2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講直線與圓的位置關(guān)系知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案新人教A

1、第二講直線與圓的位置關(guān)系對(duì)應(yīng)學(xué)生用書 P35近兩年高考中，主要考查圓的切線定理，切割線定理，相交弦定理，圓周角定理以及圓 內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)等.題目難度不大，以容易題為主.對(duì)于與圓有關(guān)的比例線段問題通常要考慮利用相交弦定理、割線定理、切割線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等；弦切角是溝通圓內(nèi)已知和未知的橋梁，它在解決圓內(nèi)有關(guān)等角問題中可以大顯身手；證明四點(diǎn)共圓也是常見的考查題型， 常見的證明方法有：到某定點(diǎn)的距離都相等；如果某兩點(diǎn)在一條線段的同側(cè)時(shí)，可證明這兩點(diǎn)對(duì)該線段的張角相等；證明凸四邊形的內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)（或外角等于它的內(nèi)對(duì)角）等.1.（湖南高考）如圖，已知AB BC是OO的兩條弦，ACLBC

2、 AB=J3,BC=2 迄，則OO的半徑等于_ .解析：設(shè)AQ BC的交點(diǎn)為D,由已知可得D為BC的中點(diǎn)，則在 直角三角形ABD中,AD=p AB-BD= 1,設(shè)圓的半徑為r,延長AC交 圓Q于點(diǎn)E,由圓的相交弦定理可知BD- CD= AD- DE即/2）2= 2r3-1，解得r=勺3答案：22.（新課標(biāo)全國卷n）如圖，P是OQ外一點(diǎn)，PA是切線，A為切 點(diǎn)，割線PBC與OQ相交于點(diǎn)B,C, PC=2PA D為PC的中點(diǎn)，AD的延長線交OQ于點(diǎn)E證明：BE= EQ（2）AD- DE=2PB.證明：連接AB AC由題設(shè)知PA= PD故/PAD=ZPDA因?yàn)?PDA=ZDAQ-ZDCAE2/PAD

3、=/BADFZPAB/DCA=ZPAR所以/DAC=ZBAD從而 BEBE = ECEC .因此BE= EC(2)由切割線定理得PA=PB- PC因?yàn)镻A= PD= DC所以DC=2PB BD= PB由相交弦定理得AD- DE= BD- DC,所以AD- DE=2PB.3.(新課標(biāo)全國卷n)如圖，CDABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點(diǎn)D,E, F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC- AE= DC- AF, B, E,F,C四點(diǎn)共圓.(1)證明：CAABC外接圓的直徑；若DB= BE= EA求過B,E,F, C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值解：(1)證明：因?yàn)镃DABC外接圓

4、的切線，所以/DCB=ZA,由題設(shè)知BC_DCFA=3故厶CDBAAEF所以/DBC=ZEFA因?yàn)锽, E, F,C四點(diǎn)共圓，所以/CFE=ZDBC故/EFA=ZCFE=90.所以/CBA=90,因此。人是厶ABC外接圓的直徑.連接CE因?yàn)?CBE=90 ,所以過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的直徑為CE由BD= BE有CE= DC又BC=DB- BA=2DB,所以CA= 4DB+BC= 6DB.而DC=DB- DA=3DB,一 一 1故過B, E, F,C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為2EZSI圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)接四邊形的判定和性質(zhì).對(duì)應(yīng)學(xué)生用書 P35圓內(nèi)接四邊形是中學(xué)教學(xué)的主要研

5、究問題之一，近幾年各地的高考選做題中常涉及圓內(nèi)4例 1已知四邊形ABC防平行四邊形，過點(diǎn)A和點(diǎn)B的圓與AD BC分別交于E、F.求證：C、D E F四點(diǎn)共圓.證明連接EF,因?yàn)樗倪呅蜛BC為平行四邊形, 所以/B+ZC= 180.因?yàn)樗倪呅蜛BFE接于圓，所以ZB+ZAEF=180.所以ZAEF=ZC所以C D E、F四點(diǎn)共圓.例 2如圖，ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，延長BC到E,已知ZBCDZECD=3 : 2，那么ZBO等于()A. 120B. 136C. 144D. 150解析由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)知ZA=ZDCE而ZBCDZECD=3 : 2,且ZBC+ZECD=180,ZECD=72.又

6、由圓周角定理知ZBOD=2ZA= 144.答案CtzaI直線與圓相切直線與圓有三種位置關(guān)系，即相交、相切、相離；其中直線與圓相切的位置關(guān)系非常重要，結(jié)合此知識(shí)點(diǎn)所設(shè)計(jì)的有關(guān)切線的判定與性質(zhì)、弦切角的性質(zhì)等問題是高考選做題熱點(diǎn) 之一，解題時(shí)要特別注意.例 3 如圖，OO是 RtABC勺外接圓，ZABC=90，點(diǎn)P是圓外 一點(diǎn)，PA切OO于點(diǎn)A,且PA= PB(1) 求證：PB是OO的切線；(2) 已知PA=3,BC=1,求OO的半徑.解(1)證明：如圖，連接OB OA= OB / OAB=Z OBA/ PA= PB / PAB=Z PBA ZOA+ZPAB=ZOB+ZPBA即ZPAOZPBO又P

7、A是OO的切線，/PAO-90 ZPBO-90.OBL PBi：5又OB是OO半徑，PB是OO的切線.連接OP交AB于點(diǎn)D如圖. PA= PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上./OA= OB點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上.OP垂直平分線段AB/PAO=ZPDA=90.又/APO=ZOPAAPGhDPAAP PO o阿PO A*PODP1 1又OD=BC=o，二PQPO- OD=AP.即PO-0PO=( 3)0,解得PO=2.在 Rt APO中,OA= PO- PA2= 1,即OO的半徑為 1.I與圓有關(guān)的比例線段圓的切線、割線、相交弦可以構(gòu)成許多相似三角形，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，又可以得到一些比例式

8、、乘積式，在解題中，多聯(lián)系這些知識(shí)，能夠計(jì)算或證明角、例 4如圖，A,B是兩圓的交點(diǎn), 是CA和CB的延長線與大圓的交點(diǎn)，已知 求DE的長.解設(shè)CB= AD= x， 則由割線定理得：CA- CD= CB- CE即 4(4 +x) =x(x+ 10),化簡(jiǎn)得x2+ 6x- 16= 0, 解得x= 2 或x= 8(舍去)，即CD=6,CE=12.連接AB因?yàn)镃A為小圓的直徑，所以/CBA=90，即/AB= 90,則由圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，得/D= 90,貝 ycD+DE=CE,所以 62+DE= 122,所以DE=6 3.例 5 ABC中,AB= AC以AB為直徑作圓，交BC于D, O是圓心,D

9、M是OO的切線交AC于M如圖)線段的有關(guān)結(jié)論.AC是小圓的直徑，D和E分別AC=4,BE=10,且BC= ADD6求證：DC=AC- CM證明連接AD OD/ AB是直徑，ADL BC/ OA= OD:丄BAD=ZODA又AB= AC ADLBC:丄BAD=ZCAD則/CA=/ODA OD/ ACDM是OO切線，ODLDM貝UDM_ AC DC=AC- CM-階嚴(yán)檢測(cè)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書 P43（時(shí)間：90 分鐘，滿分：120 分）、 選擇題（本大題共 10 小題， 每小題 5 分， 滿分 50 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.圓內(nèi)接四邊形的 4 個(gè)角中，如果沒有直角，那

10、么一定有（）解析：由于圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) ，圓內(nèi)接四邊形的 4 個(gè)角中若沒有直角，則必有 2個(gè)銳角和 2 個(gè)鈍角.答案：A2.如圖，在OO中，弦AB長等于半徑，E為BA延長線上一點(diǎn)，/DAE=80，則/ACD勺度數(shù)是（）A. 60B. 50C. 45D. 30解析：/BCD=ZDAE=80,1在 RtABC中，/B= 90,AB=AC,/ACB=30 .ACD=80 30= 50.答案：B3 .如圖所示，在半徑為 2 cm 的OO內(nèi)有長為2, 3 cm 的弦AB則此弦所 對(duì)的A. 2 個(gè)銳角和 2 個(gè)鈍角C. 1 個(gè)鈍角和 3 個(gè)銳角B.1 個(gè)銳角和 3 個(gè)鈍角D.都是銳角或都是鈍角7圓心

11、角/AOB為（）B. 90A. 608答案：A解析：根據(jù)切割線定理PA=PB-PC所以(3 2)2= 2PB.所以PB=3 =BC答案：C位置關(guān)系是（）A.相切C.相離C.120D.150解析：作OCLAB于C,貝 UBO3,在 Rt BOC中 cos /B=票身.OB2/ B= 30./BOC=60 . /AOB=120答案：C4.如圖，已知OO的半徑為 5，兩弦AB CD相交于AB的中點(diǎn)AB=8,CE：ED=4 : 9,則圓心到弦CD的距離為（）28B6 80D.g解析：過0作OHLCD連接OD貝U DH=2CD由相交弦定理知,AE- BE= CE- DE設(shè)CE=4x,則DE=9x, 4X

12、4= 4xX9 x，解得2x= 3，OH=ODDH=2.132X-32 .1436.兩個(gè)同心圓的半徑分別為3 cm 和 6 cm , 作大圓的弦MN= 6 , 3 cm,則MN與小圓的5.如圖，PA切OO于A,PBC是OO的割線,那么BC的長為（）A. ,3B.C. 3D.2 333B.相交D.不確定且PB= BC9解析：作OAL MN于A連接0M則MA2MN=3 3.在 Rt OMA中,OAA；joM-AM=3(cm). MNf小圓相切.答案：A107.如圖,PAB PDC是OO的割線，連接ADBC若PD：PB=1 : 4,AD=2,則A. 4B. 5C. 6D. 8解析：由四邊形ABCDO

13、O的內(nèi)接四邊形可 得 /PAD=ZC,ZPDA=ZBPDAD1PADoA1當(dāng)且僅當(dāng)x=ax,即x=?a= 12 時(shí)等號(hào)成立.所以CD的長的最小值為 24 cm.答案：B9.如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上,/BAC=夕，則陰影部分的面積為（）425A. n25B. n 24C. 2425D.yn +24連接AC BC AB=10, tan11解析：AB為直徑，./ACB=90,3/ta nZBAC=4,sinZBAC=5 BC= |x10=6.44AC=|X BC=IX6=8，121S陰影=S半圓一SABC=2X n X5 2x8X6=執(zhí)一 24.答案：B10.在 RtABC中,ZACB=90

14、，以A為圓心、AC為半徑的圓交AB于F,交BA的延 長線于E，CDL AB于D,給出四個(gè)等式：BC=BF-BACD=AD-ABCD=DF- DEBF- BE= BD- BA其中能夠成立的有（）A. 0 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D. 4 個(gè)解析：不正確，由相交弦定理知正確，又由BC=BE- BF, BC=BD- BA得BE- BF=BD- BA故正確.答案：B二、填空題（本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分，滿分 20 分.把正確答案填寫在題中的橫 線上）11._四邊形ABC內(nèi)接于OO若ZBOD=120,OB=1，則ZBAD=_,ZBCD=BCDBCD 的長=解析：Z(BAD=Z 2BO=60

15、,ZBCD=180ZBAD=120,2n由圓的半徑OB=1,ZBO=又；sin/BAC=ACAB=10,2n BCDBCD 的長為綾12.（陜西高考）如圖，在圓0中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E,EFlDB垂足為F,若AB=6，AE=1，則DF- DB=_.解析：由相交弦定理可知ED=AE- EB=1X5= 5，又易知厶EBMAFED相似，得DF- DB=ED=5.答案：513.如圖，00為厶ABC的內(nèi)切圓，AC BC AB分別與O0切于點(diǎn)D, E,F,ZC= 90,AD=3,0O的半徑為 2,貝UBC=_.解析：如圖所示，分別連接OD OE OF/ OE= OD CD= CE OEL BC

16、 ODL AC四邊形OEC是正方形.設(shè)BF=x,貝U BE= x. AD= AF= 3 ,CD= CE=2 ,22 (2 +x) + 25= (x+ 3),解得x= 10 , BC= 12.答案：1214.如圖，AB為OO的直徑，CB切OO于B,CD切OO于D,交AB的延長線于E,若EA=1,ED=2,則BC=_.解析：CE為OO的切線，D為切點(diǎn)，ED=EA-EB又EA=1,ED=2,得EB=4 ,又CB CD均為OO的切線，CD= CB在 RtEBC中 ,設(shè)BC=x,貝UEC=x+ 2.由勾股定理得EB+BC=EC.2 2 2 4 +x= (x+ 2),得x= 3, BC=3.答案：3三、解

17、答題（本大題共 4 個(gè)小題，滿分 50 分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小 題滿分 12 分）如圖，設(shè)AB為OO的任一條不與直線ln_垂直的直徑，P是OO與I的公共點(diǎn)，ACL l,BDL l,垂足分別為C,.D,且PC= PD求證：I是OO的切線；答案：601202n13PB平分/ABD證明：連接0P因?yàn)锳CL I,BDL I,所以AC BD又OA= OB PC= PD所以O(shè)P/ BD,從而OPL I.因?yàn)镻在OO上，所以I是OO的切線.連接AR因?yàn)镮是OO的切線，所以/BPD=ZBAP又/BPDFZPBD=90 ,/BAPFZPBA=90 ,所以/PBA=ZPBD

18、即PB平分/ABD16.(本小題滿分 12 分)(2012 遼寧高考)如圖，OO和OO相交于A, B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C, D兩點(diǎn)，連結(jié)DB并延長交OO于點(diǎn)E證明：(1)AC- BD= AD- AB(2)AC= AE證明：(1)由AC與OO相切于A,得/CAB=ZADB同理/ACB=ZDAB即AC- BD= AD- AB由AD與OO相切于A,得/AED=ZBAD又/ADE=ZBDA得EADAABD從而A|TAD即AE- BD= AD- AB結(jié)合(1)的結(jié)論，ACTAE17.(本小題滿分 12 分)如圖，AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條所以ACBADAB從而AC_ABADTBD14弦，垂足為E,弦BMW CD交于點(diǎn)F.15證明：A, E F,M四點(diǎn)共圓;證明：AC+BFBM=AB.證明：連接AM則/AMB=90./ABL CD/AEF=90./AMB-ZAEF=180,即A,E, F,M四點(diǎn)共圓.連接CB由A E,F,M四點(diǎn)共圓，得BF- BM= BE- BA在 RtACB中 ,BC=BE-BA AC+CB=AB,AC+BF- BM= AB.18.（遼寧高考） （本小題滿分 14 分）如圖，EP交圓于E,C兩點(diǎn)，PD切圓于D, G為CE上一點(diǎn)且PG= PD連接DG并延長交圓于點(diǎn)A,作弦AB垂直EP,垂足為F.求證：AB為圓的直徑；若