自動(dòng)控制拉氏變換-文檔資料

1、1第一節(jié)第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程第二章第二章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖第四節(jié)第四節(jié) 反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第五節(jié)第五節(jié) 數(shù)學(xué)模型的建立與化簡(jiǎn)舉例數(shù)學(xué)模型的建立與化簡(jiǎn)舉例 2 引言引言 工程的最終目的是建造工程的最終目的是建造實(shí)際的物理系統(tǒng)實(shí)際的物理系統(tǒng)以完成某些以完成某些規(guī)定的任務(wù)規(guī)定的任務(wù), ,而用控制理論分析、設(shè)計(jì)一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)而用控制理論分析、設(shè)計(jì)一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng), ,首先需要建立首先需要建立實(shí)際物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型實(shí)際物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 實(shí)際系統(tǒng)實(shí)際系統(tǒng) 物理

2、模型物理模型 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 理想化的簡(jiǎn)化假設(shè)的理想化的簡(jiǎn)化假設(shè)的目的目的是為于便于分析設(shè)計(jì)是為于便于分析設(shè)計(jì), ,但這將但這將影響模型的精度影響模型的精度, ,所以必須在模型的簡(jiǎn)單性及分析結(jié)果的精所以必須在模型的簡(jiǎn)單性及分析結(jié)果的精確性之間折衷。確性之間折衷。 建模過程建模過程實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上是對(duì)控制系統(tǒng)是對(duì)控制系統(tǒng), ,首先是對(duì)被控對(duì)象調(diào)查首先是對(duì)被控對(duì)象調(diào)查研究的過程研究的過程, ,只有通過對(duì)系統(tǒng)的仔細(xì)調(diào)研忽略掉一些非本質(zhì)只有通過對(duì)系統(tǒng)的仔細(xì)調(diào)研忽略掉一些非本質(zhì)因素，才能建立起既簡(jiǎn)單又能反映實(shí)際物理過程的模型。因素，才能建立起既簡(jiǎn)單又能反映實(shí)際物理過程的模型。一、為什么要建模一、為什么要建

3、模?簡(jiǎn)化系統(tǒng)的假設(shè)簡(jiǎn)化系統(tǒng)的假設(shè)數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)描述3二、系統(tǒng)建模的兩種基本方法二、系統(tǒng)建模的兩種基本方法（1）解析法：根據(jù)系統(tǒng)所遵循的）解析法：根據(jù)系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)物理規(guī)律律，經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，求出數(shù)學(xué)模型；，經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，求出數(shù)學(xué)模型；（2）實(shí)驗(yàn)法：在系統(tǒng)的輸入端加上一定的）實(shí)驗(yàn)法：在系統(tǒng)的輸入端加上一定的測(cè)試信號(hào)，通過試驗(yàn)測(cè)試出系統(tǒng)的輸出信測(cè)試信號(hào)，通過試驗(yàn)測(cè)試出系統(tǒng)的輸出信號(hào)，再根據(jù)輸入、輸出特性確定數(shù)學(xué)模型。號(hào)，再根據(jù)輸入、輸出特性確定數(shù)學(xué)模型。三、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的種類三、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的種類微分方程、傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖、微分方程、傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖、頻率特性、差分方程、狀態(tài)方程頻率特性、

4、差分方程、狀態(tài)方程常用的有：常用的有：4第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、一、 建立微分方程的一般步驟建立微分方程的一般步驟二、二、 常見環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的微分方程的建立常見環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的微分方程的建立三、三、 拉普拉斯變換基本知識(shí)拉普拉斯變換基本知識(shí)四、四、 線性微分方程式的求解線性微分方程式的求解5（1） 確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量。確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量。一、 建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟 一個(gè)系統(tǒng)通常是由一些環(huán)節(jié)連接而成一個(gè)系統(tǒng)通常是由一些環(huán)節(jié)連接而成的，將系統(tǒng)中的每個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程求出的

5、，將系統(tǒng)中的每個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程求出來來 ，便可求出整個(gè)系統(tǒng)的微分方程。，便可求出整個(gè)系統(tǒng)的微分方程。列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟：列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟： 根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律，分根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律，分別列寫出相應(yīng)的微分方程，并構(gòu)成微分方別列寫出相應(yīng)的微分方程，并構(gòu)成微分方程組。程組。（2） 建立初始微分方程組。建立初始微分方程組。 將與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程式等號(hào)右邊將與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程式等號(hào)右邊，與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫在等號(hào)的左邊。若是，與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫在等號(hào)的左邊。若是線性方程，方程左右兩邊導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按線性方程，方程左右兩邊導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列降冪排列（3）消除中間變

6、量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化。）消除中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化。6ucur1 RC電路電路+-uruc+-CiR輸入量：輸入量：輸出量：輸出量：（1） 確定輸入確定輸入 量和輸出量量和輸出量（2） 建立初始微建立初始微 分方程組分方程組（3）消除中間變量，）消除中間變量， 使式子標(biāo)準(zhǔn)化使式子標(biāo)準(zhǔn)化RC電路是一階常系電路是一階常系數(shù)線性微分方程。數(shù)線性微分方程。ur= Ri + uci = CducdtRCducdt+ uc= ur73/20/2022第二講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（1）7 在電工電子系統(tǒng)中，通常研究在電工電子系統(tǒng)中，通常研究電壓與電流之間的電壓與電流之間的因果關(guān)系。因果關(guān)系。 組成電工電子系統(tǒng)的基

7、本元件有：組成電工電子系統(tǒng)的基本元件有：電阻、電感、電阻、電感、電容和運(yùn)算放大器等電容和運(yùn)算放大器等。 電阻將電能轉(zhuǎn)化為熱能消耗掉，電感通過磁場(chǎng)儲(chǔ)電阻將電能轉(zhuǎn)化為熱能消耗掉，電感通過磁場(chǎng)儲(chǔ)能，電容通過電場(chǎng)儲(chǔ)能，運(yùn)算放大器則通過與電能，電容通過電場(chǎng)儲(chǔ)能，運(yùn)算放大器則通過與電阻、電容、電感等組成不同的電路拓?fù)?，?shí)現(xiàn)對(duì)阻、電容、電感等組成不同的電路拓?fù)洌瑢?shí)現(xiàn)對(duì)電壓和電流的變換。電壓和電流的變換。 82機(jī)械位移系統(tǒng)機(jī)械位移系統(tǒng)系統(tǒng)組成：系統(tǒng)組成：質(zhì)量質(zhì)量彈簧彈簧阻尼器阻尼器輸入量輸入量彈簧系數(shù)彈簧系數(shù)km阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)fF(t) 輸出量輸出量y(t) 初始微分方程組初始微分方程組:F = maF(t

8、) FB(t) FK(t) = ma根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律9中間變量關(guān)系式中間變量關(guān)系式:FB(t) = fdy(t)dtFK(t) = k y(t)a =d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ ky(t) = F(t)+消除中間變量得消除中間變量得:103/20/2022 在機(jī)械系統(tǒng)中，通常研究在機(jī)械系統(tǒng)中，通常研究力（或轉(zhuǎn)矩）與位移力（或轉(zhuǎn)矩）與位移（或角位移）（或角位移）的因果關(guān)系。的因果關(guān)系。 組成機(jī)械系統(tǒng)的基本元件有：組成機(jī)械系統(tǒng)的基本元件有：彈簧（或彈性彈簧（或彈性軸）、阻尼器和運(yùn)動(dòng)部件軸）、阻尼器和運(yùn)動(dòng)部件。 阻尼器是一種產(chǎn)生粘性摩擦阻力裝置，所產(chǎn)生阻

9、尼器是一種產(chǎn)生粘性摩擦阻力裝置，所產(chǎn)生的阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比。阻尼器不儲(chǔ)存能量，的阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比。阻尼器不儲(chǔ)存能量，它將動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能消耗掉。它將動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能消耗掉。 11 系統(tǒng)微分方程由系統(tǒng)微分方程由輸出量各階導(dǎo)數(shù)輸出量各階導(dǎo)數(shù)和和輸入量各輸入量各階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)以及系統(tǒng)的一些參數(shù)構(gòu)成。以及系統(tǒng)的一些參數(shù)構(gòu)成。系統(tǒng)微分方程的一般表達(dá)式為：系統(tǒng)微分方程的一般表達(dá)式為：+dtm+bmr(t) = b0dm-1r(t)dtm-1 b1+dmr(t) +dr(t)dtbm-1anc(t)+ dnc(t)dtna0 +dn-1c(t)dt n-1a1+dc(t)dt an-1+解線性定常微分方程的

10、方法：解線性定常微分方程的方法：l經(jīng)典法經(jīng)典法( (微積分方法微積分方法) )l拉氏變換法拉氏變換法(Laplace)(Laplace)12 拉氏變換法解微分方程的步驟：拉氏變換法解微分方程的步驟： 由代數(shù)方程解出輸出量的由代數(shù)方程解出輸出量的拉氏變換表達(dá)式拉氏變換表達(dá)式。 對(duì)微分方程中的每一項(xiàng)取對(duì)微分方程中的每一項(xiàng)取拉氏變換拉氏變換( (要考慮初始條件要考慮初始條件), ), 得到一組包含拉氏算子得到一組包含拉氏算子 的的代數(shù)方程代數(shù)方程；s 求輸出量的求輸出量的拉氏反變換拉氏反變換，即得到所求結(jié)果。，即得到所求結(jié)果。13三、三、 拉普拉斯變換基本知識(shí)拉普拉斯變換基本知識(shí)1. 拉普拉斯變換定

11、義拉普拉斯變換定義dtetfst0)(對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)f（t），），t為實(shí)變量，如果線性積分為實(shí)變量，如果線性積分 存在，則稱其為函數(shù)存在，則稱其為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換，簡(jiǎn)的拉普拉斯變換，簡(jiǎn)稱拉氏變換，記作稱拉氏變換，記作F(s)或或Lf(t),即即j（s為復(fù)變量為復(fù)變量 ）0)()()(sFdtetftfLst14單位階躍單位階躍：2 2、幾種常見函數(shù)的拉氏變換、幾種常見函數(shù)的拉氏變換 0 t10 t0t1 s110s1es1dte1t1L0st0st15單位斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù))0(0)0()( 1)(ttttttf200110)( 1)( 1sdtesestdtettttLstst

12、sttf（t）16指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)0 te0 t0) t (fatas1) 10(as1eas1 dtedtee)t ( f L0t )as (0tasst0at17 正弦函數(shù)：正弦函數(shù)：0t tsin0 t 0) t (f22220t)js(0t)js(0)tjs()tj-(s-st0tjtj0stss2j2j1 js1js12j1 ejs1ejs12j1 dtee2j1 dteee2j1 dtetsin) t(fL183. 拉氏變換的基本法則拉氏變換的基本法則（1）線性性質(zhì)）線性性質(zhì)設(shè)設(shè))()(11tfLsF)()(22tfLsFa和和b為常數(shù)，則有為常數(shù)，則有)()()()()()(21

13、2121sbFsaFtfbLtfaLtbftafL其他一些常見函數(shù)的拉氏變換值可查閱拉氏其他一些常見函數(shù)的拉氏變換值可查閱拉氏變換表（變換表（P173）（2）微分法則）微分法則設(shè)設(shè)，則有，則有)()(tfLsF)0()()(fssFdttdfL19)0()0()()(222fsfsFsdttfdL)0()0()0()()()1(21nnnnnnffsfssFsdttfdL 式中式中)0()0()0()1(nfff，為函數(shù)為函數(shù)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值。時(shí)的值。零初始條件下有零初始條件下有)()(sFsdttfdLnnn 20（3）積分法則）積分法則設(shè)設(shè)，則有，則有)()

14、(tfLsF 式中式中為函數(shù)為函數(shù)f(t)的各重積分在的各重積分在t=0時(shí)的值，如果時(shí)的值，如果)0(1)(1)()1(0fssFsdttfLt)0(1)0(1)(1)()2()1(222fsfssFsdttfL)0(1)0(1)(1)()1(nnnnnfsfssFsdttfL)0()0()0()()2()1(nfff，21則積分法則化簡(jiǎn)為則積分法則化簡(jiǎn)為 0)0()0()0()()2()1(nfff)(1)(0sFsdttfLt)(1)(22sFsdttfL)(1)(sFsdttfLnnn22（3）終值定理）終值定理 若函數(shù)若函數(shù)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s)，且，且F(s)在在s

15、平面的右半面及除原點(diǎn)外的虛軸上解析，平面的右半面及除原點(diǎn)外的虛軸上解析，則有終值則有終值)()(limlim0ssFtfst（4）位移定理）位移定理 設(shè)設(shè)F(s)=Lf(t)，則有，則有)()(00sFetfLs)()(asFtfeLat分別為實(shí)域中的位移定理和復(fù)域中的位移定理分別為實(shí)域中的位移定理和復(fù)域中的位移定理234. 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換的定義已經(jīng)給出，拉普拉斯反變換的定義已經(jīng)給出，即即)()(21)(1tfdsesFjsFLjjst 此積分很難直接計(jì)算。因此，求此積分很難直接計(jì)算。因此，求f(t)一般用一般用部分分式法：先將部分分式法：先將F(s)分解成一些簡(jiǎn)單

16、的有理分解成一些簡(jiǎn)單的有理分式函數(shù)之和，然后由拉式變換表一一查出對(duì)分式函數(shù)之和，然后由拉式變換表一一查出對(duì)應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù)應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù)f(t)。24F(s)的一般式為的一般式為nnnnmmmmasasasbsbsbsbsAsBsF1111110)()()(式中式中mnbbbaaa，；，1021均為實(shí)數(shù)，均為實(shí)數(shù)，m、n為為 正數(shù)，且正數(shù)，且mn。首先將首先將A(s)因式分解，即寫為因式分解，即寫為)()()(21nsssssssA然后將然后將F(s) 寫成寫成n個(gè)部分分式之和，即個(gè)部分分式之和，即25nniissCssCssCssCsF2211)( 通過待定

17、系數(shù)法求出通過待定系數(shù)法求出Ci，則由拉氏變換，則由拉氏變換表即可查得表即可查得F(s)的反變換的反變換tsniiniiiieCssCLtfsFL1111)()(26如果所有的初始條件均為零，則微分方程的如果所有的初始條件均為零，則微分方程的拉氏變換可以簡(jiǎn)單地通過用以下代換而得到：拉氏變換可以簡(jiǎn)單地通過用以下代換而得到： 利用拉氏變換求解微分方程，有以下幾個(gè)明顯利用拉氏變換求解微分方程，有以下幾個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)：的優(yōu)點(diǎn)：第第3講將對(duì)復(fù)雜微分方程的求解，轉(zhuǎn)化成對(duì)簡(jiǎn)單代數(shù)將對(duì)復(fù)雜微分方程的求解，轉(zhuǎn)化成對(duì)簡(jiǎn)單代數(shù)方程的求解；方程的求解；sdtd2s22dtd求得的解是完整的，初始條件包含在拉氏變換求得的

18、解是完整的，初始條件包含在拉氏變換中，不必另行確定積分常數(shù)；中，不必另行確定積分常數(shù)；27)()(limsFssCixxii例 求F（s）的反變換342)(2ssssF解：將F（s）分解為部分分式，則31)3)(1(2)(21sCsCssssF21)3)(1(2) 1(lim11ssssCx21)3)(1(2)3(lim32ssssCx 321121sssF進(jìn)行反變換，求得原函數(shù)tteetF32121)(28例2 求F(s)的反變換3455)(22sssssF3421)(2ssssF解：tteettf32121)()(29四、四、 線性微分方程式的求解線性微分方程式的求解拉氏變換求解線性常微分方程的步驟是：拉氏變換求解線性常微分方程的步驟是：（1）將微分方程進(jìn)行拉氏變換，求出以）將微分方程進(jìn)行拉氏變換，求出以s為為變量的變換方程，又稱象方程。變量的變換方程，又稱象方程。（2） 解象方程，求出輸出量的象函數(shù)。解象方程，求出輸出量的象函數(shù)。（3）對(duì)象函數(shù)進(jìn)行反變換，求出微分方程的）對(duì)象函數(shù)進(jìn)行反變換，求出微分方程的解。解。30線性微分方線性微分方程（程（t t）代數(shù)方程（代數(shù)方程（s s）代數(shù)方程的代數(shù)方程的解（解（s s）線性微分方程線性微分方程的解（的解（t t）拉氏變