線性代數(shù)全集精品專業(yè)課件

1、1精品 PPT 歡迎下載 可修改課課程程l 線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論課之一。它既是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必修課，也是學(xué)習(xí)其他專業(yè)課的必修課。2精品 PPT 歡迎下載 可修改內(nèi)內(nèi)容容l 線性代數(shù)是研究有限維線性空間及其線性變換的基本理論，包括行列式、矩陣及矩陣的初等變換、線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型等內(nèi)容。l 既有一定的理論推導(dǎo)、又有大量的繁雜運(yùn)算。有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問題和動(dòng)手解決問題的能力。 3精品 PPT 歡迎下載 可修改用用途途l 線性代數(shù)理論不僅為學(xué)習(xí)后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)如國防技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是理工科大學(xué)生的一門重要的

2、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。該課程的特點(diǎn)是：公式多，式子大，符號(hào)繁，但規(guī)律性強(qiáng)，課程內(nèi)容比較抽象，需要學(xué)生具備一定的抽象思維能力，邏輯推理能力，分析問題能力和動(dòng)手解決實(shí)際問題的能力。4精品 PPT 歡迎下載 可修改l 本章主要介紹n階行列式的定義，性質(zhì)及其計(jì)算方法。此外還要介紹用n階行列式求解n元線性方程組的克拉默（Cramer）法則。5精品 PPT 歡迎下載 可修改l1、 二元線性方程組 22221211212111bxaxabxaxa6精品 PPT 歡迎下載 可修改 211211221122211212221121122211)()(abbaxaaaabaabxaaaa7精品 PPT 歡迎下載 可修改l當(dāng)

3、 時(shí)，l求得方程組有唯一解：021122211aaaa211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx8精品 PPT 歡迎下載 可修改 22111121121122221212122211babaabbaDababbaabD2221121121122211aaaaaaaaD9精品 PPT 歡迎下載 可修改 DDxDDx221110精品 PPT 歡迎下載 可修改l9、 人的價(jià)值，在招收誘惑的一瞬間被決定。2022-3-182022-3-18Friday, March 18, 2022l10、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。2022-3-182022-3

4、-182022-3-183/18/2022 8:35:35 PMl11、人總是珍惜為得到。2022-3-182022-3-182022-3-18Mar-2218-Mar-22l12、人亂于心，不寬余請(qǐng)。2022-3-182022-3-182022-3-18Friday, March 18, 2022l13、生氣是拿別人做錯(cuò)的事來懲罰自己。2022-3-182022-3-182022-3-182022-3-183/18/2022l14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月18日星期五2022-3-182022-3-182022-3-18l15、一個(gè)人炫耀什么，說明他內(nèi)心缺少什么。2022年

5、3月2022-3-182022-3-182022-3-183/18/2022l16、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。2022-3-182022-3-18March 18, 2022l17、一個(gè)人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。2022-3-182022-3-182022-3-182022-3-18l例如23)2(435342512精品 PPT 歡迎下載 可修改l9、 人的價(jià)值，在招收誘惑的一瞬間被決定。2022-3-182022-3-18Friday, March 18, 2022l10、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。2022-3-182022-3-182022-3-183/18/2022 8:35

6、:35 PMl11、人總是珍惜為得到。2022-3-182022-3-182022-3-18Mar-2218-Mar-22l12、人亂于心，不寬余請(qǐng)。2022-3-182022-3-182022-3-18Friday, March 18, 2022l13、生氣是拿別人做錯(cuò)的事來懲罰自己。2022-3-182022-3-182022-3-182022-3-183/18/2022l14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月18日星期五2022-3-182022-3-182022-3-18l15、一個(gè)人炫耀什么，說明他內(nèi)心缺少什么。2022年3月2022-3-182022-3-182022-3

7、-183/18/2022l16、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。2022-3-182022-3-18March 18, 2022l17、一個(gè)人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。2022-3-182022-3-182022-3-182022-3xxx14精品 PPT 歡迎下載 可修改104231D1945311D352112D101911DDx22310DxD15精品 PPT 歡迎下載 可修改 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa16精品 PPT 歡迎下載 可修改0333231232221131211aaaaa

8、aaaaD時(shí)，17精品 PPT 歡迎下載 可修改DDxDDxDDx33221118精品 PPT 歡迎下載 可修改3332323222131211aabaabaabD 3333123221131112abaabaabaD 1112132122231323aabDaabaab19精品 PPT 歡迎下載 可修改l 322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD20精品 PPT 歡迎下載 可修改7628439519876543210-357-249-16821精品 PPT 歡迎下載 可

9、修改021515321321321xxxxxxxxx22精品 PPT 歡迎下載 可修改6211151511D182101515111D62011115112D60111511113D311DDx122DDx133DDx23精品 PPT 歡迎下載 可修改nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb1111221121122222112224精品 PPT 歡迎下載 可修改nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnjabaabaabaD122211111nj,2,125精品 PPT 歡迎下載 可修改DDxjjnj, 2 , 1l（1）D=

10、？（怎么算）？l（2）當(dāng)D0時(shí)，方程組是否有唯一解？l（3）若D0 時(shí)，方程組有唯一解，解的形式是否是 26精品 PPT 歡迎下載 可修改l1、全排列l(wèi)用1，2，3三個(gè)數(shù)字可以排6個(gè)不重復(fù)三位數(shù)即： 123，231，312，132，213，32127精品 PPT 歡迎下載 可修改l 一般地，把n個(gè)不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？l這是一個(gè)全排列問題。從n個(gè)元素中任取一個(gè)放在第一個(gè)位置上，有n種取法；l在從剩下的n-1個(gè)元素中任取一個(gè)元素，放在的第二個(gè)位置上有n-1種取法;依此類推，直到最后剩下一個(gè)元素放在最后位置上，只有一種取法；l于是：(1)3 2 1!nPn nn 28精品 PPT

11、 歡迎下載 可修改l對(duì)于n個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序（例如，n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序）。于是，在這n個(gè)元素的任意排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的前后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說產(chǎn)生了一個(gè)逆序逆序，一個(gè)排列中所有逆序的和叫做這個(gè)排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)是奇數(shù)的排列叫做奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列叫做偶排列。 29精品 PPT 歡迎下載 可修改niinttttt121), 2 , 1(niPi12nP PP 不妨設(shè)元素為1至n個(gè)自然數(shù)，并規(guī)定有小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，設(shè) 為這個(gè)自然數(shù)的一個(gè)n級(jí)排列，考慮元素 ，ipipitit如果比 大的，且排在 前面的元素有 個(gè)，說這個(gè)元素的逆序是 個(gè)

12、，全體元素逆序之和即是 的逆序數(shù)，12nP PP30精品 PPT 歡迎下載 可修改l例如，設(shè)排列3 2 5 1 4,其逆序數(shù)為： t = 1 + 3 + 0 + 1 + 0 = 5 當(dāng)我們把上面排列改為 3 1 5 2 4，相當(dāng)于把3 2 5 1 4 這個(gè)排列的第2、4兩個(gè)數(shù)碼對(duì)換（將一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換）。通過計(jì)算可知 3 1 5 2 4 的逆序數(shù)為l t=1+2+0+1+0=4l可見排列 3 2 5 1 4 為奇排列，而 3 1 5 2 4 為偶排列，可見一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性。 31精品 PPT 歡迎下載 可修改l

13、 定義定義1 設(shè)有n2個(gè)數(shù)，排成n行n列的數(shù)表nnnnnnaaaaaaaaa212222111211l 作出表中位于不同行不同列的n個(gè)數(shù)的乘積，并冠以符號(hào)(-1)t，得到形如的項(xiàng)，其中 為自然數(shù)1，2，n，的一個(gè)排列，t 為這個(gè)排列的逆序數(shù)。1212(1)ntPPnPaaa12nPPP 32精品 PPT 歡迎下載 可修改l這樣的排列共有n!個(gè)，所有這些項(xiàng)的代數(shù) 和稱為n階行列式。記為:nnPPPtaaaD2121) 1()det(ijaD l 也可記為:33精品 PPT 歡迎下載 可修改l另一種定義形式為:nnpqpqpqaaaD2211) 1(nqqqtnaaaD2121)1(l 同理，也可

14、以定義為:34精品 PPT 歡迎下載 可修改l（1） 對(duì)角行列式nn212100nnnn212)1(21)1(0035精品 PPT 歡迎下載 可修改l（2） 下（上）三角行列式 nnnnnnaaaaaaaaa2211212221110nnnnnnaaaaaaaaa22112221121136精品 PPT 歡迎下載 可修改l（3） 21111111111111111111110DDbbbbaaaabbccbbccaaaaDnnnnkkkknnnnknnkkkkkkkkkaaaaD11111nnnnbbbbD11112l 其中 ，37精品 PPT 歡迎下載 可修改 2.行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 有

15、了n階行列式的定義，我們就可以計(jì)算n階行列式，在計(jì)算幾種特殊行列式的過程中，發(fā)現(xiàn)直接用定義計(jì)算是非常麻煩。 當(dāng)行列式的階數(shù)較高時(shí)，計(jì)算是十分困難的，為了簡(jiǎn)化n階行列式的計(jì)算，我們這一節(jié)主要研究行列式的性質(zhì)。38精品 PPT 歡迎下載 可修改l l 把行列式的行換成同序數(shù)的列而得到的行列式稱為原行列式的轉(zhuǎn)置行列式。即l nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111稱DT為D的轉(zhuǎn)置行列式39精品 PPT 歡迎下載 可修改l 證證 設(shè)設(shè)nnnnnnTbbbbbbbbbD212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD212

16、22211121140精品 PPT 歡迎下載 可修改 l 由此性質(zhì)可知，行列式的行與列具有相同的地位，行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立，反之亦然。 jiijab 顯然按定義nji,2,1,Dnppptnaaa21211nnppptTbbbD2121141精品 PPT 歡迎下載 可修改kpkpabipjpjpipabab,時(shí)即當(dāng)jik 11121121212,niiinjjjnnnnnaaaaaaDaaaaaa證設(shè)行列式1112112T1212,niiinjjjnnnnnbbbbbbDbbbbbbTDD,是由行列式 變換兩行得到的,ki j當(dāng) 時(shí)42精品 PPT 歡迎下載 可修改l于是

17、njinpjpipptbbbbD1111njinpipjpptaaaa111nijnpjpipptaaaa111nijnpjpipptaaaa1111D43精品 PPT 歡迎下載 可修改l 推論推論 如果行列式有兩行（列）如果行列式有兩行（列）完全相同完全相同,則此行列式等于零則此行列式等于零.l 證證 把這兩行互換，有l(wèi) D=D，故l D=0.44精品 PPT 歡迎下載 可修改l證 設(shè)l l D=nnnniniinaaaaaaaaa2121112111Dnnnniniinaaakakakaaaa21211121145精品 PPT 歡迎下載 可修改故ninpippptakaaaD212111k

18、Dninpippptaaaak2121) 1(46精品 PPT 歡迎下載 可修改l 推論推論 行列式中某一行（列）的所有行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面元素的公因子可以提到行列式的外面.l例如例如5310225111125610245112147精品 PPT 歡迎下載 可修改l 性質(zhì)性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零元素成比例，則此行列式等于零.l例如0321945321264294532148精品 PPT 歡迎下載 可修改nnnjnjnnjjnjjabaaabaaabaaD)()()(12222111111nnnjn

19、njnjabaabaaba122211111nnnjnnjnjaaaaaaaaa12221111149精品 PPT 歡迎下載 可修改例如 計(jì)算221111222112112222111211babaaaaabaabaa50精品 PPT 歡迎下載 可修改333231232221131211aaaaaaaaaD 313332312123222111131211kaaaakaaaakaaaal 例如51精品 PPT 歡迎下載 可修改l例1 計(jì)算3351110243152113D52精品 PPT 歡迎下載 可修改3351110243152113D7216064801120213132 rr151000

20、1080011201131842423rrrr121312153402115133cc解：2141131208465021101627rrrr53精品 PPT 歡迎下載 可修改2500010800112021314534rr4054精品 PPT 歡迎下載 可修改l例例2. 計(jì)算計(jì)算3111131111311113D55精品 PPT 歡迎下載 可修改3111131111311113D31111311113166664321rrrr解：解：56精品 PPT 歡迎下載 可修改311113111131111164862000020000201111141312rrrrrr57精品 PPT 歡迎下載 可

21、修改l例3 計(jì)算dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD361036323423258精品 PPT 歡迎下載 可修改l 解： 從倒數(shù)的二行開始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去。dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD3610363234232cbabaacbabaacbabaadcba36302320059精品 PPT 歡迎下載 可修改l同理，可得：baabaacbabaadcba300200040002000aabaacbabaadcba60精品 PPT 歡迎下載 可修改l例4 計(jì)算321421431432432161精品 PP

22、T 歡迎下載 可修改l解：把所有列都加到第一列上去，然后，從第一列提取公因子，再把第二、三、四行都減去第一行。32142143143243213211021410143104321062精品 PPT 歡迎下載 可修改32112141143143211011102220311043211063精品 PPT 歡迎下載 可修改12010400013003110432122423rrrr64精品 PPT 歡迎下載 可修改余子式和代數(shù)余子式余子式和代數(shù)余子式 在在n階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在第所在第i行和第行和第j列劃去后，留下列劃去后，留下來的來的n1階行列式叫做元素階行列式叫做元素

23、的余子式的余子式.記作記作 .即即 的余子式記作的余子式記作 . 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 ijMijMijjiijMA1.ijaija65精品 PPT 歡迎下載 可修改中元素 的余子式和代數(shù)余子式分別為 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD44434124232114131132aaaaaaaaaM 32M32a例如四階行列式3 232321AM 66精品 PPT 歡迎下載 可修改 引理 設(shè)D為n階行列式，如果D的第i行所有元素除 外，其余元素均為零，那么行列式D等于 與其代數(shù)余子式的乘積，即ijaijaijijAaD 67精品

24、PPT 歡迎下載 可修改證：證：設(shè)nnnjnijnjaaaaaaaD111110068精品 PPT 歡迎下載 可修改nnnjnnijiinijiinjijiaaaaaaaaaaaaa1111111111111100169精品 PPT 歡迎下載 可修改 ijijijijjinnnjnjnnjnijijiijinijijiijinjjjijjiAaMaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa10000111111111111111111111111111111170精品 PPT 歡迎下載 可修改1122 iiiiininDa Aa Aa A 1,2,.in1122 1,2,.jjjjnjnjDa

25、 Aa Aa Ajn71精品 PPT 歡迎下載 可修改證： nnnniniinaaaaaaaaaD21211121172精品 PPT 歡迎下載 可修改nnnniniinaaaaaaaaa212111211000000073精品 PPT 歡迎下載 可修改nnnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa21112110074精品 PPT 歡迎下載 可修改類似地.若按列證明，可得1122 1,2,.iiiiinina Aa Aa Ain1122 1,2,.jjjjnjnjDa AaAa Ajn75精品 PPT 歡迎下載 可修改

26、例1.計(jì)算 3351110243152113D03550100131111115D:解76精品 PPT 歡迎下載 可修改 0551111115133055026115502855261314077精品 PPT 歡迎下載 可修改 例2 計(jì)算dcdcdcbababaDn0000278精品 PPT 歡迎下載 可修改 解: 按第一行展開00100122cdcdcbababddcdcbabaaDnn79精品 PPT 歡迎下載 可修改以此作遞推公式，即可得122nnDbcadD21Dbcadndcbabcadn 1nbcad222nDbcad12112121nnnDbcadD1212nnbcDadD12)

27、(nDbcad80精品 PPT 歡迎下載 可修改,1111112112222121jijinnnnnnnnxxxxxxxxxxxD其中記號(hào)“”表示全體同類因子的乘積. 1,1111112112222121jijinnnnnnnnxxxxxxxxxxxD81精品 PPT 歡迎下載 可修改所以當(dāng)n=2時(shí)（1）成立. 現(xiàn)在假設(shè)（1）對(duì)于n1階Vandermonde行列式，即jijinnnnnnnxxxxxxxxD222322321111jijixxxxxxD12122121182精品 PPT 歡迎下載 可修改 我們來證明對(duì)n階Vandermonde行列式也成立.1213231222113312211

28、3120001111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn83精品 PPT 歡迎下載 可修改 223223211312111nnnnnnxxxxxxxxxxxx11312xxxxxxnjijinxx 2jijinxx184精品 PPT 歡迎下載 可修改12543254325432111133332222D例4.計(jì)算85精品 PPT 歡迎下載 可修改 推論 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即, 02211jiAaAaAajninjiji或 , 02211jiAaAaAanjnijiji86精品 PPT 歡迎下載 可修改 證

29、: 設(shè)nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD2121211121187精品 PPT 歡迎下載 可修改nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211jnjnjjjjAaAaAa221188精品 PPT 歡迎下載 可修改iniiaaa,21,21jnjjaaa得nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaa21212111211jninjijiAaAaAa2211ji 89精品 PPT 歡迎下載 可修改同理可證, 02211jiAaAaAajninjiji, 02211jiAaAaAanjnijiji90精品 PPT 歡迎下載 可修改綜合定理1和推論有

30、.,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)其中 或kjnkkiAa11 j , 0 j; nikjkijkDia ADi當(dāng)當(dāng) j , 0 j; ijDiDi當(dāng)當(dāng)91精品 PPT 歡迎下載 可修改例5已知行列式 求 , 其中 是D的第4行元素的代數(shù)余子式.解： 3245543211114321D44434241AAAA44434241,AAAA44434241AAAA4142434411110AAAA 92精品 PPT 歡迎下載 可修改 4.克拉默法則克拉默法則 一.非齊次線性方程組的克拉默法則nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1) 設(shè)非齊次

31、線性方程組93精品 PPT 歡迎下載 可修改njDDxjj,2, 1,(3)則線性方程組(1)有唯一解 若(1)的系數(shù)行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD(2)94精品 PPT 歡迎下載 可修改njDDxjj,2,1,njDDxjj,2, 1,., 2 , 1,2211nibxaxaxaininii.,2, 1,2211nibDDaDDaDDaininii 即證明：等式成立證明： 先證 是（1）的解， 要證 是（1）的解，只須證明（3）滿足（1）即可，為此把（1）改寫成：95精品 PPT 歡迎下載 可修改nnnjnninijiinjinijiinaaabaaabaa

32、abaaabD111111111 做n+1階行列式顯然 . 把 按第一行展開.需要求出第一行每個(gè)元素的代數(shù)余子式.第一行元素 的代數(shù)余子式為:01nD1nDija96精品 PPT 歡迎下載 可修改所以022111niniiinDaDaDaDbD即的解是這說明) 1 (, 2 , 1, 2 , 12211njDDxnibDDaDDaDDajjininiinnjnnjnnnjjjjaabaaaabaa1,1,111, 111, 11112) 1() 1(., 2 , 1) 1() 1(12njDDjjjjnnjnjnnnnjjjijaaaabaaaabA1,1,111, 11, 111111) 1

33、(97精品 PPT 歡迎下載 可修改 再證唯一性.假設(shè) 也是(1)的解.在(2)兩端同時(shí)乘以njcxjj, 2 , 1,jcnnjnjnnjjjacaaacaaDc11111nnnnnjnjnnnnnjjacacacaaacacacaa)()(1111111111198精品 PPT 歡迎下載 可修改由于 , 所以故線性方程組(1)有唯一解(3).0D.,2, 1njDDcjjjnnnnnDabaaba1111199精品 PPT 歡迎下載 可修改例1.解方程組067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解:6741212060311512D127702120

34、60311357012772121357277010353.272733100精品 PPT 歡迎下載 可修改8167402125603915181D10867012150609115822D2760412520693118123D2707415120903185124D101精品 PPT 歡迎下載 可修改 定理2.如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式D不等于0,則(1)有唯一的解. 定理 .如果線性方程組(1)無解或有多個(gè)解，則它的系數(shù)行列式必為0.于是得原方程組的解為11434321xxxx2102精品 PPT 歡迎下載 可修改 二.齊次線性方程組的克拉默法則 設(shè)齊次線性方程組000221122

35、221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(4) 若(4)的系數(shù)行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD(5)則(4)沒有非零解.103精品 PPT 歡迎下載 可修改. 定理 .如果齊次線性方程組(4)有非零解,則它的系數(shù)行列式必為0。 定理3.如果齊次線性方程組(4)的系數(shù)行列式D不等于0,則齊次線性方程組(4)沒有非零解. 例2. 問 在什么條件下,方程組002121xxxx有非零解？3104精品 PPT 歡迎下載 可修改 解：由定理 知，若方程組有非零解，則其系數(shù)行列式必為零。 所以，當(dāng) 或 時(shí)，上面方程組有非零解。111,10

36、1011212D3105精品 PPT 歡迎下載 可修改例3 設(shè)非齊次線性方程組12312321231xxxxxxxxx問 為何值時(shí)，該方程組有唯一解，并求其解。解：方程組的系數(shù)行列式為111111（ +2）2(1)顯然當(dāng) 2， 1時(shí)，方程組有唯一解。D=106精品 PPT 歡迎下載 可修改1211111D2(1) (1) 2211111D2(1)3211111D22(1) (1)107精品 PPT 歡迎下載 可修改11DxD1222DxD22(1)(1) (2)12222(1) (1)(1) (2)2(1)233DxD22(1) (1)(1) (2)108精品 PPT 歡迎下載 可修改行列式主

37、要知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)圖行列式主要知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)圖概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列一般項(xiàng)是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和.互換行列式的兩行(列)，行列式變號(hào)。某行有公因子可以提到行列式的外面。若行列式中某一行(列)的所有元素均為兩元素之和，則 該行列式可拆成兩個(gè)行列式.某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變。TDD 行列式知識(shí)點(diǎn)性質(zhì)nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212222111211) 1(109精品 PPT 歡迎下載 可修改展開計(jì)算行展開列展開nkkjkijijiDAa10nkjkikjijiDAa10定義法遞推法加邊法數(shù)學(xué)歸納法公式法拆項(xiàng)法乘積法析因子法齊次線性方程組

38、有非零解的充要條件克拉默法則應(yīng)用110精品 PPT 歡迎下載 可修改第二章 矩陣及其運(yùn)算1 矩陣一、矩陣概念 定義定義1.mnmmnnaaaaaaaaa212222111211), 2 , 1;, 2 , 1(njmianmij個(gè)數(shù)由列的數(shù)表行排成nm,列矩陣行稱為nm.矩陣簡(jiǎn)稱nm 111精品 PPT 歡迎下載 可修改 為表示它是一個(gè)整體 , 在這數(shù)表的兩邊用大圓括 弧把它范圍起來，并用大寫黑體字母表示:mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211112精品 PPT 歡迎下載 可修改 例例1 1.某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品，其發(fā)送的數(shù)量和單價(jià)及單件的重量都可用矩陣來刻劃. 若用

39、表示為工廠向第 i 店發(fā) 送第 j 種產(chǎn)品數(shù)量，則矩陣ija343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA 表示了工廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量.113精品 PPT 歡迎下載 可修改4241323122211211bbbbbbbbB表示了這四種產(chǎn)品的單價(jià)及單件重量.,1種產(chǎn)品的單價(jià)表示第若用ibi種產(chǎn)品單件的重量表示第ibi 2:則矩陣114精品 PPT 歡迎下載 可修改01ija0101001000011110A4213 例2. 四個(gè)城市間的單向航線如下圖所示. 若令 從i市到j(luò)市有一條單向航線 從 i 市到 j 市沒有單向航線 則圖中的航線用矩陣表示為 115

40、精品 PPT 歡迎下載 可修改 例3.mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay2211222212121212111112,nnx xxm個(gè)變量與 個(gè)變量12,myyy之間的關(guān)系式1212,nmijijx xxy yyaa表示了一個(gè)從變量到變量的線性變換其中 為常數(shù) 這個(gè)線性變換的系數(shù) 構(gòu)成矩陣116精品 PPT 歡迎下載 可修改二、矩陣的表示方法等可用一個(gè)大寫字母表示EDCBA,:. 1tsnmBA,:. 2表示用大寫字母加上下角標(biāo)表示或nmijijaAaA)()(.3三.幾種特殊的矩陣1.方陣nnnnnnaaaa

41、aaaaaA212221211211117精品 PPT 歡迎下載 可修改2.上三角矩陣nnnnaaaaaaA000222112110001222111211nnbbbbbbB 3.下三角矩陣nnnnnnaaaaaB21210000nnnnaaaaaaA21222111000118精品 PPT 歡迎下載 可修改 4.對(duì)角矩陣n000000215.單位矩陣100010001E119精品 PPT 歡迎下載 可修改6.行矩陣),(11211naaaA 7.列矩陣12111mbbbB8.零矩陣000000000O120精品 PPT 歡迎下載 可修改 9.負(fù)矩陣 10.同型矩陣 兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相

42、同的矩陣稱為同型矩陣.為同型矩陣和如nmnmBA 11.對(duì)稱矩陣 12.反對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣則稱且設(shè)AaaaAjiijnnij,)(為反對(duì)稱矩陣則稱且設(shè)AaaaAjiijnnij,)(),()ijm nijm naaAaA 設(shè)稱為矩陣 的負(fù)矩陣121精品 PPT 歡迎下載 可修改2.矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法1、定義 定義2 設(shè)有兩個(gè)mn矩陣 A B 那末矩陣 A 與 B 的和記作 A + B , 規(guī)定為)( ),(ijijbaA + B =mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111矩陣的 減法：A B = A + (B )122

43、精品 PPT 歡迎下載 可修改2、運(yùn)算律 矩陣的加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律設(shè) A、B、C 都是 mn 矩陣:1） A + B = B + A2）（A + B）+ C = A +（ B + C ）3） A +（A）= A A = 0二、數(shù)與矩陣相乘1、定義 定義3 數(shù) 與矩陣的乘積,記作 A 或A,規(guī)定為A = A =mnmmnnaaaaaaaaa212222111211123精品 PPT 歡迎下載 可修改2、運(yùn)算律 數(shù)乘矩陣滿足下列運(yùn)算規(guī)律設(shè) A、B 為 mn 矩陣，、為數(shù)：2） （ ) A = A + A；1） （）A = ( A ) 3） ( A + B ) = A + B 這樣定義矩陣加法和數(shù)

44、乘矩陣的運(yùn)算，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.124精品 PPT 歡迎下載 可修改 三、矩陣與矩陣相乘 1、定義 定義4 設(shè) A =（aij)ms , B = ( bij )sn 矩陣，那末規(guī)定矩陣 A與矩 B 的乘積是一個(gè)mn矩陣C = ( c ij )mn 。其中即 A B = C.1(1,2,;1,2),sikkjka bim jn1 122ijijijissjca ba ba b125精品 PPT 歡迎下載 可修改注意：ijkjskikcba11212jjiiissjbbaaab1 122ijijissja ba ba b126精品 PPT 歡迎下載 可修改例1.求矩陣2012130143110

45、2311014 A =B =與的乘積AB127精品 PPT 歡迎下載 可修改 C AB20121301431102311014 1199129解：128精品 PPT 歡迎下載 可修改例2. 設(shè)矩陣21426342A =B =求AB與BA。129精品 PPT 歡迎下載 可修改AB =214263421683216634221420000解：BA=130精品 PPT 歡迎下載 可修改2. 運(yùn)算律 1) 矩陣的乘法一般不滿足交換律 2) （AB）C = A（BC） 3) (AB) = (A) B = A( B),( 其中為數(shù) );4) A ( B + C ) = AB + AC ( B + C )

46、A = BA + CA131精品 PPT 歡迎下載 可修改3. 設(shè)E為單位矩陣EA = AE = A或簡(jiǎn)寫成,mm nm nE AAm nnm nAEA132精品 PPT 歡迎下載 可修改4、方陣的冪運(yùn)算 設(shè) A為 n 階方陣. k , l 為正整數(shù)kkAAAA )1lklkAAA )2kllkAA)( )3:.kkkABA B注 一般說來133精品 PPT 歡迎下載 可修改如AB4241323122211211343332312423222114131211bbbbbbbbaaaaaaaaaaaa23)(ijcC 其中 是向第 i 店所發(fā)產(chǎn)品的總值 , 是向第 i店所發(fā)產(chǎn)品的總重量。C 表示

47、為向三個(gè)商店所發(fā)產(chǎn)品的總值及總重量所構(gòu)成的矩陣。1ic2ic134精品 PPT 歡迎下載 可修改,0101001000011110A 則 A2 表示從 i 市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到 j 市的單向航線的條數(shù)構(gòu)成的矩陣。又如22110011110000211A 1243135精品 PPT 歡迎下載 可修改四、矩陣的轉(zhuǎn)置1、定義 定義5 把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的矩陣,叫做 A 的轉(zhuǎn)置矩陣,記作 AT。,654321A.635241TA例如136精品 PPT 歡迎下載 可修改2.運(yùn)算律; )2TTTBABA; )3TTAA. )4TTTABAB;)( ) 1AATT137精品 PPT 歡迎下載 可修

48、改這里僅證明4）設(shè) A = ( aij )ms , B = ( bij )sn 。ABC = ( cij )mn ， BTAT = D = ( dij )nm。 顯然，要證明（ AB )T = BTAT, 只須證明 cji = dij 即可。138精品 PPT 歡迎下載 可修改因?yàn)閟ijsijijjibababac2211jssijijiababab2211ijd).,2,1;,2,1(mjni.,TTTTABABCD也就是即139精品 PPT 歡迎下載 可修改例3.已知201,132A171423201,B( AB )T。140精品 PPT 歡迎下載 可修改解法1：因?yàn)锳B =1013173

49、1401031314170 所以TAB102324171231102141精品 PPT 歡迎下載 可修改.1031314170解法2：ABBATT311 2142精品 PPT 歡迎下載 可修改 有了轉(zhuǎn)置矩陣的定義后，顯然有A為對(duì)稱矩陣，A為反對(duì)稱矩陣，; TAA 則. TAA則143精品 PPT 歡迎下載 可修改 例例4 試證任意n階方陣都可分解為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。證證 由于A = (A + A + ATAT )= (A + AT + AAT )22TTAAAA ()22TTTTTAAAA TA+A 2因?yàn)?)22TTTTTAAAATAA2故A等于對(duì)稱

50、矩陣 與反對(duì)稱矩陣 之和。TA + A2TAA2144精品 PPT 歡迎下載 可修改例例5：設(shè)列矩陣12nxxx X = 滿足XTX = 1，E為 n 階的單位矩陣，H = E 2XXT,證明 H 是對(duì)稱矩陣，且 HHT = E 。145精品 PPT 歡迎下載 可修改證明:TTT)(2XXE,2THXXE所以H是對(duì)稱矩陣.TTT(2)HEXX146精品 PPT 歡迎下載 可修改2T2T)2(XXEHHH)(44TTTXXXXXXETTT)(44XXXXXXETT44XXXXEE147精品 PPT 歡迎下載 可修改 五、方陣的 行列式 1、定義 定義6 由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的

51、位置不變），稱為方陣A的行列式，記作 |A| 或 detA 。148精品 PPT 歡迎下載 可修改2、運(yùn)算律;).1TAA;).2AAnBAAB).3149精品 PPT 歡迎下載 可修改 我們僅證明3），設(shè)A = (aij), B = (bij)。記 2n 階行列式11111111011nnnnnnnnaaaabbbb D =AOEB 150精品 PPT 歡迎下載 可修改 顯然，D = |A|B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ， ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （ j = 1 , 2 , , n ) , 有D=1112111 1112

52、 211111 112 212122221 1122 212121 122 22121 112 2111 12 21 00010nn nnnn nnnn nnnn nnnnnnnnnn nnnnnnn nnaaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba b 0001 151精品 PPT 歡迎下載 可修改0ACDE 其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+ainbnj ,故 C = AB。再對(duì) D 的行作 rj rn+j （j = 1, 2, , n ），有0( 1),nEDAC 從而有

53、D = ( 1 )n|E|C| = ( 1 )n( 1 )n| C | = | C | = | AB |。于是 | AB | = | A | | B |152精品 PPT 歡迎下載 可修改 例例6：設(shè)A , B 均為 n 階方陣且, 1,TTBAEBBEAA.0 BA則證BAABABBATTBABA)(TTBBAAT)(BAB2BA .0 BA故153精品 PPT 歡迎下載 可修改 例例7 設(shè) A 是 n 階反對(duì)稱矩陣，B 是 n 階對(duì)稱矩陣，則 AB + BA 是 n 階反對(duì)稱矩陣。證證 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T= BTAT + ATBT= BAAB= （ A

54、B + BA ）所以， AB + BA 為 n 階反對(duì)稱矩陣。154精品 PPT 歡迎下載 可修改例例 8 設(shè)1213112 ,3 令 A = T, 求 An 及| An|。解 11232332111121,2123331 155精品 PPT 歡迎下載 可修改An = ( T )n = TTT T= 3n-1A| An | = | 3n-1A | = (3n-1)n| A | 1123123321(3) 2131nn = 0156精品 PPT 歡迎下載 可修改六、共軛矩陣1、定義 定義7 設(shè)A= 為復(fù)矩陣， 表示 的共軛復(fù)數(shù)，記 )(ijaija).(ijaAija則 稱為A的共軛矩陣。A15

55、7精品 PPT 歡迎下載 可修改2.運(yùn)算律 設(shè) A 、B 為復(fù)矩陣， 為復(fù)數(shù).; )1BABA. )3BAAB2) AA 158精品 PPT 歡迎下載 可修改七、 可換矩陣及方陣多項(xiàng)式1、可換矩陣設(shè) A、B 均為n階方陣，若 AB = BA ，則稱是可換的可換的。例例 9 設(shè)12,.1132abAB 若矩陣 A與 B 可交換，求 a ,b 的值 。解解 由于 AB = BA ，即159精品 PPT 歡迎下載 可修改1212113 23 211a ba b 6423524aabbabab 亦 即故 a = 8 , b = 6 。6423254abababab 即160精品 PPT 歡迎下載 可修

56、改 例例10 設(shè)100020003A 求與 A 可交換的所有矩陣。123123123xxxXyyyzzz A 與可交換，即有解解 設(shè)161精品 PPT 歡迎下載 可修改1231231231231231231 0 01 0 00 2 00 2 00 0 30 0 3xxxxxxyyyyyyzzzzzz 于是123123123123123123232222333323xxxxxxyyyyyyzzzzzz 從而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 , 2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 , 3z1 = z1 , 3z2 = 2z2 ,162精品 PPT 歡迎下載 可修改即 x2 = x3

57、= y1 = y3 = z1 = z2= 0 ,所以，與可交換的任一矩陣是000000abc其中 a ，b，c 為任意實(shí)數(shù)。163精品 PPT 歡迎下載 可修改2、方陣多項(xiàng)式 設(shè)有 n 階矩陣 A 和多項(xiàng)式 f ( ) = amm + am-1m-1 + + a1 + a0規(guī)定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + + a1A + a0稱 f ( A ) 為方陣 A 的矩陣多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式。例例11 設(shè)有多項(xiàng)式 f () = 2 3 + 2和矩陣112011121A 求矩陣多項(xiàng)式 f (A) 。 164精品 PPT 歡迎下載 可修改解解 因?yàn)?11211201101112

58、1121A3363033363A 325112231 165精品 PPT 歡迎下載 可修改則f (A) = A2 3A + 2E3253362 0 01120330 2 02313630 0 2 251121.130 166精品 PPT 歡迎下載 可修改練習(xí)：1.計(jì)算下列矩陣的乘積.;21312 ) 2( ;123321 ) 1 (. ) 3 (321333231232221131211321xxxaaaaaaaaaxxx2.11410,1102 PAPP 設(shè)其中.A 求167精品 PPT 歡迎下載 可修改第七講3.逆矩陣一.逆矩陣 定義8. 設(shè) A 為 n 階方陣，如果有一個(gè) n 階方陣 B

59、，使 AB = BA = E,則稱矩陣 A 是可逆的，并把矩陣 B 稱為 A 的逆矩陣.A的逆記之為A-1.168精品 PPT 歡迎下載 可修改二. 逆矩陣是唯一的. 證明：設(shè) B 和 C 都是 A 的逆矩陣，則 B = BE = B (AC ) = ( BA ) C = EC = C所以A的逆矩陣是唯一的.169精品 PPT 歡迎下載 可修改三三. 逆矩陣的有關(guān)定理逆矩陣的有關(guān)定理 定理1. 方陣 A 可逆的充分必要條件是 |A| 0 ,且,1 1AAA其中nnnnnnAAAAAAAAA212221212111A 稱為 A 的伴隨矩陣. A*中元素是A 的所有元素的代數(shù)余子式.170精品 P

60、PT 歡迎下載 可修改證明： 必要性: 因?yàn)锳可逆，則有 ,使 1AEAA 111EAA.0 A所以171精品 PPT 歡迎下載 可修改充分性: 由于AAnnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaa212221212111212222111211AAA000000EA172精品 PPT 歡迎下載 可修改同理 所以.EAAAAA因?yàn)?0AEAAAAAA.11AAA所以由定義，知A AA E, 173精品 PPT 歡迎下載 可修改推論：若 AB = E (或 BA = E），.1 AB則證明：. 1EBA,0A1ABAAEBB)(1EAABA11)(故因而存在，于是1A174精品