第四章向量組的線性相關(guān)性

1、第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性1.線性表示線性表示2.線性相關(guān)性線性相關(guān)性3.向量組的秩，最大無關(guān)組向量組的秩，最大無關(guān)組4.線性方程組的解的結(jié)構(gòu)線性方程組的解的結(jié)構(gòu)可到以下公共郵箱下載課件：可到以下公共郵箱下載課件：密碼：密碼：2013la 定義定義: 給定向量組給定向量組A: 1, 2, , m, 對于任何一組對于任何一組實數(shù)實數(shù)k1, k2, ,km, 向量向量k1 1 + k2 2 + + km m稱為稱為向量組向量組A: 1, 2, m一個一個線性組合線性組合, k1, k2, ,km稱為這個稱為這個線性組合的線性組合的系數(shù)系數(shù). 給定向量組給定向量組A: 1,

2、2, , m和和向量向量b, 如果存在一如果存在一組數(shù)組數(shù) 1, 2, , m, 使使b = 1 1 + 2 2 + + m m則向量則向量b是向量組是向量組A的線性組合的線性組合, 這時稱向量這時稱向量b能由向能由向量組量組A線性表示線性表示. 定理定理1: 向量向量b能由向量組能由向量組A線性表示的充分必要線性表示的充分必要條件是矩陣條件是矩陣A=( 1, 2, , m)與與B=( 1, 2, , m, b)的的秩相等秩相等. 定義定義: 設(shè)有兩設(shè)有兩向量組向量組A: 1, 2, , m 與與 B: 1, 2, , s .若若B組中的每一個向量都能由組中的每一個向量都能由A組線性表示組線性

3、表示, 則稱則稱向量向量組組B能由向量組能由向量組A線性表示線性表示; 若向量組若向量組B與向量組與向量組A可可以相互線性表示以相互線性表示, 則稱這則稱這兩個向量組等價兩個向量組等價. 定理定理2: 向量組向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, m線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是矩陣矩陣A=( 1, 2, , m)的秩與矩陣的秩與矩陣(A|B)=( 1, 2, , m, 1, , s)的秩相的秩相等等, 即即R(A)=R(A|B). 推論推論: 向量組向量組A與與向量組向量組B等價的等價的充分必要條件是充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A|B)

4、. 定理定理3: 若若向量組向量組B能由向量組能由向量組A線性表示線性表示, 則則R(B) R(A). (必要條件必要條件) 定義定義: 給定向量組給定向量組A: 1, 2, , m , 如果存在不全如果存在不全為零的數(shù)為零的數(shù) k1, k2, ,km , 使使k1 1 + k2 2 + + km m = O則稱向量組則稱向量組A是是線性相關(guān)線性相關(guān)的的, 否則稱它是否則稱它是線性無關(guān)線性無關(guān). 定理定理4: 向量組向量組 1, 2, , m線性相關(guān)的充分必要線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣條件是它所構(gòu)成的矩陣A=( 1, 2, , m)的秩小于向的秩小于向量個數(shù)量個數(shù)m; 向量組線性無

5、關(guān)的充分必要條件是向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)=m. 定理定理5: (1)若向量組若向量組A: 1, 2, , m線性相關(guān)線性相關(guān), 則則向量組向量組B: 1, 2, , m, m+1也線性相關(guān)也線性相關(guān); 反言之反言之, 若若向量組向量組B線性無關(guān)線性無關(guān), 則向量組則向量組A也線性無關(guān)也線性無關(guān). 結(jié)論結(jié)論: 向量組向量組 1, 2, , m (當(dāng)當(dāng) m 2 時時)線性相關(guān)線性相關(guān)的的充分必要條件充分必要條件是是 1, 2, , m中中至少有一個至少有一個向量可向量可由其余由其余 m1個向量線性表示個向量線性表示.部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無關(guān)，則部分無關(guān)。部分相關(guān)，則整體相關(guān)；

6、整體無關(guān)，則部分無關(guān)。 (3) 設(shè)向量組設(shè)向量組A: 1, 2, , m線性無關(guān)線性無關(guān), 而向量組而向量組B: 1, 2, , m, 線性相關(guān)線性相關(guān), 則向量則向量 必能由向量組必能由向量組A線性表示線性表示, 且表示式是唯一的且表示式是唯一的.即即 j 添上一個分量后得向量添上一個分量后得向量 j. 若向量組若向量組A: 1, 2, , m線性無關(guān)線性無關(guān), 則向量組則向量組B: 1, 2, , m也線性無關(guān)也線性無關(guān); 反反言之言之, 若向量組若向量組B線性相關(guān)線性相關(guān), 則向量組則向量組A也線性相關(guān)也線性相關(guān).), 2 , 1(, 12121mjaaaaaaajrrjjjjrjjjj

7、 (4)設(shè)設(shè) (2) m個個n維向量組成的向量組當(dāng)維數(shù)維向量組成的向量組當(dāng)維數(shù)n小于向量小于向量個數(shù)個數(shù)m時一定線性相關(guān)時一定線性相關(guān) 定義定義: 設(shè)有向量組設(shè)有向量組A, 如果在如果在A中能選出中能選出r 個向量個向量 A0: 1, 2, r, 滿足滿足 (1)向量組向量組A0: 1, 2, r, 線性無關(guān)線性無關(guān); (2)向量組向量組A中任意中任意r+1個向量個向量(如果存在的話如果存在的話)都線都線性相關(guān)性相關(guān). 那末稱向量組那末稱向量組A0是向量組是向量組A的一個的一個最大線性最大線性無關(guān)向量組無關(guān)向量組(簡稱簡稱最大無關(guān)組最大無關(guān)組). 最大無關(guān)組所含向量個數(shù)最大無關(guān)組所含向量個數(shù)r

8、 稱為稱為向量組的秩向量組的秩.向量組秩的計算方法：寫成矩陣形式，求矩陣的秩！向量組秩的計算方法：寫成矩陣形式，求矩陣的秩！ 定理定理6: 矩陣的秩等于它的列向量組的秩矩陣的秩等于它的列向量組的秩, 也等于也等于它的行向量組的秩它的行向量組的秩.求向量組的最大無關(guān)組：求向量組的最大無關(guān)組：1.變行階梯形矩陣，找最變行階梯形矩陣，找最大無關(guān)組，大無關(guān)組，2.變行最簡形矩陣，用最大無關(guān)組表示變行最簡形矩陣，用最大無關(guān)組表示其他向量。其他向量。向量方程向量方程; 解向量解向量.解向量的性質(zhì)解向量的性質(zhì) (1) 若若x = 1, x = 2為為Ax = 0的解的解, 則則 x = 1 + 2也是也是A

9、x = 0的解的解. (2) 若若x = 1為為Ax = 0的解的解, k為數(shù)為數(shù), 則則 x = k 1也是也是Ax = 0的解的解.由以上兩個性質(zhì)可知由以上兩個性質(zhì)可知, 方程組的全體解向量所組方程組的全體解向量所組成的集合成的集合, 對于加法和數(shù)乘運算是封閉的對于加法和數(shù)乘運算是封閉的, 因此構(gòu)成一因此構(gòu)成一個個向量空間向量空間, 稱此向量空間為齊次線性方程組稱此向量空間為齊次線性方程組 Ax = 0的的解空間解空間. 定義定義: 如果向量組如果向量組 1, 2, , t 為齊次線性方程組為齊次線性方程組Ax = 0的的解空間解空間的一組的一組基基, 則向量組則向量組 1, 2, , t

10、 稱為稱為齊次線性方程組齊次線性方程組Ax = 0的的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系.方程組方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系是不唯一的的基礎(chǔ)解系是不唯一的. 定理定理: 設(shè)設(shè)m n矩陣矩陣A的秩的秩R(A)=r，則，則n元齊次線性元齊次線性方程組方程組 Ax = 0 解集解集S的秩的秩RS= nr . 當(dāng)當(dāng)R(A)=n時時, 方程組方程組Ax = 0只有零解只有零解, 故沒有基礎(chǔ)故沒有基礎(chǔ)解系解系(此時解空間只含一個零向量此時解空間只含一個零向量, 為為0維向量空間維向量空間). 當(dāng)當(dāng)R(A)=r n時時, 方程組方程組Ax=0必有含必有含nr個向量的個向量的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系 1, 2, , n-r . 此時的

11、任意解可表示為此時的任意解可表示為:x = k1 1 + k2 2 + + kn-r n-r其中其中k1, k2, , kn-r為任意常數(shù)為任意常數(shù).求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 000000001001,1, 111rnrrrnbbbbA1. 用初等行變換將系數(shù)矩陣用初等行變換將系數(shù)矩陣A化為最簡行階梯形化為最簡行階梯形:;,2, 1222122121111 rnrrnrnrnrrbbbbbbbbb 2. 將第將第r+1, r+2, , n列的前列的前r個分量反號個分量反號, 得解得解 1, 2, , n-r的前的前r個分量個分量:.100,010,001,2, 12

12、22122121111 rnrrnrnrnrrbbbbbbbbb 3. 將其余將其余nr個分量依次組成個分量依次組成 nr 階單位矩陣階單位矩陣, 于于是得齊次線性方程組的一個是得齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系: (1) 設(shè)設(shè) x= 1 及及 x= 2 都是方程組都是方程組 Ax=b 的解的解, 則則 x= 1 2為對應(yīng)齊次方程組為對應(yīng)齊次方程組Ax=0的解的解. (2) 設(shè)設(shè) x= 是方程組是方程組 Ax=b 的解的解, x= 是方程組是方程組 Ax=0 的解的解, 則則 x= + 仍仍為方程組為方程組 Ax=b 的解的解.解向量的性質(zhì)解向量的性質(zhì)求非齊次線性方程組的特解求非齊次線性方

13、程組的特解用初等行變換將增廣矩陣用初等行變換將增廣矩陣B化為最簡行階梯形化為最簡行階梯形:11,11,22,12,1,100010,001000000000000n rn rrrr n rdddbbbbbb 齊次線性方程組齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系 1, 2, , n-r和非和非齊次齊次線性方程組線性方程組Ax=b的一個特解的一個特解: *=(d1, d2, , dr , 0, , 0)T.非齊次線性方程組非齊次線性方程組Ax=b的通解為的通解為:x = k1 1 + k2 2 + + kn-r n-r + *. 如無特殊要求，建議用第三章的方法求解線性方程組！如無特殊要求，建

14、議用第三章的方法求解線性方程組！方法方法1. 從定義出發(fā)從定義出發(fā)令令 k1 1 + k2 2 + + km m = 0, 即即 若只有零解若只有零解, 則則 1, 2, , m線性無關(guān)線性無關(guān); 否則否則, 1, 2, , m線性相關(guān)線性相關(guān).方法方法2. 利用矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系利用矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系 給出一組給出一組n維向量維向量 1, 2, , m, 就得到一個相應(yīng)就得到一個相應(yīng)的矩陣的矩陣A=( 1, 2, , m), 求求R(A), 則則 若若R(A)=m, 則則 1, 2, , m線性無關(guān)線性無關(guān); 若若R(A)m, 則則 1, 2, , m線性相關(guān)線性相關(guān)

15、.利用相關(guān)定理利用相關(guān)定理(秩的相關(guān)性質(zhì)秩的相關(guān)性質(zhì))九、九、(12(12分分) )設(shè)設(shè),2121211rr 且向量組且向量組 線性無關(guān)，證明向量組線性無關(guān)，證明向量組線性無關(guān)。線性無關(guān)。r ,21r ,212009期末考題期末考題(II) 課后題課后題10.2008期末考題期末考題(II)八、八、(6分分)已知向量組已知向量組 1, 2, , s(s 2)線性無關(guān)線性無關(guān), 向量組向量組 1 = 1 + 2, 2 = 2 + 3, , s = s + 1, 試討論試討論 1, 2, , s的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性.當(dāng)當(dāng)s為奇數(shù)時為奇數(shù)時, 向量組向量組 1, 2, , s線性無關(guān)線性無關(guān).

16、當(dāng)當(dāng)s為偶數(shù)時為偶數(shù)時, 向量組向量組 1, 2, , s線性相關(guān)線性相關(guān). 提示：提示：可用方法可用方法1 1和方法和方法2 2證明！證明！提示：提示：可用方法可用方法2 2證明！證明！線線性性無無關(guān)關(guān)；）（線線性性無無關(guān)關(guān)；）（線線性性無無關(guān)關(guān)；）（線線性性無無關(guān)關(guān)；）（）線線性性無無關(guān)關(guān)，則則向向量量組組（、設(shè)設(shè)向向量量組組32132212132132132132211332213212,32 ,24,32 ,2,1 DCBAD2011期選考題期選考題課后題課后題9設(shè)設(shè),144433322211aabaabaabaab 4321,bbbb證明向量組證明向量組 線性相關(guān)線性相關(guān).2設(shè)設(shè)A=

17、(aij)m n，若，若mn, 則（則（ ）(A)A的行向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān); (B) A的列向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān);(C)A的行向量組線性無關(guān)的行向量組線性無關(guān); (D)A的列向量組線性無關(guān)的列向量組線性無關(guān).2008期末考題期末考題(I)1設(shè)設(shè) 1=( t, 1, 1)T, 2=(1, t, 1)T, 3=(1, 1, t)T, t是是( )時時, 1, 2, 3線性相關(guān)線性相關(guān).2008期選考題期選考題2或或-1B求一個向量組的秩求一個向量組的秩, 轉(zhuǎn)化為求矩陣的秩，轉(zhuǎn)化為求矩陣的秩，通過做通過做行初等變換行初等變換變?yōu)樽優(yōu)樾须A梯形行階梯形矩陣，求出最大線性無關(guān)組；

18、矩陣，求出最大線性無關(guān)組；進一步變?yōu)檫M一步變?yōu)樾凶詈喰涡凶詈喰尉仃嚳梢郧蟪銎渌蛄康淖畲鬅o矩陣可以求出其他向量的最大無關(guān)組表示。關(guān)組表示。 關(guān)組線性表出。向量用這個極大線性無余大線性無關(guān)組，并將其求向量組的秩及一個最，）（）（）（）（）（設(shè)向量組分六、T5T4T3T2T110, 5 , 2 , 1,0 , 2 , 1 , 2-,14, 7 , 3 , 0,2 , 1 , 0 , 3,4 , 2 , 1 , 1-)12( 2011年期末考試題年期末考試題21521342123, ，線性表示，答案：極大無關(guān)組：四、（四、（8 8分分) ) 設(shè)向量設(shè)向量),2, 1, 1 , 1(1 ),1 , 3

19、, 2 , 5(2 ),3 , 2, 1 , 4(3 ),2 , 1, 4 , 3(4 （1 1）求向量組）求向量組 的秩的秩；4321, （2 2）試問：該向量組是線性相關(guān)，還是線性無關(guān)？）試問：該向量組是線性相關(guān)，還是線性無關(guān)？（3 3）求向量組的一個極大無關(guān)組）求向量組的一個極大無關(guān)組。2009期末考題期末考題(II)3線性相關(guān)421, 線性表出。用這個極大線性無關(guān)組無關(guān)組，并將其余向量最大線性，求向量組的秩及一個）（）（）（）（）（設(shè)向量組分六、T5T4T3T2T11, 3 , 1, 1,4 , 1, 5 , 2,0 , 3 , 1 , 2,1 , 0 , 2 , 1,1 , 2 ,

20、0 , 1)12( 3253214321,3, 最大無關(guān)組：2011年選考題年選考題.?p)p,10, 6, 2()2p, 1, 2 , 3()1 , 5 , 3, 1()3 , 1 , 1 , 1()10.(T4T3T2T1個極大無關(guān)組并在此時求它的秩和一性相關(guān)為何值時，該向量組線，問，設(shè)向量組分四 321,:3, 2p ，極大無關(guān)組秩為答案：2012年選考題年選考題一個最大無關(guān)組。求該向量組的秩，并求，已知向量組分四T3T2T1)7, 4, 3, 1()6 , 5, 1, 4()3 , 1 , 2 , 1()10.( 321,:3 ，極大無關(guān)組秩為答案：2012年期末考試題年期末考試題2、

21、設(shè)向量組、設(shè)向量組 10512,0221,14703,2130,421154321 則該向量組的最大線性無關(guān)組為（則該向量組的最大線性無關(guān)組為（ ） 1, 2, 3 ; B. 1, 2, 4 ; C. 1, 2, 5 ; D. 1, 2, 4 , 5;B2010選考題選考題B3.設(shè)向量組設(shè)向量組 1=(1,-1,2,4), 2=(0,3,1,2), 3=(3,0,7,14) 4=(1,-2,2,0), 5=(2,1,5,10),則該向量組的最大線性無則該向量組的最大線性無關(guān)組為（關(guān)組為（ ） 1, 2, 3 ; B. 1, 2, 4 ; C. 1, 2, 5 ; D. 1, 2, 4 , 5;

22、2010期末考題期末考題(I)相同的相同的2.已知向量組已知向量組 所生成的所生成的 向量空間的維數(shù)是向量空間的維數(shù)是2，則，則k=_)k, 1 , 2 , 3(),4 , 4 , 3 , 2(),1 , 1 , 1 , 1(321 2010期末考題期末考題(II)-13.3.一個向量組可能有多個極大無關(guān)組，它們所含向量的個一個向量組可能有多個極大無關(guān)組，它們所含向量的個數(shù)是數(shù)是 2009期末考題期末考題2 2、已知向量組已知向量組 1=(1,2,-1,1), 2=(2,0,t,0), 3=(0,-4,5,-2)的秩為的秩為2,則則t= .32010期末考題期末考題(I)-32 2、已知向量組

23、已知向量組 1=(1,4,3)T, 2=(2,t,-1)T, 3=(-2,3,1)T的秩為的秩為2,則則t= .2010選考選考(I) 104743,012323,00414521* 答案：答案： 0895443313)12.(432143214321xxxxxxxxxxxx：齊次方程組的基礎(chǔ)解系齊次方程組的基礎(chǔ)解系一個解及對應(yīng)的一個解及對應(yīng)的求下列非齊次方程組的求下列非齊次方程組的分分四四2010選考題選考題 002120110719214321ccxxxx答案：答案： 6242163511325)12.(432143214321xxxxxxxxxxxx通解：通解：求下列非齊次方程組的求下列

24、非齊次方程組的分分四四2010期末考題期末考題(I)提示提示：利用非齊次線性方程組解的性質(zhì)：利用非齊次線性方程組解的性質(zhì)課后題課后題30.2,),(43213214324321的通解，求方程組，向量線性無關(guān)，其中設(shè)矩陣bAxaaaabaaaaaaaaaaA 2008年期末考題年期末考題(I) 11110121cx- -答案：七七、(8分分)設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A的行列式的行列式|A|= 0 0, 且有某一元素且有某一元素akl代數(shù)余子式代數(shù)余子式Akl 0,證明齊次線性方程組證明齊次線性方程組Ax=0的通解為的通解為 x=c(Ak1, Ak2 , Akl , Akn )T。證明：證明：由由Akl

25、 0 及及|A|= 0 0得得r(A) =n-1,齊次線性方程組齊次線性方程組Ax=0的基的基礎(chǔ)解系只含有一個線性無關(guān)的向量。由礎(chǔ)解系只含有一個線性無關(guān)的向量。由AA*=0可知可知A*的列向的列向量為量為Ax=0的解向量，的解向量， =(Ak1, Ak2 , Akl , Akn )T為為A*的第的第k個列向量，且非零，即個列向量，且非零，即 為為Ax=0 的一個非零解向量的一個非零解向量。即可證。即可證得結(jié)論。得結(jié)論。2010年期末考題年期末考題課后題課后題27.432154323321321求該方程組的通解，是它的三個解向量，且，已知組的系數(shù)矩陣秩為設(shè)四元非齊次線性方程 提示提示：利用非齊次

26、線性方程組解的性質(zhì)：利用非齊次線性方程組解的性質(zhì) 54326543cx答案：的一個基礎(chǔ)解系；是）（的一個基礎(chǔ)解系；是）（的通解；是）（的通解；是）（的一個基礎(chǔ)解系，則是，矩陣，是、已知0Ax,D0Ax,C0Ax3kB0Ax)(kA)(0Ax54A321211221212121 D2011期末考試題期末考試題C的一個基礎(chǔ)解系；是）（的一個基礎(chǔ)解系；是）（的通解；是）（的通解；是）（的一個基礎(chǔ)解系，則是，矩陣，是、已知0Ax,D0Ax2,C0AxkB0Ax)(kA)(0Ax54A312212121212121 2011年選考題年選考題課后題課后題 3線性表示。不能由）（線性表示；能由）（證明已知3214321432321,2,1, 3),(R,