數(shù)學(xué)軟件選講28809

1、數(shù) 學(xué) 軟 件 選 講 Mathematica Matlab SAS第 一 篇Mathematica基礎(chǔ)知識作為一門新的編程語言圖形處理（二維、三維及其參數(shù)方程的形式）極限、微分與積分求解方程（組）、微分方程（組）在線形代數(shù)方面的應(yīng)用數(shù)值處理文件及其它高級操作第一章 基礎(chǔ)知識一、Mathematica3.0 界面及運行介紹二、基本數(shù)值運算1. 整數(shù)運算：加、減、乘、除、冪、階乘2. 數(shù)學(xué)常量：E、Pi、I、Degree、Infinity3. 函數(shù)及數(shù)學(xué)函數(shù)4. 浮點數(shù)及復(fù)數(shù)運算：N函數(shù)三、變量及表達式1. 變量的定義及清除 變量的特點(1)變量的默認作用域是全局的(2)全局變量不需事先定義或聲

2、明(3)盡量避免使用下劃線定義變量2. 多項式及其操作 (1) 定義、替換符操作 (2) 常用操作：Expand、Factor、Together、PartSimplify、Collect、Coefficient、Exponent四、序列及其操作1. 序列的定義2. 序列的生成：Table函數(shù)3. 序列的操作 (1) 添加刪除：Append、Prepend、Insert、Delete、DeleteCases (2) 取元素：Part、Take、Drop、Select (3) 檢測：Length、Count、Position五、表達式“頭”的概念：Head及Apply函數(shù)六、自定義函數(shù) 1. 一元

3、函數(shù)例： Clearf,xfx_:= x2+4x-2 2. 多元函數(shù)例： fx_,y_:= x2+y2-3 3. 迭代函數(shù)例：fn_:= fn-1+fn-2;f0= 1; f1=1;1 條件語句 邏輯判斷符=!=!=第二章 編程語言 邏輯運算符!|& /；運算符x = a /;test僅當(dāng)test為True時才執(zhí)行賦值語句 If 語句語法：If test, then, else若test為 True，則執(zhí)行then，若test為False，則執(zhí)行else. Which 語句語法：Which test1, value1, test2,依次計算testi，給出對應(yīng)第一個test為True

4、的value Switchexpr,form1,value1,form2,比較expr與formi，給出與第一個form值匹配的value例1. 定義如下的函數(shù)：220002xxxxx使用 /; 定義：f x_:= 0 /;x0&x2 使用 If 定義：f x_:= If x2, x2, x 使用Which定義：f x_:= Which x2, x2, True, x 2 輸出語句Print3 循環(huán)語句 Do 語句語法：Doexpr, i, imin, imax, di計算expr，i=imin,imax，步長為di While 語句語法：Whiletest, body當(dāng)test為Tr

5、ue時，計算body For 語句語法：Forstart, test, incr, body以start為起始值，重復(fù)計算body和incr，直到test為False時為止 循環(huán)控制語句Break和ContinueBreak退出最里面的循環(huán)Continue轉(zhuǎn)入當(dāng)前循環(huán)的下一步1. 基本二維圖形 Plot f, x, xmin, xmax，用于繪制形如y =f (x)的函數(shù)的圖形。當(dāng)將多個圖形繪制在同一坐標(biāo)系上時，形如： Plot f1, fn,x, xmin, xmax注意：有時需要使用Evaluate函數(shù)。第三章 圖形處理例：在同一坐標(biāo)系下繪出sinx, sin2x, sin3x, sin4

6、x, sin5x的圖形。常用的選項：PlotStyleHuea設(shè)置線條顏色PlotRangea,b控制顯示范圍DisplayFunction控制圖形顯示AspectRatio圖形的寬、高比AxesOrigin設(shè)置原點坐標(biāo)形為間隔時，繪出這組圖，以變化到從當(dāng)，157515)2008 . 9(2sec)(tan02022vgvgxxy程序：Cleara,y,xv=200;g=9.8;ya_,x_:=Tana*x-g*x2*Seca2/(2v2)PlotEvaluateTableyi,x,i,Pi/12,5Pi/12,Pi/12,x,0,4000例：有如下的拋物線簇： ListPlot List，用

7、于繪制散點圖。 注意，List的形式應(yīng)為：, ,1100nnyxyxyx例：在同一坐標(biāo)系下繪制下列兩組散點圖p1=0,0,0,45,5.3,89.6,22.6,131.2;p2=0,0,2.68,44.8,12.57,88.28,27,130.3;程序：g1=ListPlotp1,PlotJoined-True,DisplayFunction - Identity;g2=ListPlotp2,PlotJoined - True,DisplayFunction - Identity;Showg1,g2,DisplayFunction - $DisplayFunction; ParametricP

8、lot fx , fy,t,tmin,tmax 用于繪制形如x = fx(t) , y = fy(t)的參數(shù)方程圖形。例：繪制以點（3,4）為圓心，半徑為2的圓。ParametricPlot3+2Cost,4+2Sint,t,0,2Pi可增加如下選項：AspectRatio-1, AxesOrigin-0,02. 其它二維圖形 ContourPlot f, x,xmin,xmax, y,ymin,ymax，用于繪制形如z =f (x, y)的函數(shù)的等高線圖。 DensityPlot f, x,xmin,xmax, y,ymin,ymax，用于繪制形如z =f (x, y)的函數(shù)的密度圖。例：繪

9、制函數(shù) f=sinxsiny的等高線圖和密度圖3. 三維圖形 Plot3D f,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax繪制形如Z = f (x, y)的三維圖形。例：繪制以下的函數(shù)圖形： Z = 10sin(x+siny)命令：Plot3D10 Sinx+Siny,x,-10,10,y,-10,10可增加選項：PlotPoints-40 ParametricPlot3D fx , fy , fz,t,tmin,tmax ,u,umin,umax 用于繪制形如x = fx(t) , y = fy(t) , z = fz(t)的參數(shù)圖形。)200, 8 . 9(60)0, 0(220220

10、20vgyyxxvggvy所得的圖形。軸旋轉(zhuǎn)繞例：畫出拋物線202022,2, 0,32, 0sincosvgbgvabarbrayrzrx其中，其中參數(shù)方程為：解：旋轉(zhuǎn)所得的拋物面4. 利用函數(shù)包繪制特殊圖形載入圖形函數(shù)包的方法：類名類名包名包名例：例：GraphicsGraphics PolarPlotr,t,tmin,tmax繪制極坐標(biāo)圖形 LogPlotf,x,xmin,xmax畫對數(shù)線性圖 BarChartlist畫出list的條形圖 PieChartlist畫出list的百分圖例：例： xo 求 x 逼近 xo時expr的極限某些函數(shù)在一點處的極限隨逼近方向不同而不同，可用Dire

11、ction選擇方向： Limitexpr, x- xo, Direction - 1 左極限 Limitexpr, x- xo,Direction- -1 右極限例：求1/x 的左右極限xxxsinlim0 xxxx32lim例：3. 微分D f ,x,n求f 的n階偏微分 Dt f 求f 的全微分例：Dxn,x,3 Dtx2+y2例：y = xarctgx，求其100階導(dǎo)數(shù)及其在0 點的值4. 積分Integrate f , x求f 的不定積分Integrate f ,x,xmin,xmax求 f 的定積分Integrate f ,x,xmin,xmax, y,ymin,ymax求 f 的多

12、重積分例：ax21)sin(sin x2121ax20)sin(sin x第三章 線性代數(shù)1. 構(gòu)造矩陣和向量Table f ,i,m ,j,n構(gòu)造mn矩陣，f 是i, j的函數(shù)，給出i, j項值A(chǔ)rray f ,m, n構(gòu)造mn矩陣，i, j項的值是 f i, jDiagonalMatrix List生成對角線元素為List的對角矩陣IdentityMatrixn構(gòu)造n階單位陣2. 截取矩陣塊 Mi取矩陣M的第 i 行Map#i&, M取矩陣M的第 i 列 Mi, j 取矩陣M的i, j 位置的元素 Mi1,ir, j1,js矩陣M的rs子矩陣，元素行標(biāo)為ik，列標(biāo)為jk MRang

13、ei0,i1, Rangej0,j1 矩陣M的從 i0到i1行， j0到j(luò)1列元素組成的子矩陣3. 矩陣及向量的運算M.N對M、N做矩陣乘法（向量內(nèi)積）M*N將M、N的對應(yīng)位置元素相乘OuterTimes,M,N 求M、N的外積Dimensions M 給出矩陣M的維數(shù)Transpose M 轉(zhuǎn)置Inverse M 求逆Det M 方陣M的行列式值MatrixPowerM,nn階矩陣冪MatrixExpM矩陣指數(shù)Eigenvalues M M的特征值EigenvectorsMM的特征向量第四章求解方程（組）、微分方程（組）1. 求解多項式方程（組）Solve eqns ,vars求解多項式方程

14、Solveeqn1,eqnn, var1,varn求解多項式方程組注：Solve只能給出多項式方程（組）的解，因此它們只適用于冪次不高、規(guī)模不大的多項式方程（組）。21yxbyaxNSolve eqns ,vars 求多項式方程的數(shù)值解NSolveeqn1,eqnn, var1,varn求多項式方程組的數(shù)值解對于數(shù)值解，可以直接用NSolve求解例：求解以下方程（組）x2+ax=2x3+34x+1=0 x5-1331x+11= 0133xyyxxyyx2. 求解微分方程（組）DSolve eqns ,yx, x求解yx的微分方程DSolve eqns ,y, x 以純函數(shù)的形式給出y的解DSo

15、lveeqn1, eqn2, y1, y2, , x 求解微分方程組例：求解以下微分方程（組）y = y y k y =1xyyx的值時函數(shù)并求yxyyy8 . 21)0(2第五章 數(shù)值處理1. 數(shù)值積分NIntegrateexpr , x,xmin,xmax注意，NIntegrate直接計算數(shù)值積分，不先給出符號結(jié)果，而Integrate/N會盡可能的先求精確解的形式。2. 數(shù)值根求解FindRootlhs=rhs , x, x0 以x0為初始點求方程的數(shù)值解FindRootlhs=rhs , x, x0 ,x1給出兩個初值求數(shù)值根（方程的符號導(dǎo)數(shù)無法求出時，必須使用此形式）FindRoot

16、eqn1, eqn2, x, x0,y, y0 , 對聯(lián)立方程 eqni 求數(shù)值解例：求解下列方程（組） cosx =xx600+5x+3=01cossinyxyx3. 微分方程數(shù)值解NDSolveeqn1, eqn2, y,x,xmin,xmax求函數(shù)y的數(shù)值解，x的范圍為xmin,xmaxNDSolveeqn1, eqn2,y1, y2, ,x,xmin,xmax求函數(shù)yi的數(shù)值解注：以上兩種形式用于求解常微分方程（組） NDSolve以InterpolatingFunction目標(biāo)生成函數(shù)yi的解。 InterpolatingFunction目標(biāo)提供獨立變量x在xmin到xmax范圍內(nèi)y

17、i的近似值。上在區(qū)間 1 , 040)(0222xyydxdy例：求解以下微分方程（組）并畫出函數(shù)y的圖形上在區(qū)間10, 012002ttyxyxdtdyxydtdxNDSolveeqn1, eqn2, y,x,xmin,xmax, t,tmin,tmax 求由函數(shù)y構(gòu)成的偏微分方 程的數(shù)值解NDSolveeqn1, eqn2,y1, y2, ,x,xmin,xmax ,t,tmin,tmax求由函數(shù)yi構(gòu)成的偏微分方程組的數(shù)值解例：求下面微分方程的數(shù)值解并繪圖。5 , 0,5 , 5,0055022222txtyyyeyxytytxxxt4. 極大極小值ConstrainedMax f, i

18、nequalities, x, y, ConstrainedMax f, inequalities, x, y, 求由目標(biāo)函數(shù) f 和不等式約束inequalities構(gòu)成的線形規(guī)劃例：ConstrainedMaxx+y,x1,y=isequal函數(shù)2邏輯運算符&| 3條件語句 if-else語句 switch-case語句4循環(huán)語句 for語句 while語句三、編程技巧1.調(diào)試程序2.輸入輸出參數(shù)nargin、nargout第三章 Matlab圖形處理一、二維圖形 1. 基本二維圖形Plot用法如下：a.Plot (X)b.Plot (X,Y)c.Plot (X1,Y1,X2,Y2

19、,) d.Plot (X1,Y1,LineSpec1,X2,Y2, X3,Y3, )其中參數(shù)LineSpec定義線條的屬性。Matlab中可以對線條定義如下的特性：a.線型： -(實線) - (劃線) :(點線) -. (點劃線)b.線條寬度： LineWidthc.顏色d.標(biāo)記類型e.標(biāo)記大?。篗arkersize fPlot在指定的范圍limits內(nèi)畫出一元函數(shù)y=f (x)的圖形用法：fplot(function,limits)注意：函數(shù)function必須是一個M文件函數(shù)或者是一個包含變量 x，且能用函數(shù)eval計算的字符串。例：在同一坐標(biāo)系下繪制tgx和的sinx圖形fplot(ta

20、n(x),sin(x),-1,1,0,2*pi)注意坐標(biāo)系調(diào)整函數(shù)axis的作用和用法2. 圖形標(biāo)注title為圖形添加標(biāo)題xlabel為x軸加標(biāo)注ylabel為y軸加標(biāo)注text在指定位置上添加文本字符串gtext用鼠標(biāo)在圖形上放置文本legend為圖形添加圖例3. 特殊二維圖形polar 畫極坐標(biāo)形式函數(shù)r = f ()的極坐標(biāo)圖用法如下：polar(theta,rho,LineSpec) 例：t = 0:.01:2*pi;polar(t,sin(3*t).*cos(2*t),-r)4. 其它二維圖形pie用x中的數(shù)據(jù)畫一餅形圖semilogxx軸對數(shù)圖形loglog 雙對數(shù)圖形bar 用

21、二維垂直條形顯示向量或矩陣中的值barh 用二維水平條形顯示向量或矩陣中的值hist 二維條形直方圖，可以顯示出數(shù)據(jù)的分 配情形二、三維圖形 1. 曲面與網(wǎng)格圖形命令mesh生成由X，Y和Z指定的網(wǎng)線面在使用該命令前應(yīng)先用meshgrid函數(shù)生成可用 于計算函數(shù)值的矩陣網(wǎng)格。通常用法如下：X,Y =meshgrid(a)Z= f (X,Y)mesh(X,Y,Z) 2. 三維圖形的其它形式contour曲面的等高線圖pie3三維餅圖surf 在矩形區(qū)域內(nèi)顯示三維帶陰影曲面圖quiver 矢量圖或速度圖surfnorm 計算與顯示三維曲面的法線 第四章 Matlab應(yīng)用一、多項式運算二、極限lim

22、it (F, x, a, right ) x趨向于a時F的極限三、導(dǎo)數(shù)diff (S, v, n)四、積分 1. 符號積分a. 不定積分 int (S, v)b. 定積分 int (S, v, a,b) 2. 數(shù)值積分a. 一元函數(shù) quad ( fun,a,b)自適應(yīng)Simpson法 trapz ( X, Y )梯形法 b. 二元函數(shù)dblquad ( fun,xmin,xmax,ymin,ymax)在矩形區(qū)域xmin,xmax,ymin,ymax上計算二元函數(shù)z=f (x,y)的二重積分quad2ggen ( fun,xlower,xupper,ylower,yupper)在任意區(qū)域xlo

23、wer,xupper,ylower,yupper上計算二元函數(shù)z=f (x,y)的二重積分五. 插值a. interp1( X,Y,xi,method) 一維數(shù)據(jù)插值b. interp2( X,Y,Z,xi, yi,method) 二維數(shù)據(jù)插值例：已知1900年到2010年每隔十年的數(shù)據(jù)如下：75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697179.323 203.212 226.505 249.633 256.344 267.893用插值法求1995年的數(shù)據(jù)。六、方程（組）求解 1. 方程（組）的符號解solve (eq)求方程的符號解solve (e

24、q1,eq2,eqn) 求方程組的符號解例：solve(x2+3x-6)solve(-x2*y+3*x-6,x+y2-1) 2.方程（組）的數(shù)值解fzero (fun,x0)用數(shù)值方法求方程根fsolve(fun,x0)用數(shù)值方法求方程根 例：求下列方程的根21x21x21ex2xexx2解：先建立方程函數(shù)文件，并保存為解：先建立方程函數(shù)文件，并保存為myfun.mfunction F = myfun(x)F = 2*x(1) - x(2) - exp(-x(1); -x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2);然后調(diào)用優(yōu)化程序然后調(diào)用優(yōu)化程序x0 = -5; -5; % 初始點初始點x,fval = fsolve(myfun,x0,options) 七、積分變換 1. Fourier積分變換F = fourier( f )對符號單值函數(shù) f 中的缺省變量 x（由命令findsym確定）計算Fourier變換形式例：sy