（精心整理）向量的運(yùn)算法則

1、（1）實(shí)數(shù)與向量的運(yùn)算法則：設(shè)、為實(shí)數(shù)，則有：1）結(jié)合律：。2）分配律：，。（2）向量的數(shù)量積運(yùn)算法則：1）。2）。3）。（3）平面向量的基本定理。是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任何一向量，有且僅有一對實(shí)數(shù)，滿足。（4）與的數(shù)量積的計(jì)算公式及幾何意義：，數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積。（5）平面向量的運(yùn)算法則。1）設(shè)，則+。2）設(shè)，則-。 3）設(shè)點(diǎn)A，B，則。4）設(shè)，則。5）設(shè)，則。（6）兩向量的夾角公式：（，）。（7）平面兩點(diǎn)間的距離公式：（A，B）。（8）向量的平行與垂直：設(shè)，且0，則有：1）|。2） （0） ·0。（9）線段的定比分公式：設(shè)，是線段的

2、分點(diǎn)，是實(shí)數(shù)，且，則（）。（10）三角形的重心公式：ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則ABC的重心的坐標(biāo)為。（11）平移公式： 。（12）關(guān)于向量平移的結(jié)論。1）點(diǎn)按向量平移后得到點(diǎn)。2）函數(shù)的圖像按向量平移后得到圖像:。3）圖像按向量平移后得到圖像:，則為。4）曲線:按向量平移后得到圖像:。設(shè)a=（x，y），b=(x'，y')。1、向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。   向量的加法OB+OA=OC。a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的運(yùn)算律：交換律：a+b=b+a；結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+

3、c)。12、向量的減法如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0AB-AC=CB. 即“共同起點(diǎn)，指向被   向量的減法減”a=(x,y)b=(x',y') 則a-b=(x-x',y-y').如圖：c=a-b 以b的結(jié)束為起點(diǎn)，a的結(jié)束為終點(diǎn)。3、向量的數(shù)乘實(shí)數(shù)和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作a，且a=·a。當(dāng)>0時(shí)，a與a同方向當(dāng)<0時(shí)，a與a反方向；   向量的數(shù)乘當(dāng)=0時(shí)，a=0，方向任意。當(dāng)a=0時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)，都有a=0。注：按定義知，如果a=0，那么=

4、0或a=0。實(shí)數(shù)叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量a的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。當(dāng)>1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（>0）或反方向（<0）上伸長為原來的倍當(dāng)<1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（>0）或××反方向（<0）上縮短為原來的倍。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律結(jié)合律：(a)·b=(a·b)=(a·b)。向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.數(shù)乘向量的消去律： 如果實(shí)數(shù)0且a=b，那么a=b。 如果a0且a=a，那么=。

5、24、向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作a,b并規(guī)定0a,b定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量（沒有方向），記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cosa，b（依定義有：cosa，b=a·b / |a|·|b|）；若a、b共線，則a·b=±ab。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b=x·x'+y·y'。向量的數(shù)量積的運(yùn)算律a·b=b·a（交換律）(a)

6、3;b=(a·b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）向量的數(shù)量積的性質(zhì)a·a=|a|的平方。ab =a·b=0。|a·b|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cos| 因?yàn)?|cos|1，所以|a·b|a|·|b|）向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a·b)·ca·(b·c)；例如：(a·b)2a2·b2。2向量的數(shù)量積

7、不滿足消去律，即：由 a·b=a·c (a0)，推不出 b=c。3|a·b|與|a|·|b|不等價(jià)4由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。5、向量的向量積定義：兩個(gè)向量a和b的向量積   向量的幾何表示（外積、叉積）是一個(gè)向量，記作a×b（這里“×”并不是乘號，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“”）。若a、b不共線，則a×b的模是：a×b=|a|·|b|·sina，b；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成

8、右手系。若a、b垂直，則a×b=0。向量的向量積性質(zhì)：a×b是以a和b為邊的平行四邊形面積。a×a=0。a垂直b=a×b=0向量的向量積運(yùn)算律a×b=-b×a（a）×b=（a×b）=a×（b）a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。6、三向量的混合積定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數(shù)量積(a×b)·c，   向量的混合積所得的數(shù)叫做三向量a、b

9、、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c混合積具有下列性質(zhì)：1三個(gè)不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等于以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，并且當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)混合積是正數(shù)；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)，混合積是負(fù)數(shù)，即(abc)=V（當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)=1；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)=-1）2上性質(zhì)的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=03(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)4(a×b)·c=a·(b×c)   7.例題正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相連，L是EH中點(diǎn)，求證LBGK？設(shè)AE=a向量, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'*FH=-a+c+c'+b LB=FH/2-b-c=-a-c+c'