D63三重積分1計算

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三節(jié)3、球面坐標(biāo)系下、球面坐標(biāo)系下三重積分的計算 第六章 2、柱面坐標(biāo)系下、柱面坐標(biāo)系下1、直角坐標(biāo)系下、直角坐標(biāo)系下目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 復(fù)習(xí)、三重積分的概念復(fù)習(xí)、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),),(Czyx求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義. 設(shè),),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf

2、),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx若對 作任意分割任意分割: 任意取點(diǎn)任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在 上的三重積分三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì)性質(zhì): 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf設(shè)在有界閉域 上連續(xù),則存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 為 的體積, 積和式” 極限記作記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 利用直角坐標(biāo)計算三重積分利用直角坐標(biāo)計算三重積分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”)

3、 方法方法3 . 三次積分法 ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù) , 方法:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為),(2yxzz ),(1yxzz 微元線

4、密度記作yxddO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為zD以該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(bazDyxzyxfdd),(zDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作xyzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 投影法方法方法3. 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzz

5、yxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號時, 因?yàn)?,(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均為為非負(fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計算.2),(),(zyxfzyxf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中 為三個坐標(biāo)例例1. 計算三重積分,dddzyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域 .解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dx

6、y10d xx481面及平面1xyz121O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz例例2. 計算三重積分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2222(1)dcczzabzc czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3 1,:,22zyxzdxdydz解一解一之之間間介介于于1, 0 zz zyxzD 22: )( 10)(zDdxdydzdxdydz 102 zdz先重后單先重后單目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Drdrrddxdyyx2010

7、2222)1(4)1( 解二解二 先單后重先單后重將將 投影到投影到 xoy 面得面得D 122 yx221Dxydxdydzdz dxdy 例例3 1,:,22zyxzdxdydz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2()2222,(.),VIz dvxyvzzhab計算三重積分其中由所圍例例4xyzoh)(z2( )dvIzv20()zhz dzdxdy20hzzdz41.4abh20hzabzdz解解目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14oxyabc解法一解法一(.)zzzv用平面去截得()z22()2zabczc2( )dvzv0cdz20czzdz2220()2cabzczdzc532230.

8、06abcabcc例例52( ):d ,( ):.1vxyzzv vabc用兩種積分次序分別求解三重積分由與三坐標(biāo)面所圍z2()dzz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 oxyabc解法二解法二( )().xyvxoy將向面投影得)(xy0(1. )xyzcab則2( )dvzv()dxy33()1(1) d3xyxycab301d3acx3401(1)12axbcdxa3.60abcz(1)20dxycabzz (1)30(1)xbaxydyab目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例62222111211()dddxxxyxyxz計算I=解2( )dvIxv2212()dxyxz222()1dxyxx

9、y222()cos1 d dxyrrr r220cosd ()dxy1350()drrroxyr11146目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1)( , , ):( , , ),( , , ),( , , )(1)( , , ), ( , , ), ( , , )( , , )(2)( , , )0;( , , )(3):( , , )d d ( , , ),VVf x y zVTxx u v wyy u v w zz u v wVVx u v w y u v w z u v wCx y zVJ u v wu v wT VVf x y zx yf x u v w y定理 設(shè)在有界閉域上連續(xù)，變換將

10、有界閉域變?yōu)?，且滿足；在上雅可比式變換是一對一的，則有dz( , , ), ( , , ( , , ) d d d .u v w z u v w J u v wu v w2. 利用柱坐標(biāo)計算三重積分利用柱坐標(biāo)計算三重積分 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz,),(3RzyxM設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).z200sinyzz cosx直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常數(shù)坐標(biāo)面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面z),(zyxM)0 ,(yxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為zvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,c

11、os(),(zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單方程簡單 ;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離變量互相分離.zdddzzddddxyzddO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2axyzO其中 為例例7. 計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解解: 在柱面坐標(biāo)系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面zvdddd20dazz0dzzddd2原式298a由柱面cos2圍成半圓柱體.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 OOxyz例例8. 計算三重積分解解: 在柱面坐標(biāo)系下h:hz42dhh20

12、22d)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中 由拋物面42zvdddd原式 =目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解22243zz1,3,z222222: ( , ):03,43xyx yDxyxyzxy，222234xyxyDIdxdyzdz.134xyzo222229,43Izdxdydzxyzxyz例 計算其中 是球面與拋物面所圍的立體.42329001(4)2dd 429142Dd d 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 利用球坐標(biāo)計算三重積分利用球坐標(biāo)計算三重積分 ,),(3Rzyx

13、M設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,zOMzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標(biāo)面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz MxyzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 rddrdd如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為dddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單方程簡單;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相分離變量互相分離.dddsin2rrxyzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzO例例10. 計算三重積分,ddd)(222zyxzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標(biāo)系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)