線性代數3方陣的行列式

1、補充補充 行列式行列式預備知識預備知識 二階行列式二階行列式一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入二、三階行列式二、三階行列式三、小節(jié)、思考題三、小節(jié)、思考題用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxa

2、aaa ）（時，時，當當021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程組的四個系數確定由方程組的四個系數確定. 由四個數排成二行二列（橫排稱行、豎排由四個數排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的矩陣：稱列）的矩陣：)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階為為矩矩陣陣（稱稱表表達達式式 .2112221122211211aaaaaaaaD即即11a12a22a12a主對角線主對角線

3、副對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計算二階行列式的計算若記若記,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa對于二元線性方程組對于二元線性方程組系數行列式系數行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxax

4、a.2211112babaD 則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為,2221121122212111aaaaababDDx注意注意 分母都為原方程組的系數行列式分母都為原方程組的系數行列式.2221121122111122aaaababaDDx . 12,12232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組解解1223D)4(3 , 07 112121D,14 121232D,21 DDx11, 2714 DDx22. 3721 行列式行列式第二節(jié)第二節(jié) n 階行列式的展開公式階行列式的展開公式n一 、階 行 列 式 、 余 子 式 和 代 數 余 子 式的的展展開開法法則則二

5、二、行行列列式式按按行行（列列）三、小節(jié)、思考題三、小節(jié)、思考題一、余子式與代數余子式一、余子式與代數余子式1定義定義階行列式階行列式對對 nnnnjninijinjaaaaaaaaa111111在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，ijjiijMA 1記記叫做元素叫做元素 的的代數余子式代數余子式ija例如對例如對,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 444

6、24134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA ,23M .23的的代代數數余余子子式式叫叫做做元元素素 a注意：注意：只只與與該該元元素素所所處處位位置置一一個個元元素素的的代代數數余余子子式式多少無關！多少無關！相關；而與該元素等于相關；而與該元素等于亦亦即即仍仍有有代代數數余余子子式式仍仍然然不不變變！，它它的的的的值值換換成成比比如如上上例例中中，即即便便把把3323aa2323MA ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 12211

7、21MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .個個代代數數余余子子式式對對應應著著一一個個余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每個個元元素素分分別別二、二、n階行列式的定義階行列式的定義定義定義階方陣階方陣對任意對任意n,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA用記號用記號nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 相相聯(lián)聯(lián)系系表表示示一一個個與與矩矩陣陣 A,的數或表達式的數或表達式)det(AAA或或記記為為的的行行列列式式為為常常稱稱定理定理1 1 n n 行列式等于它的任一行（列）的各

8、元行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即素與其對應的代數余子式乘積之和，即 nkikikininiiiiAaAaAaAa12211 ni, 2 , 1 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211行列式按行（列）展開法則行列式按行（列）展開法則列列展展開開：階階行行列列式式也也可可以以按按第第事事實實上上，in ni, 2 , 1 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nkkjkjnjnjjjjjAaAaAaAa12211例例 1 計算行列式計算行列式277010353D解解2701) 1(311D.272106 按第一行展開，得按第

9、一行展開，得2700)1()5(21 7710)1(331 注意到第二行零元素較多，按第二行展開，得注意到第二行零元素較多，按第二行展開，得23222102733)1)(1(0AAD.270270 0532000140003202527102135D例例2 計算行列式計算行列式解解0532000140003202527102135D 53200140032021351252 14325)10( .700)122(50 5320140325)2( 53200140032021351252 1. 行列式按行（列）展開法則是把高階行列行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重

10、要工具式的計算化為低階行列式計算的重要工具. 三、小結三、小結112212.niiiiininikikkDa Aa Aa Aa A ni, 2 , 1 nkkjkjnjnjjjjjAaAaAaAa12211的行、列！的行、列！建議挑選含零最多建議挑選含零最多在按行、按列展開時，在按行、按列展開時，. 3作業(yè)作業(yè)P34：1（2）(4)（6）（）（8）行列式行列式第三節(jié)第三節(jié) 行列式的性質行列式的性質一、行列式的性質一、行列式的性質二二、應應用用舉舉例例三、小節(jié)、思考題三、小節(jié)、思考題一、行列式的性質一、行列式的性質 行列式與它的轉置行列式相等即，行列式與它的轉置行列式相等即，行列式行列式 稱為行

11、列式稱為行列式 的轉置行列式的轉置行列式. TAA記記 TAnnaaa22112121nnaaannaaa2112 Annaaa2211nnaaa21122121nnaaa,.AAT 證明證明 TAnnaaa22112121nnaaannaaa2112納納法法證證明明，對對行行列列式式的的階階數數進進行行歸歸然然有有對對一一階階行行列列式式而而言言，顯顯成立；成立；1111aaT 行展開，有行展開，有，按第一，按第一時結論成立，則對時結論成立，則對現假設對階數為現假設對階數為TAn1 1121211111nnAaAaAa ，按第一列展開，有，按第一列展開，有而對而對 A niiiiMa1111

12、)1( Annaaa2211nnaaa21122121nnaaaTnnTTAaAaAa1121211111 .1), 2, 1(11式式階行列階行列，且它們均為，且它們均為轉置余子式轉置余子式對應的對應的中的余子式中的余子式表示與行列式表示與行列式其中，其中， nniMAMiTTi于于是是，由由歸歸納納假假設設，知知), 2, 1(11niMMiTi 進進而而，得得.AAT 證畢證畢 niTiiiMa1111)1(說明說明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立.性質性質2 2 如果行列

13、式中有兩行（列）完全相同，則如果行列式中有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. .法法，還還可可證證得得類類似似地地，利利用用數數學學歸歸納納性質性質3 3 如果行列式中某一行（列）元素是兩組數如果行列式中某一行（列）元素是兩組數的和，那么這個行列式就等于兩個新行列式的和，的和，那么這個行列式就等于兩個新行列式的和，而這兩個行列式除這一行（列）外全與原行列式而這兩個行列式除這一行（列）外全與原行列式對應的行（列）相同，即對應的行（列）相同，即1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaa則則D等于下列兩個行列式之和：等于下列

14、兩個行列式之和：111111112122212211ininininnninnnninnaaaaaaaaaaaaDaaaaaa例如例如nii ,21 ni ,21 ni ,21 nii 1ni 1 ni 1 或或（對對列列），有有.（列列）展展開開即即可可行行邊邊的的行行列列式式都都按按第第事事實實上上，只只要要對對等等號號兩兩i為為記成分塊矩陣形式，即記成分塊矩陣形式，即 （行列式的（行列式的“初等變換初等變換”）若將初等行）若將初等行（列）變換用于（列）變換用于 n n 階行列式：階行列式： 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數乘以同一數 ，等于用

15、數，等于用數 乘此行列式乘此行列式. . nnnniniinaaaaaaaaa212111211 nnnniniinaaaaaaaaa212111211 .行行展展開開即即得得按按第第事事實實上上，等等號號兩兩端端同同時時i（2）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數一數 k 然后加到另一列然后加到另一列(行行)對應的元素上去，行列對應的元素上去，行列式的值不變式的值不變11111212221ijnijnnninjnnaaaaaaaaaaaa1111112122221()()( )()ijjnijjnjinninjnjnnaakaaaaakaaackaak

16、aaa k例如例如從等號右端從等號右端看，利用性看，利用性質質3、性質、性質4的（的（1）及性）及性質質2即得等號即得等號左端。左端。 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. .設行列式寫成分塊形式，則設行列式寫成分塊形式，則njiA ,1 njjicji ,1)1( nijicij ,1)1( nijcji ,1)1( Bnij ,1,571571 266853.825825 361567567361266853例例如如，有有某一行（列）元素全為零的某一行（列）元素全為零的行列式等于零行列式等于零若有兩行（列）元素對應成比例，則若有兩行（列）元素對應成比例，

17、則行列行列式等于零，即式等于零，即nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 對對 n 階行列式及數階行列式及數 k,有有 AkkAn 階行列式階行列式已知已知例例52mB 5701033555680122244412111.4544AA 試試求求代代數數余余子子式式之之和和行行展展開開，得得按按行行列列式式的的第第解解4)1(335554544434241mAAAAA ，即得，即得式作乘積之和，由性質式作乘積之和，由性質行對應元素的代數余子行對應元素的代數余子行與第行與第再用

18、行列式的第再用行列式的第542)2(0224444544434241 AAAAA兩式，兩式，、聯(lián)立聯(lián)立)2()1()1(335554544434241mAAAAA )2(0224444544434241 AAAAA x4 y2 02435yxmyx即即解解得得.1124544myAA 應用舉例應用舉例計算行列式常用方法一計算行列式常用方法一：利用運算讓行列：利用運算讓行列式中出現更多的式中出現更多的0，然后按行或列展開得行列式的，然后按行或列展開得行列式的值值或者在此過程當中適當使用其它性質以簡化或者在此過程當中適當使用其它性質以簡化計算。計算。)(krij例例1 計算計算4階行列式階行列式3

19、112513420111533D3112513420111533D03550100131111115 對對解解于是于是工作量相對較小工作量相對較小化為零的化為零的，所以將該行其它元素，所以將該行其它元素行有行有考慮到第考慮到第,03 231 c) 1 (34cD0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 )1(12r.解畢解畢階行列式階行列式計算含字母計算含字母例例441111baaccbbacacbcbaA 解解1000211)1()1(2334 baaccbacbcbaArr按第按第4行行展開展開1000211)1()1(2334 acaccb

20、acbcbaArrbaaccbacbcba baaccbaaccbacbcbacc )(2)1()1(2131baaccbaaccbacbcbacc )(2)1()1(2131cbabaccabccbcbarr2200)1()2(1213 cbabaccabccba22)( abccba3333 按第按第1列列展開展開.解畢解畢例例62101044614753124025973313211D求計算行列式常用方法計算行列式常用方法：對具體的行列式，利用運：對具體的行列式，利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值得行列式的值或者在此過程當中適當使用

21、其它或者在此過程當中適當使用其它性質以簡化計算。性質以簡化計算。)(krij2101044614753124025973313211D3 解解2101044614753124022010013211)3(12 r2101044614753140202010013211 2 3 )2(12 r 4 2101044614753124022010013211 2101044614753140202010013211 3 4 2220035120140202010013211 )4(15 r)3(14 r24r2220020100140203512013211 22200351201402020100

22、13211 2 千萬要注千萬要注意意“行列行列式交換兩式交換兩行，符號行，符號要改變要改變. ”6200020100211003512013211 )1(23r 2220020100140203512013211 2 )2(45r6200001000211003512013211 612 )1(34r.12 6200020100211003512013211 2 0上三角行列式上三角行列式.5的的行行列列式式等等于于零零證證明明奇奇數數階階反反對對稱稱矩矩陣陣例例證明：證明：知，知，再由性質，再由性質知，知，又由性質，又由性質得得是奇數，則由是奇數，則由階反對稱矩陣，階反對稱矩陣，是是設設31

23、,AAAAAAnnATTT 即即得得,)1(AAn AAn)1( 是是奇奇數數，故故必必有有而而nAA 即即. 0 A性質性質5 5 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即).(, 02211jiAaAaAajninjiji ,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 證證行展開，有行展開，有按第按第把行列式把行列式jA,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 行行

24、第第 j行行第第 i,時時所以當所以當ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同關于代數余子式的重要性質關于代數余子式的重要性質 ;,0,1kikiAAanjkjij當當當當 ;,0,1kikiAAaniikij當當當當由此即得由此即得性質性質6 6 設設 L L 是有如下分塊形式的是有如下分塊形式的 ( ( n + p n + p ) ) 階階矩陣：矩陣： ppnnBCOAL則有則有BAL 是方陣時，當然也成立是方陣時，當然也成立，當，當由性質由性質BA,1BABOCAUppnn 推推論論是是同同階階方方陣

25、陣，則則有有若若BA,BAAB 矩陣乘積的行列矩陣乘積的行列式等于行列式的式等于行列式的乘積！乘積！例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 設設,11111kkkkaaaaD ,11112nnnnbbbbD .21DDD 證明證明證明證明;0111111kkkkkpppppD 設為設為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，可把，可把作運算作運算對對11)(DkrDij化為下三角形行列式化為下三角形行列式可把可把作運算作運算對對22),(DkcDij.0111112nnnnnqqpqqD 設為設為,01111111111nnnnknkkkkqqqc

26、cccpppD 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把列作運算列作運算，再對后，再對后行作運算行作運算的前的前對對DkcnkrkDijij),()(nnkkqqppD1111 故故.21DD (行列式中行與列具有同行列式中行與列具有同等的地位等的地位,行列式的性質凡是對行成立的對列也行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立同樣成立). 計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義;(2)利用利用性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值列式的值三、小結三、小結行列式的行列式的6個性質個性質 作業(yè)作業(yè) P35-37 4（1，3

27、，5） 5（1，2） 6（1，2，3，4，5） 7（1） 8（1，2）第二章第二章 行列式行列式第四節(jié)第四節(jié) 行列式的計算行列式的計算常常見見方方法法一一、行行列列式式計計算算的的幾幾種種二、小節(jié)、思考題二、小節(jié)、思考題：行列式計算的方法行列式計算的方法換換”的的、利利用用行行列列式式“初初等等變變1“降降階階法法?！薄? “遞遞推推法法。”、3“歸歸納納法法?！?、4“升升階階法法。”質質”的的、利利用用行行列列式式“加加法法性性6“拆拆邊邊法法?！?、5 “分分塊塊矩矩陣陣法法?！鼻蠼庑辛惺角蠼庑辛惺嚼?9333333333233331D，所所列列元元素素全全為為行行、第第注注意意到到行行列

28、列式式的的第第解解333再再行行觀觀察察，倍倍加加到到其其余余各各列列上上去去，列列的的以以可可以以用用第第)1(3 9333333333233331D6300030003100302 “降降階階法法”之之例例6300030003100302 行行展展開開，有有”不不為為零零，故故嘗嘗試試按按該該行行只只有有“第第陣陣，但但三三角角形形也也非非下下三三角角形形矩矩注注意意，此此行行列列式式既既非非上上33612)1(333 D!666)1()2(3 例例2 2 計算計算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD解法解法1 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D

29、將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 22“降降階階法法”之之例例 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna第第1行的行的 (-1)倍分別加到倍分別加到其余各行！其余各行！階行列式階行列式計算計算例例n3xyxyxyaaaaxaDn 000000000之之例例“遞遞推推法法”列展開，列展開，按第按第將將解解nDnyxxyxyaxDDnnn 11)1(可可得得11 nnayxD整理得整理得11 nnnayxDD221 nnnayxDD112ayxDD 再相加，得再相加，得后，后，個式子兩邊分別同乘以個式

30、子兩邊分別同乘以將上述將上述22,11 nxxxn22111 nnnnnayxxayayDxD xx )( 2nx2)( nx所以所以而而,111xaaD )(2211 nnnnnnyxxyyxaxD) 例例2 2（續(xù)）（續(xù)） 計算計算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD “升升階階法法”之之例例解法解法2倍倍分分行行的的新新的的第第增增加加一一行行一一列列后后，用用)1(1 可得可得別加到其余各行上去，別加到其余各行上去， 1001nnabbabbDbababb 01011bababbbanbba 0000)1(列上去，列上去，倍加到新的第倍加到新的第時，用每一列的時，用每一列的當當1)(1baba 1)( )1( nbabna., 0 上上述述答答案案也也符符合合時時，當當 nDba 證證用數學歸納法用數學歸納法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立時（時（當當12 n例例4證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(之之例例“歸歸納納