等腰三角形中的分類討論問題

1、關(guān)于等腰三角形中分類討論問題的探討所謂分類討論思想，就是在解答數(shù)學(xué)題時(shí)有時(shí)無法用同一種形式去解決，而需要選定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)將問題劃分成幾個(gè)能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一解決，從而使問題得到解決，這就是分類討論的思想。對(duì)于分類討論問題，初中教學(xué)階段雖然沒有對(duì)此方面的教學(xué)要求，但是需要用分類討論的思想去解決的問題卻經(jīng)常遇見，華東師大版七年級(jí)下冊(cè)教材中典型的分類討論問題是在“等腰三角形”一節(jié)中，主要有由于幾何圖形性質(zhì)不明確而需分類討論的問題和幾何圖形之間的位置關(guān)系不明確而需分類討論的問題。下面舉例簡要論述這兩類問題：一、當(dāng)腰長或底邊長不能確定時(shí)，必須進(jìn)行分類討論例1、（1）已知

2、等腰三角形的兩邊長分別為8cm和10cm，求周長。（2）等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，求周長。分析：由等腰三角形的性質(zhì)可知我們?cè)诮獯祟}前，必須明確所給的邊的定義，在這里哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”不明確，而且還要考慮到三條線段能夠構(gòu)成三角形的前提，因此必須進(jìn)行分類討論。解（1）因?yàn)?+8>10，10+10>8，則在這兩種情況下都能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長為8時(shí)，周長為8+8+10=26；當(dāng)腰長為10時(shí)，周長為10+10+8=28；故這個(gè)三角形的周長為26cm或28cm。解（2）當(dāng)腰長為3時(shí)，因?yàn)?+3<7，所以此時(shí)不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長為7時(shí)，因?yàn)?+7>3，所以

3、此時(shí)能構(gòu)成三角形，因此三角形的周長為：7+7+3=17；故這個(gè)三角形的周長為17cm。注意：對(duì)于此類題目在進(jìn)行分類討論時(shí)，必須運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系來驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形。二、當(dāng)頂角或底角不能確定時(shí)，必須進(jìn)行分類討論例2、等腰三角形的一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍，求它的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；分析：題目沒有指明“頂角是底角的4倍”，還是“底角是頂角的4倍”因此必須進(jìn)行分類討論。解：（1）當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時(shí)，設(shè)頂角為x，則底角為4x， 4x+4x+x=1800， x=200， 4x=800，于是三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：200，800，800。（2）當(dāng)頂角是底角的4倍時(shí)，設(shè)底角為x，則頂角為4x， x+x+4

4、x=1800， x=300， 4x=1200，于是三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：300，300，1200。故三角形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為200，800，800或300，300，1200。例3、已知等腰三角形的一個(gè)外角等于1500，求它的各個(gè)內(nèi)角。分析：已知等腰三角形的一個(gè)外角等于1500，有兩種情況：與一個(gè)底角相鄰的外角等于1500；與頂角相鄰的外角等于1500。因此需要分類討論；解：（1）當(dāng)頂角的外角等于1500時(shí)，則頂角=1800-1500=300，每個(gè)底角=（1800-頂角）÷2=750；（2）當(dāng)?shù)捉堑耐饨堑扔?500時(shí)，則每個(gè)底角=1800-1500=300；頂角=1800-底角2=1

5、800-3002=1200；故三角形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為300，750，750或1200，300，300。三、當(dāng)高的位置關(guān)系不確定時(shí)，必須分類討論例4、等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為250，求這個(gè)三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。分析：由于題目中的“另一邊”沒有指明是“腰”還是“底邊”，因此必須進(jìn)行分類討論，另外，還要結(jié)合圖形，分高在三角形內(nèi)還是在三角形外。解：設(shè)AB=AC，BDAC；（1）高與底邊的夾角為250時(shí)，高一定在ABC的內(nèi)部，如圖1，DBC=250，C=900-DBC=900-250=650， ABC=C=650，A=1800-2×650=500。（2）當(dāng)高與另一腰的夾角為250

6、時(shí)， 圖1 如圖2，高在ABC內(nèi)部時(shí)， 當(dāng)ABD=250時(shí)，A=900-ABD=650， C=ABC=（1800-A）÷2=57.50； 如圖3，高在ABC外部時(shí)，ABD=250， 圖2BAD=900-ABD=900-250=650， BAC=1800-650=1150， ABC=C=（1800-1150）÷2=32.50 故三角形各內(nèi)角為：650，650，500或650，650，57.50或1150，32.50，32.50。 四、由腰的垂直平分線所引起的分類討論 圖3例5、在三角形ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為400，求底角B的

7、度數(shù)。分析：題目中AB邊上的垂直平分線與直線AC相交有兩種情形； 圖4解：（1）如圖4，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點(diǎn)D，ADE=400，則A=900-ADE=500， AB=AC， B=（1800-500）÷2=650。（2）如圖5，AB邊的垂直平分線與直線AC的反向延長線交于點(diǎn)D，ADE=400，則DAE=500， 圖5BAC=1300，AB=AC，B=（1800-1300）÷2=250， 故B的大小為650或250。五、由腰上的中線引起的分類討論例6、等腰三角形底邊為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，求腰長。分析：如圖6，由于題目中的“一腰上的中線

8、把其周長分為兩部分的差為3cm”，沒有指明是“（AB+AD）-（BC+CD）”還是“（BC+CD）-（AB+AD）”的“差為3cm”，因此必須分兩種情況討論。 圖6解：如圖6， BD為AC邊上的中線，AD=CD，（1）當(dāng)（AB+AD）-（BC+CD）=3時(shí)，則AB-BC=3， BC=5 AB=BC+3=8； （2）當(dāng)（BC+CD）-（AB+AD）=3時(shí)，則BC-AB=3，BC=5 AB=BC-3=2； 但是當(dāng)AB=2時(shí)，三邊長為2，2，5；而2+2<5，不合題意，舍去；故腰長為8。六、幾何圖形之間的位置關(guān)系不明確而需分類討論的問題例7、已知C、D兩點(diǎn)在線段AB的中垂線上，且ACB=500

9、，ADB=800，求CAD的度數(shù)。分析：由于點(diǎn)C、D可以在線段AB的同側(cè)也可以在線段AB的兩側(cè)，因此要分兩種情況進(jìn)行討論。解：（1）如圖7，當(dāng)C、D兩點(diǎn)在線段AB的同側(cè)時(shí)，C、D兩點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，CA=CB，CAB是等腰三角形，又CEAB， 圖7CE是ACB的角平分線，ACE=BCE，而ACB=500，ACE=250，同理可得ADE=400，CAD=ADE-ACE=400-250=150。（2）如圖8，當(dāng)C、D兩點(diǎn)在線段AB的兩側(cè)時(shí)，同（1）的方法可得ACE=250，ADE=400，于是CAD=1800-（ADE+ACE）=1800-（400+250）=1800-650=1150。

10、 圖8故CAD的度數(shù)為150或1150。例8、如圖9，已知ABC中，BC>AB>AC，ACB=400，如果D、E是直線AB上的兩點(diǎn)，且AD=AC，BE=BC，求DCE的度數(shù)。 圖9分析：因?yàn)樵诓坏冗匒BC中，D、E是直線AB上的兩點(diǎn)，所以點(diǎn)D、E可以在點(diǎn)A的同側(cè)，也可以在點(diǎn)A的兩側(cè)，因此需要分類討論。解：（1）當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的同側(cè)，且都在BA的延長線上時(shí)，如圖10， 圖10 圖11BE=BC， BEC=（1800-ABC）÷2， AD=AC， ADC=（1800-DAC）÷2=BAC÷2， DCE=BEC-ADC，DCE=（1800-ABC）÷2-BAC÷2=（1800-ABC-BAC）÷2 =ACB÷2=400÷2=200。（2）當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的同側(cè)，且點(diǎn)D在D的位置，E在E的為時(shí)，如圖11，與（1）類似地也可以求得ACB÷2=200。（3）當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的兩側(cè)，且E點(diǎn)在E的位置時(shí)，如圖12， 圖12 圖13BE=BC，AD=AC， ADC=（1800-DAC）÷2=BAC÷2，又，=1800-（1800-ACB）÷2 =900+ACB÷2=900+400÷2=1100。（4）當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的兩側(cè)