第九章_重積分(二重和三重)高數(shù)課件

1、2011-2012學(xué)年高等數(shù)學(xué)第二學(xué)期期中考試說明 題型：題型：一、填空題（一、填空題（5個小題）；二、選擇題（個小題）；二、選擇題（ 5個小題）；三、個小題）；三、計(jì)算題（計(jì)算題（ 5個小題）；四、計(jì)算題（個小題）；四、計(jì)算題（ 5個小題）；五、計(jì)個小題）；五、計(jì)算與解答題（算與解答題（ 2個小題）；六、證明題（個小題）；六、證明題（ 1個小題）。個小題）。 考試時間：考試時間：2012年年5月月4日（第日（第10周周五）下午周周五）下午4：006：00 考試地點(diǎn)：考試地點(diǎn)：化學(xué)工程與工藝化學(xué)工程與工藝6班班、制藥工程、制藥工程12班班： 24-303生物工程生物工程12班班：24-305每

2、章所占分值: 第七、八章第七、八章 空間解析幾何與多元函數(shù)微分空間解析幾何與多元函數(shù)微分 (占23分) 第九章第九章 重積分重積分 (占35分) 第十章第十章 線面積分線面積分 (占42分)一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分重積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分積分學(xué)積分學(xué)二重積分二重積分三重積分三重積分第一類曲線積分第一類曲線積分第二類曲線積分第二類曲線積分第一類曲面積分第一類曲面積分第二類曲面積分第二類曲面積分（細(xì)棒質(zhì)量）（細(xì)棒質(zhì)量）（平面薄板質(zhì)量）（平面薄板質(zhì)量）（曲面薄板質(zhì)量）（曲面薄板質(zhì)量）（空間物體質(zhì)量）（空間物體質(zhì)量）（物質(zhì)曲線質(zhì)量）（物質(zhì)曲線質(zhì)量）（

3、變力作功）（變力作功）（通量）（通量）第九章第九章 重積分重積分1. 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)被積函數(shù)被積函數(shù)相同相同, 且且非負(fù)非負(fù), yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它們的積分域范圍可知由它們的積分域范圍可知312III11xyo例例. 比較下列積分值的大小關(guān)系比較下列積分值的大小關(guān)系:例例. 設(shè)設(shè)D 是第二象限的一個有界閉域是第二象限的一個有界閉域 , 且且 0 y 1, 則則,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小順序?yàn)榈拇笮№樞驗(yàn)?( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIII

4、CIIIBIIIA提示提示: 因因 0 y 0 )的公共部分的公共部分.提示提示: 被積函數(shù)缺被積函數(shù)缺 x , y 原式原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyxo2R(3) 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).zyxzyxfddd),( cos ,sin ,)fz zddd柱面坐標(biāo)本質(zhì)：投影法中的二重積分利用了極柱面坐標(biāo)本質(zhì)：投影法中的二重積分利用了極坐標(biāo)計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算柱面坐標(biāo)適用范圍柱面坐標(biāo)適用范圍：22()(

5、 )yf xyfx積分區(qū)域?yàn)橹w區(qū)域或投影域適用極坐標(biāo)表示;被積函數(shù)為或型o oxyz例例. 計(jì)算三重積分解解: 在柱面坐標(biāo)系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面24原式 =其中其中 為由為由例例. 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍所圍解解: 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原

6、式398a柱面柱面cos2成半圓柱體成半圓柱體.(4). 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).,ZOMMoxyzzr( , , )r 則0200rcossinrx sinsinry cosrz , rOM 令zyxzyxfddd),( sincos , sinsin , cos)f rrrdddsin2rr222: ()f xyz適用范圍積分區(qū)域?yàn)榍蛐螀^(qū)域、被積函數(shù)為型確定確定r, , 的變化范圍的方法的變化范圍的方法:(a) 若若 由兩曲面圍成由兩曲面圍成,其球面坐標(biāo)方程為其球面坐標(biāo)方程為r=r1( , ), r=r2(

7、 , ). 以原點(diǎn)為起點(diǎn)作向量穿過以原點(diǎn)為起點(diǎn)作向量穿過 ,先先遇到的曲面為遇到的曲面為r=r1( , ), 后遇到的曲面為后遇到的曲面為r=r2( , ), 則則r1( , ) r r2( , ). , 的變的變化范圍要由其幾何意義視具體情況確定化范圍要由其幾何意義視具體情況確定.(b)若原點(diǎn)在若原點(diǎn)在 的邊界上的邊界上,以原點(diǎn)為起點(diǎn)所作的穿以原點(diǎn)為起點(diǎn)所作的穿過過 的向量只遇到一片曲面的向量只遇到一片曲面,其球面坐標(biāo)方程其球面坐標(biāo)方程為為r = r ( , ),(c)若若 包含原點(diǎn)包含原點(diǎn),圍成圍成 的曲面方程為的曲面方程為r = r ( , ), 則則0 r r( , ), 0 , 0

8、2 . , 的變化范的變化范圍可根據(jù)它們的幾何意義圍可根據(jù)它們的幾何意義,視具體情況確定視具體情況確定.則則0 r r( , ), 注注: 與用極坐標(biāo)算二重積分類似與用極坐標(biāo)算二重積分類似例例.222(0)xyzaz a:0cos,ra,2020yzxarozyRx例例.2222(0)xyzRR:0,rR0,20例例. 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標(biāo)系下在球面坐標(biāo)系下:zyxzyxddd)(222所圍立體所圍立體.40Rr 020其中其中 與球面與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20d

9、xyzo4Rr 例例. .求由半徑R的球面x2+y2+z22Rz=0和半頂角為的圓錐面ctg2(x2+y2)=z2圍成的立體的體積V,其中位于圓錐面上方,球面下方.解解: :的體積V,用球面坐標(biāo)求這個三重積分.dv0yzxx2+y2+z22Rz=0: r=2Rcos ctg2(x2+y2)=z2: =.知, 0r2Rcos, 0,02.的體積cos202020sinRdrrdddvVdrR0cos20331sin2dR033cossin316033coscos316dR)cos1 (3443R例例. .計(jì)算由兩個半球面,)(22dxdydzyxI.0)0(,222222圍成平面及zbayxaz

10、yxbz解解: :兩球面方程分別為:r=b和r=a,(a 0 )的公共部分的公共部分.提示提示:原式原式 =548059RRzyxo2R22222000cossinRddrrdr2 cos3rr2222202cos3cossinRRddrrdr2 cosrRrR或或 =22223000cossinRddrrdr22cos2222003cossinRddrrdr(5). 利用三重積分的對稱性利用三重積分的對稱性( , , )d0( , , )z2( , , )d( , , )f x y zvf x y zf x y zvf x y z上關(guān)于 為奇函數(shù)關(guān)于z為偶函數(shù)( , , )(),f x y

11、zCxoy設(shè)且域關(guān)于面對稱 則當(dāng)區(qū)域關(guān)于當(dāng)區(qū)域關(guān)于yoz 軸對稱軸對稱, 函數(shù)關(guān)于函數(shù)關(guān)于x 有奇偶性時有奇偶性時, 當(dāng)區(qū)域關(guān)于當(dāng)區(qū)域關(guān)于xoz 軸對稱軸對稱, 函數(shù)關(guān)于函數(shù)關(guān)于y 有奇偶性時有奇偶性時,仍仍有類似結(jié)果有類似結(jié)果.zoxy23. 設(shè)由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計(jì)算.d)(2vzyxI提示提示:4利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標(biāo) rr d420dsin4020d221564例例. 計(jì)算計(jì)算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用對稱性

12、利用對稱性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220重積分計(jì)算的基本方法重積分計(jì)算的基本方法1. 選擇合適的坐標(biāo)系選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面使積分域多為坐標(biāo)面(線線)圍成圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.2. 選擇易計(jì)算的積分序選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少積分域分塊要少, 累次積分易算為妙累次積分易算為妙 .根據(jù)圖形根據(jù)圖形根據(jù)方程根據(jù)方程3. 掌握確定積分限的方法掌握確定積分限的方法 累次積分法累次積分法小結(jié)：小結(jié)：三、重積分的應(yīng)

13、用三、重積分的應(yīng)用1. 幾何方面幾何方面面積面積 ( 平面域或曲面域平面域或曲面域 ) , 體積體積 , 形心形心質(zhì)量質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量, 質(zhì)心質(zhì)心, 引力引力 證明某些結(jié)論等證明某些結(jié)論等 2. 物理方面物理方面3. 其它方面其它方面注：一定要用對稱性結(jié)論注：一定要用對稱性結(jié)論Vzyxzzddd例例. 一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線剖面壁線的方程為的方程為, 30,)3(922zzzx內(nèi)儲有高為內(nèi)儲有高為 h 的均質(zhì)鋼液的均質(zhì)鋼液,解解: 利用對稱性可知質(zhì)心在利用對稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，軸上，,0 yx采用柱坐標(biāo)采用柱坐標(biāo), 則爐壁方程為則爐壁方程為,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此因此故故自重自重, 求它的質(zhì)心求它的質(zhì)心.oxzh若爐若爐不計(jì)爐體的不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為其坐標(biāo)為hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV例例.,)0(, 0)0(,)(存在設(shè)ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐標(biāo)系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得3204)(4limtttftttf