概率論的起源及公理化

1、概率論的起源及公理化概率論起源于博奕問題15至16世紀意大利數(shù)學(xué)家帕喬利、塔塔利亞和卡爾丹的著作中曾討論過“如果兩人賭博提前結(jié)束 ,該如何分配賭金等概率問題1654年左右 ,費馬與帕斯卡在一系列通信中討論類似的合理分配賭金的問題 ,并用組合的方法給出了正確的解答他們的通信引起了荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯C.Huygens ,16291695的興趣惠更斯在1657年發(fā)表了?論賭博中的計算? ,這本書成為了最早的概率論著作這些數(shù)學(xué)家的著述中所出現(xiàn)的第一批概率論概念如數(shù)學(xué)期望與定理如概率加法、乘法定理 ,標志著概率論的誕生一般認為 ,概率論作為一門獨立的數(shù)學(xué)分支 ,其真正的奠基人是雅各布?伯努利.他在遺著?猜

2、想術(shù)?中首次提出了后來以“伯努利定理著稱的極限定理：假設(shè)在一系列獨立試驗中 ,事件A發(fā)生的概率為常數(shù)且等于p ,那么對任意0以及充分大的試驗次數(shù)n,有P|m/n-p|1-(為任意小的正數(shù)) ,其中m為n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)伯努利定理刻畫了大量經(jīng)驗觀測中頻率呈現(xiàn)的穩(wěn)定性 ,作為大數(shù)定律的最早形式而在概率論開展史上占有重要地位伯努利之后 ,棣莫弗A.De.Moivre ,16671754、蒲豐G.L.L.Buffon ,17071788、拉普拉斯、高斯和泊松等對概率論做出了進一步的奠基性的奉獻其中棣莫弗和高斯各自獨立地引進了正態(tài)分布 ,蒲豐提出了投針問題和幾何概率 ,泊松陳述了泊松大數(shù)定律特別

3、是拉普拉斯1812年出版的?概率的分析理論? ,以強有力的分析工具處理概率論的根本內(nèi)容 ,使以往零散的結(jié)果系統(tǒng)化 ,實現(xiàn)了從組合技巧向分析方法的過渡 ,開辟了概率論開展的新時期正是在這部書里 ,拉普拉斯給出了概率的古典定義：事件A的概率P(A)等于一次試驗中有利于事件A的可能的結(jié)果數(shù)與該試驗中所有可能的結(jié)果數(shù)之比19世紀后期 ,極限理論的開展成為概率論研究的中心課題 ,俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫在這方面做出了重要奉獻 ,他在1866年建立了關(guān)于隨機變量序列的大數(shù)定律 ,使伯努利定理和泊松大數(shù)定律成為其特例切比雪夫還將棣莫弗拉普拉斯極限定理推廣為更一般的中心極限定理 ,他的成果后來被他的學(xué)生馬爾可夫等發(fā)

4、揚光大19世紀末 ,概率論在統(tǒng)計物理等領(lǐng)域的應(yīng)用提出了對概率論根本概念與原理進行解釋的需要同時 ,科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的一些概率論悖論也揭示出古典概率論中根本概念存在的矛盾與模糊之處1899年法國學(xué)者貝特朗提出了著名的“貝特朗悖論：在半徑為r的圓內(nèi)隨機選擇弦 ,計算弦長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率根據(jù)“隨機選擇的不同意義 ,可以得到不同答案1如圖,考慮與某確定方向平行的弦 ,那么弦心距小于r2的弦長大于圓內(nèi)接正三角形邊長 ,大于圓內(nèi)接正三角形邊長的弦的中點的軌跡的長度為r ,是直徑的一半 ,所求概率為1/2；2如圖,考慮從圓上某固定點P引出的弦 ,那么所求概率為1/3；3如圖,隨機的意義理解為：弦的中

5、點落在圓的某個局部的概率與該局部的面積成正比 ,因為長度大于圓內(nèi)接正三角形邊長的弦的中點落在半徑為r2的同心圓內(nèi) ,因此所求概率為1/4這類悖論說明概率的概念是以某種確定的實驗為前提的 ,這種試驗有時由問題本身所明確規(guī)定 ,有時那么不然.這些悖論的矛頭直指概率概念本身 ,特別地 ,拉普拉斯的古典概率定義開始受到猛烈批評此時 ,無論是概率論的實際應(yīng)用還是其自身開展 ,都要求對概率論的邏輯根底作出更嚴格的考察俄國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦和奧地利數(shù)學(xué)家馮?米西斯最早嘗試對概率論進行嚴格化 ,他們都提出一些公理來作為概率論的前提 ,但他們的公理理論都是不完善的作為測度論的奠基人 ,法國數(shù)學(xué)家博雷爾首先將測度論方

6、法引入概率論重要問題的研究 ,他的工作激起了數(shù)學(xué)家們沿這一嶄新的方向的一系列探索 ,其中尤以前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫的研究最為卓著從20世紀20年代中期起 ,科爾莫戈羅夫就開始從測度論途徑探討整個概率論理論的嚴格表述 ,其結(jié)果是1933年以德文出版的經(jīng)典著作?概率論根底?.他在這部著作中建立起集合測度與事件概率的類比、積分與數(shù)學(xué)期望的類比、函數(shù)正交性與隨機變量獨立性的類比等等 ,這種廣泛的類比終于賦予了概率論以演繹數(shù)學(xué)的特征科爾莫戈羅夫公理化概率論中的第一個根本概念 ,是所謂的“根本領(lǐng)件集合?奔偕杞?行某種試驗 ,這種試驗在理論上應(yīng)該允許任意次重復(fù)進行 ,每次試驗都有一定的、依賴于時機的結(jié)果

7、,所有可能結(jié)果的總體形成一個集合空間E ,就稱之為根本領(lǐng)件集合E的任意子集 ,即由可能的結(jié)果事件組成的任意集合 ,被稱為隨機事件在科爾莫戈羅夫的公理化理論中 ,對于所考慮的每一個隨機事件 ,都有一個確定的非負實數(shù)與之對應(yīng) ,這個數(shù)就叫作該事件的概率要練說 ,得練聽。聽是說的前提 ,聽得準確 ,才有條件正確模仿 ,才能不斷地掌握高一級水平的語言。我在教學(xué)中 ,注意聽說結(jié)合 ,訓(xùn)練幼兒聽的能力 ,課堂上 ,我特別重視教師的語言 ,我對幼兒說話 ,注意聲音清楚 ,上下起伏 ,抑揚有致 ,富有吸引力 ,這樣能引起幼兒的注意。當我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時 ,就隨時表揚那些靜聽的幼兒 ,或是讓他重復(fù)

8、別人說過的內(nèi)容 ,抓住教育時機 ,要求他們專心聽 ,用心記。平時我還通過各種趣味活動 ,培養(yǎng)幼兒邊聽邊記 ,邊聽邊想 ,邊聽邊說的能力 ,如聽詞對詞 ,聽詞句說意思 ,聽句子辯正誤 ,聽故事講述故事 ,聽謎語猜謎底 ,聽智力故事 ,動腦筋 ,出主意 ,聽兒歌上句 ,接兒歌下句等 ,這樣幼兒學(xué)得生動活潑 ,輕松愉快 ,既訓(xùn)練了聽的能力 ,強化了記憶 ,又開展了思維 ,為說打下了根底。科爾莫戈羅夫提出了6條公理 ,整個概率論大廈可以從這6條公理出發(fā)建筑起來.科爾莫戈羅夫的公理體系逐漸獲得了數(shù)學(xué)家們的普遍成認由于公理化 ,概率論成為一門嚴格的演繹科學(xué) ,取得了與其他數(shù)學(xué)分支同等的地位 ,并通過集合論與其他數(shù)學(xué)分支密切地聯(lián)系著語文課本中的文章都是精選的比擬優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對提高學(xué)生的水平會大有裨益?，F(xiàn)在,不少語文教師在分析課文時,把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果教師費力,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒過幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的為難局面的關(guān)鍵就是對文章讀的不熟。常言道“書讀百遍,其義自見,如果有目的、有方案地引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀課文