想方法來(lái)解題，即用共性來(lái)解決特殊問(wèn)題.例如，類比單調(diào)函數(shù)的定義得出單調(diào)數(shù)列的判斷方法.即：數(shù)列4單調(diào)遞增=a=）生.對(duì)任意n（n£M）都成立：數(shù)列QJ單調(diào)遞減0而為對(duì)任意aGcN）都成立.例如：己知=另一方面，還要注意數(shù)列的特殊性（離散型），由于它的定義域是M或它的子集1,2,川，因而它的圖象是一系列孤立的點(diǎn)，而不像我們前面所研究過(guò)的初等函數(shù)一般都是連續(xù)的曲線.則這個(gè)數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是（）n-A/993

2、1939Ao，一展+J99-J98，點(diǎn)（m力）在函數(shù)y=V99-V98-v-/99+ 1的圖象上.在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)'=言請(qǐng)+1的圖象.由圖象易知當(dāng)x£（0,強(qiáng)）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減./.4<a：<a<1,當(dāng)x£（相，+8）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.310>511：古0>1所以，數(shù)列QJ的前30項(xiàng)中最大的項(xiàng)是須，最小的項(xiàng)是以答案c2. 了解一點(diǎn)周期數(shù)列的知識(shí)類比周期函數(shù)的概念可以得出周期數(shù)列的定義：對(duì)于數(shù)列QJ,若存在一個(gè)大于1的自然數(shù)7(7為常數(shù))，使&，=為,對(duì)一切/ISM恒成立，則稱數(shù)列&為周期數(shù)列，7就是它的一個(gè)周期.易

3、知，若7是4的一個(gè)周期，則H(ACN)也是它的周期，周期最小的那個(gè)值叫最小正周期.-1例如：己知數(shù)列QJ中，a,=a(a為正常數(shù))，=(h=l,2,3,)，則下列能十1使捻=&的a的數(shù)值是()A.15B.16C.17D.18-解析&=a,”二=以十,_一-al丁+11-1-13'主+1-a-,a，a-1-1砥=-1=中，a=色，含=比，依次類推可得：a2=小，4為周期數(shù)列，周期為3.<*=a,/卜2=a=&答案B3 .數(shù)列的前a項(xiàng)和夕與a的關(guān)系對(duì)所有數(shù)列都有：2=備+土+4$+烝，£一1=鼻+充+&1(422).因此，當(dāng)2時(shí)，有：捻=S&

4、#163;當(dāng)n=1時(shí)，有：=S,所以djjS?的關(guān)系為：捻=S,/?=1、.注意這一關(guān)系適用于所有數(shù)列.SSiG2例如：己知數(shù)列QJ的前項(xiàng)和£=(-1)-2”+1,貝Ija產(chǎn).解析當(dāng)A=1時(shí)，5i=Si=L當(dāng)n22時(shí)，a=£-S-=(n-l)2fl+l-U-2)21+1=U-1)2-G2)2E=n21所以通項(xiàng)公式可以統(tǒng)一為a=n2廠'.答案4 .由簡(jiǎn)單的遞推公式求通項(xiàng)公式(1)形如飛1一4=，(),且f(l)+f(2)+F(向可求和,采用累加法求小即：&=盤+(全一國(guó))+(上交)+(必-HlJ=z+f(l)+f(2)+£(/?1)ir-1=z+&#

5、163;f(。i-i(2)形如&，尸f34,且fF(2)fG)可化簡(jiǎn),采用累乘法求品充小區(qū),.fl-X即a=a：>-=a：f(l)f(2)FIf(f)a：a2a-i1(注：£為連加求和符號(hào)，n為連乘求積符號(hào))(3)形如%-=力圓十萬(wàn)(的聲0且月Wl).設(shè)“小一才=月(施一x),則：升為+(1-月)*由(1一月)x=5,=（1一尸）旦+4&1A一、觀察法寫數(shù)列的通項(xiàng)公式方法鏈接：根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)，要寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式，其關(guān)鍵在于觀察、分析數(shù)列的前幾項(xiàng)的特征、特點(diǎn)，找到數(shù)列的一個(gè)構(gòu)成規(guī)律.根據(jù)此規(guī)律便可寫出一個(gè)相應(yīng)的通項(xiàng)公式.注意以下幾點(diǎn)：(1)為了突出顯現(xiàn)數(shù)列的構(gòu)

6、成規(guī)律，可把序號(hào)1,2,3,標(biāo)在相應(yīng)項(xiàng)上，這樣便于突出第A項(xiàng)區(qū)與項(xiàng)數(shù)A的關(guān)系，即4如何用表示.(2)由于給出的數(shù)列的前幾項(xiàng)是一些特殊值，必然進(jìn)行了化簡(jiǎn)，因此我們要觀察出它的構(gòu)成規(guī)律，就必須要對(duì)它進(jìn)行還原工作.如數(shù)列的前幾項(xiàng)中均用分?jǐn)?shù)表示，但其中有幾項(xiàng)分子或分母相同，不妨把這幾項(xiàng)的分子或分母都統(tǒng)一起來(lái)試一試.(3)當(dāng)一個(gè)數(shù)列出現(xiàn)“+”、“一”相間時(shí)，應(yīng)先把符號(hào)分離出來(lái)，即用(一1尸或(一1尸一1表示，然后再考慮各項(xiàng)絕對(duì)值的規(guī)律.(4)熟記一些基本數(shù)列的前幾項(xiàng)以及它們的變化規(guī)律(如增減速度)，有利于我們寫出它的通項(xiàng)公式.1一個(gè)通項(xiàng)公式：,N 1 4 2于亍IT T -(3)1, 3,6,10,15

7、, 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的,、1925(2)亍 2, 5，8,;(4)7,77,777,:(5)0, 3, 8,15, 24, (6) L1V 13f 214444解(1)注意前四項(xiàng)中有兩項(xiàng)的分子為4,不妨把分子統(tǒng)一為4,即為.婷77,0O11144于是它們的分母相差3,因而有a=不把分母統(tǒng)一為2,則有:1 4 9 16 2529 5' 29 工'T，因而有注意6=2X3,10=2X5,15=3X5,規(guī)律還不明顯，再把各項(xiàng)的分子和分母都乘以2,1X2 2X3 3X4 4X5T"' 29 29 25X6T-因而有口=一n+12(4)把各項(xiàng)除以7,得1

8、,11,111,，再乘以9,得9,99,999，.7因而有=-(101).(5)觀察數(shù)列遞增速度較快，有點(diǎn)像成平方地遞增，不妨用平方數(shù)列對(duì)照看一看，即1,2:,3:435%,則有取=必一L(6)顯然各項(xiàng)的分子均為1,其關(guān)鍵在于分母，而分母的規(guī)律不是很明顯，注意到分母組成的數(shù)列1,3,7,13,21,，遞增速度也有點(diǎn)像平方數(shù)列，不妨從每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)減去平方數(shù)列的項(xiàng)組成數(shù)列0,1,2,3,4,，其規(guī)律也就明顯了.如1故屬尸產(chǎn)行？二、數(shù)列的單調(diào)性及最值方法鏈接：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此可用函數(shù)的單調(diào)性的研究方法來(lái)研究數(shù)列的單調(diào)性.例2在數(shù)列QJ中，a=（刀+1）怖6£10.試問(wèn)數(shù)列QJ的最大

9、項(xiàng)是第幾項(xiàng)？解方法一（aCN）,，a»+LA=（a+2）（當(dāng)）"（a+1）（當(dāng)）=（臥右當(dāng)時(shí)，&&遞增，即士a3甌,Z|a=9時(shí),由=a0.當(dāng)210時(shí)，&a匕，a遞減，即&0的如.1O10乂由=盤。=115.數(shù)列/的最大項(xiàng)是第9項(xiàng)和第10項(xiàng).方法二令士21G22）,整理得小然.解得后1。令三21,及卜4即RF整理得，解得G9.A十411所以從第1項(xiàng)到第9項(xiàng)遞增，從第10項(xiàng)起遞減.因此數(shù)列QJ先遞增，后遞減.二2（七Y39，、口1O102。如2二,旦小=%。=五？.數(shù)列QJ中的最大項(xiàng)是第9項(xiàng)和第10項(xiàng).三、數(shù)列的周期性及運(yùn)用方法鏈接：通俗地講，

10、數(shù)列中的項(xiàng)按一定規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)，這樣的數(shù)列就應(yīng)考慮是否具有周期性，其周期性往往隱藏于數(shù)列的遞推公式中，解周期數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵在于利用遞推公式算出前若干項(xiàng)或由遞推公式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出周期而獲解.3己知數(shù)列aJ,5i=1h=3.i*G123）,那么充°,。與So”依次是（）A.1,3B.3,1C.2,2D.2,2解析a尸&T- sin1=&?&r=（a啟-二）-&r=-'a二II&，*=1/.aR»6=a,3="（-a.J=& 4為周期數(shù)列，且周期7=6. 比010-&6=土a：-SLz"2./.2+

11、充+小+團(tuán)+叁+恁=（a+ai）+（正+屈）+（央+.）=0+04-0=0,且2010是6的倍數(shù)， *S二oio=0. S：009=Szoxo-a：oxo=0-a：oio=0-（2）=2.答案C四、已知前A項(xiàng)和£，求通項(xiàng)4方法鏈接：已知數(shù)列QJ的前項(xiàng)和S,求a，先由n=l時(shí)，備=£,求出2,再由&=£一$,（刀22）求出小，最后驗(yàn)證盤與施能否統(tǒng)一，若能統(tǒng)一要統(tǒng)一成一個(gè)代數(shù)式，否則分段表示.例已知下列各數(shù)列QJ的前n項(xiàng)和2的公4式，求&的通項(xiàng)公式.(1)2=(-1)"'m(2)$=3。一2.解(1)當(dāng)=1時(shí)，鼻=£=1；當(dāng)

12、時(shí)，a»=-S»5r-i=(l)a(n)(l)a*(n1)=(-1)'(2n+l).由于a：也適合此等式，因此4=(一1尸(-2a+1)(£").(2)與n=1時(shí)，a：=SI=1；當(dāng)時(shí)，4=S-St=235'.1n=l23”1后2.五、由遞推公式求通項(xiàng)為方法鏈接：由遞推公式求通項(xiàng)公式主要觀察遞推公式的特征，合理選擇方法需要理解一點(diǎn)，對(duì)為-G22）不僅僅是一個(gè)式子而是對(duì)任意的）22恒成立的無(wú)數(shù)個(gè)式子，正是因?yàn)檫@一點(diǎn)，在己知遞推公式求通項(xiàng)公式的題目中如何將無(wú)數(shù)個(gè)式子轉(zhuǎn)化為為，就是解題的關(guān)鍵所在.另外遞推公式具有遞推性，故由為再加上遞推公式可以

13、遞推到5由下列數(shù)列的遞推公式求數(shù)列a的通項(xiàng)公式：2=1,七一41=A(G2)：/、aA1/一、(2)a=l,=G>2)1h解(1)由題意得，當(dāng)n22時(shí)，七一a&La二=/2-1,，一上=3,正一由=2.將上述各式累加得，一ai=h+(72-1)+3+2,即&=a+(a-1)+3+2+1=，乙由于2也適合此等式.una+1故屬尸-.由題意得,當(dāng)a，2時(shí)，為a-1ann-2史_2生aRin'a"n-Va：3'a：2'將上述各式累乘得，-=i即=±nn由于2也適合此等式，故a=1n六、數(shù)列在日常生活中的初步應(yīng)用方法鏈接：數(shù)列知識(shí)在日常

14、生活中有著廣泛的應(yīng)用.構(gòu)建遞推關(guān)系是其中重要的方法之一，利用遞推方法解決實(shí)際問(wèn)題常分為三個(gè)環(huán)節(jié)：（1）求初始值：（2）建立遞推關(guān)系；（3）利用遞推關(guān)系分析解決問(wèn)題.其中構(gòu)建遞推關(guān)系是關(guān)鍵.6某商店的櫥窗里按照下圖的方式擺著第二十九屆北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃迎迎”，如圖、（2）、（3）、（4）分別有1個(gè)、5個(gè)、13個(gè)、25個(gè).如果按照同樣的方式接著擺下去，記第a個(gè)圖需用f。）個(gè)“福娃迎迎”，那么An+l）-f（n）=；/（6）=.解析Vf(l)=l,f(2)=5,K3)=析,4)=25,/.£(2)-Al)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,/.f(血+1)f(n)=

15、4a.:.f(6)=f(l)+jf(2)/(I)+A3)f(2)+/(4)jf(3)+/(5)f(4)+f(6)f=1+4+8+12+16+20=61.答案4n61區(qū)突破1.對(duì)數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)而致錯(cuò)1 已知數(shù)列屆是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的a£N，升=步+4/2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.錯(cuò)解因?yàn)閍=力+是關(guān)于的二次函數(shù)，且所以一方W1,解得422 .點(diǎn)撥數(shù)列是以正整數(shù)M(或它的有限子集1,2,，6)為定義域的函數(shù)，因此它的圖象只是一些孤立的點(diǎn).正解1因?yàn)?=/+4功其圖象的對(duì)稱軸為=一，由數(shù)列QJ是單調(diào)遞增數(shù)列有一得2：如圖所示，當(dāng)2(一丹一日一1,即1>一3時(shí)，數(shù)列QJ也是

16、單調(diào)遞增的.故乂的取值范圍為，4>-2U3r>3=川/>一3.即4一3為所求的范圍.正解2因?yàn)閿?shù)列含是單調(diào)遞增數(shù)列，所以a4>0(n£N*)恒成立.又品=力+4a(n£N*),所以3+1尸+A(jj+1)所+4a)>0恒成立,即2n+H-DO.所以a>-(2n+l)(a£N)恒成立.而h£N*時(shí)，一(2n+l)的最大值為一3(a=1時(shí))，所以4>一3即為所求的范圍.!溫豪山評(píng)利用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列性質(zhì)時(shí)，一定要注意:數(shù)列定義域是2,3,4,，小或其子集這一特殊，性，防止因獷大定義域而出錯(cuò)，2.對(duì)公式使用條件考慮不周

17、而致錯(cuò)2已知數(shù)列尾的前n項(xiàng)和為£=3'+2口+1,求錯(cuò)解&=£一£-=(3fl+2n+l)-31+2(n-l)+l=23”&+2.%n=l點(diǎn)撥公式區(qū)=是分段的，因?yàn)閚=l時(shí)，S一無(wú)意義.在上5一£-G2述解答中，應(yīng)加上限制條件n，2,然后驗(yàn)證a=1時(shí)的值是否適合時(shí)的表達(dá)式.正解a=£=6：口22時(shí)，牛=£一£-1=(3"+2+1)3”7+2(刀-1)+1=235'+2.由于/不適合此式,所以231+2n=l422溫馨點(diǎn)評(píng)因?yàn)樵谒捔蠭%）中1%戶。這樣的符號(hào)是沒(méi)：有任何意義的,因此Q=

18、5-5|僅適用于/1/2時(shí)求:區(qū)第一項(xiàng)4要利用叼:51單獨(dú)求解,若能統(tǒng)一妾統(tǒng)一T:I否則妥分段寫出，i3也多解例設(shè)QJ是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列且（a+1）h：,l遍+61a=0（a£N*）,求力.分析先求出相鄰兩項(xiàng)4-與4的關(guān)系，再選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ鬄?解方法二（累變法）由（n+1）蘇門/2五+&.”：&=0得（2匕+&）（/?r-n+&）=0.由于4,1+a0,（a+1）H"1?&=0.含11n&n+T%33盤az193=1X.XX,X.X4&nrn-11二T=Z,方法二（換元法）由已知得（a+1）a-/2a=0,設(shè)b尸血,則6小一4=0.8是常數(shù)列.'6啟=6=1義&=19I'P/2&r=L；Ea=.n賞析1.（2009北京）已知數(shù)列QJ滿足:a