數(shù)列求和的八種重要方法與例題（課堂PPT）

1、數(shù)列求和數(shù)列求和 幾種重要的求和思想方法幾種重要的求和思想方法： 1.1.倒序相加法倒序相加法. . 2.2.錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法. . 3 . 3 . 法：法：. . 4.4.裂項(xiàng)相消法：裂項(xiàng)相消法：拆項(xiàng)3倒序相加法倒序相加法: 如果一個(gè)數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列aan n ，與首末兩項(xiàng)等與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和（都距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和（都相等，為定值），相等，為定值），可采用把正著寫和可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法為倒序相加法. . 類型類型a1 1+

2、an n=a2 2+an-1n-1=a3 3+an-2n-2=典例典例. . 已知已知lg(xy)2n nn n- -1 11 1n n- -1 1n nS S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . .+ +l lg g( (x xy y) )+ +l lg gy y , ,( (x x 0 0, ,y y 0 0) )求求S . S . n nn n- -1 1n nS S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . .+ +l lg gy yn nn n- -1 1n nS S = =l lg g+

3、+l lg g( (x x) )+ +. . . .+ +l lg gy yy yx xn nn nn n2 2S S= =l lg g+ +l lg g+ +. . . .+ +l lg g( (x xy y) )( (x xy y) )( (x xy y) )= = 2 2n n( (n n + +1 1) )2.2.倒序相加法倒序相加法S S = = n n( (n n + +1 1) )2.2.錯(cuò)位相減錯(cuò)位相減典例典例3:3:1+23+332+433+n3n-1=？當(dāng)當(dāng)aan n 是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，bbn n 是等比數(shù)列，求是等比數(shù)列，求數(shù)列數(shù)列aan nb bn n 的前的前n

4、 n項(xiàng)和適用項(xiàng)和適用錯(cuò)位相減錯(cuò)位相減通項(xiàng)通項(xiàng)錯(cuò)位相減法：錯(cuò)位相減法： 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法用錯(cuò)位相減法. .既既aan nb bn n 型型等差等差等比等比4 4、裂項(xiàng)相消、裂項(xiàng)相消例典典4 4：1 11 11 1+ + + + + += = ? ?1 1 2 22 21 1n n( (n n + + 1 1) )3 3變項(xiàng)為1 1n n ( (式式 1 1 ： 通通改改n n + + 2 2 ) )變項(xiàng)為2 22 22 2 n n4 42 2 ： 通

5、通改改n n式式- - 1 11 11 11 11 1= =+ + （- -) )2 24 42 2n n- -1 12 2n n+ +1 11 11 11 1= =( (- -) )2 2n nn n + + 2 2分裂通項(xiàng)法：分裂通項(xiàng)法： 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為分裂通項(xiàng)法一求和方法稱為分裂通項(xiàng)法. .（見到見到分式型分式型的要往這種方法

6、聯(lián)想的要往這種方法聯(lián)想） 典型典型6 6：1-21-22 2+3+32 2-4-42 2+(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2= =？并項(xiàng)求和并項(xiàng)求和交錯(cuò)數(shù)列，并項(xiàng)求和交錯(cuò)數(shù)列，并項(xiàng)求和既既（-1）n bn型型練習(xí)練習(xí)1010：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+(-1)=-1+3-5+7+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S2121=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=20=-21總的方向：總的方向：1.1.轉(zhuǎn)化為等差或

7、等比數(shù)列的求和轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和2.2.轉(zhuǎn)化為能消項(xiàng)的轉(zhuǎn)化為能消項(xiàng)的思考方式：求和思考方式：求和看通項(xiàng)（怎樣的看通項(xiàng)（怎樣的類型類型）若無通項(xiàng)，則須若無通項(xiàng)，則須先求出通項(xiàng)先求出通項(xiàng)方法及題型：方法及題型：1.1.等差、等比數(shù)列用公式法等差、等比數(shù)列用公式法2.2.倒序相加法倒序相加法5.5.拆項(xiàng)分組求和法拆項(xiàng)分組求和法4.4.裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法3.3.錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法6.6.并項(xiàng)求和法并項(xiàng)求和法深化數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想方法：深化數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想方法： 熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)題型1 1：遞歸數(shù)列與極限：遞歸數(shù)列與極限. .設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)的首項(xiàng)a1=a ，且，且 , 記記 ，nl，2，3

8、，（I I）求）求a a2 2，a a3 3；（；（IIII）判斷數(shù)列）判斷數(shù)列bbn n 是否為等比數(shù)列，是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；并證明你的結(jié)論；（IIIIII）求）求 4111214nnnanaan為偶數(shù)為奇數(shù)2114nnba123lim()nnbbbb（I）a2a1+ = a+ ，a3= a2= a+ 4141212181熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)題型1 1：遞歸數(shù)列與極限：遞歸數(shù)列與極限. . 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)的首項(xiàng)a1=a ，且，且 , 記記 ，nl，2，3，（I）求）求a2，a3；（II）判斷數(shù)列）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（III

9、）求）求 4111214nnnanaan為偶數(shù)為奇數(shù)2114nnba123lim()nnbbbb 因?yàn)橐驗(yàn)閎n+1a2n+1 = a2n = (a2n1 )= bn, (nN*) 所以所以bn是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為a , 公比為公比為 的等比數(shù)列的等比數(shù)列 4121412141214121熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)題型1 1：遞歸數(shù)列與極限：遞歸數(shù)列與極限. . 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)的首項(xiàng)a1=a ，且，且 , 記記 ，nl，2，3，（I）求）求a2，a3；（II）判斷數(shù)列）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（III）求）求 4111214nnnanaan為偶數(shù)為奇數(shù)2

10、114nnba123lim()nnbbbb11121(1)12lim()lim2()1141122nnnnbbbbba熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)題型2 2：遞歸數(shù)列與轉(zhuǎn)化的思想方法：遞歸數(shù)列與轉(zhuǎn)化的思想方法. . 數(shù)列數(shù)列an滿足滿足a1 1且且8an 1 16an 1 2an 5 0 (n 1)。記。記(n 1)。(1)求求b1、b2、b3、b4的值的值；(2)求數(shù)列求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式及數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列anbn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn。 211nnab1111,2;112ab故22718,718382ab故3344311320,4;,.31420342abab故故熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)題型2 2：遞歸數(shù)列與轉(zhuǎn)化

11、的思想方法：遞歸數(shù)列與轉(zhuǎn)化的思想方法. . 數(shù)列數(shù)列an滿足滿足a1 1且且8an 1 16an 1 2an 5 0 (n 1)。記。記(n 1)。(1)求求b1、b2、b3、b4的值的值；(2)求數(shù)列求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式及數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列anbn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn。 211nnab11111,816250,122nnnnnnnnbaaaaaba得代入遞推關(guān)系11146340,2,3nnnnnnbbbbbb即1144422(),0,3333nnbbb42,233nbq是首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列41142 ,2(1).3333nnnnbbn即112nnna bb121()21(1 2 )53

12、1 23nnnSbbbnn1(251)3nn26熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)題型3 3：遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法：遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法. . 已知數(shù)列已知數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：a0 1，(n N)（1）證明）證明anan+12(n N)（2）求數(shù)列）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式an 11(4).2nnnaaa用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)， ； ,23)4(21, 10010aaaa2010aa 2假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)時(shí) 有成立，有成立， 21kkaa令令 )4(21)(xxxff(x)在在0，2上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 1()()(2),kkf af af11111(4)(4)2 (42),222kkkkaaaa 也即當(dāng)也即當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí) 成立，成立， 21kkaa所以對(duì)一切所以對(duì)一切 2,1kkaaNn有27熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)題型3 3：遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法：遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法. .