計算機在材料科學(xué)中的應(yīng)用[1]

1、計算機在材料科學(xué)中的應(yīng)用概論材料的分類 有機高分子材料：有機分子、聚合物（塑料、橡膠、黏合劑、涂料、纖維）、高聚物 （非晶態(tài)、晶態(tài)、液晶、合金） 生物活性材料：谷氨酸被頡氨酸取代導(dǎo)致鐮刀型貧血癥、DNA、基因組 金屬材料：有色金屬、黑色金屬、合金材料 無機非金屬材料：從硅酸鹽材料到功能材料、半導(dǎo)體 復(fù)合物：有機金屬化合物（五十年代的二戊鐵）材料研究的層次 材料工程：制備工藝與用途 材料科學(xué)：化學(xué)組成、性能、顯微結(jié)構(gòu) 材料化學(xué)：元素組成、分子結(jié)構(gòu)、化學(xué)鍵 材料物理：電子結(jié)構(gòu)、場力、能量計算機技術(shù)在材料中的應(yīng)用 材料物理計算 材料化學(xué)計算 材料結(jié)構(gòu)與性能計算 材料工藝設(shè)計 材料工藝控制 材料數(shù)據(jù)庫

2、 材料數(shù)據(jù)挖掘舉例 陶瓷材料設(shè)計 金屬材料設(shè)計 耐火材料設(shè)計 防腐蝕材料設(shè)計 功能材料設(shè)計 電池材料設(shè)計 材料性能預(yù)報計算機在材料科學(xué)中的應(yīng)用 計算機輔助試驗設(shè)計：正交設(shè)計與均勻設(shè)計 實驗數(shù)據(jù)的處理與分析：準(zhǔn)確度與精確度 數(shù)學(xué)模型的建立與評價：最小二乘與回歸分析 數(shù)學(xué)規(guī)劃與配方計算：規(guī)劃的解法與配方實例 基于計算機的實驗?zāi)M：應(yīng)用實例 材料性能的預(yù)報與評估：應(yīng)用實例 材料化學(xué)的理論計算：模式識別、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法 材料物理的理論研究：量子力學(xué)與量子化學(xué) 新材料的設(shè)計與開發(fā)：進(jìn)展計算機輔助試驗設(shè)計試驗設(shè)計之源起 20世紀(jì)30年代，由于農(nóng)業(yè)試驗的需要，R.A.Fisher在試驗設(shè)計和統(tǒng)計分析

3、方面做出了一系列先驅(qū)工作，從此試驗設(shè)計成為統(tǒng)計科學(xué)的一個分支 F. Yates, R.C. Bose, O. Kempthome, W. G. Cochran, D. R. Cox和G. E. P. Box對試驗設(shè)計都作出了杰出的貢獻(xiàn)，使該分支在理論上日趨完善，在應(yīng)用上日趨廣泛 1960年代，日本統(tǒng)計學(xué)家田口玄一將試驗設(shè)計中應(yīng)用最廣的正交設(shè)計表格化，使得試驗設(shè)計得到廣泛的普及與應(yīng)用國內(nèi)試驗設(shè)計簡史 60年代由華羅庚教授倡導(dǎo)與普及的“優(yōu)選法”，即國外的斐波那契方法 70年代我國的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)者在工業(yè)部門中普及的“正交設(shè)計”法都是人們熟悉的試驗設(shè)計法 70年代末期由方開泰教授和王元教授倡導(dǎo)和推廣的均

4、勻設(shè)計也是一種常用的試驗設(shè)計方法。 “優(yōu)選法”是單變量的最優(yōu)調(diào)試法，“正交設(shè)計”是基于拉丁方理論和群論的多因素試驗設(shè)計方法，“均勻設(shè)計”則是基于數(shù)論方法的另一種多因素試驗設(shè)計方法。 利益所在 試驗設(shè)計得好，會事半功倍，反之就會事倍功半了。好的試驗設(shè)計方案可以大大減少試驗次數(shù)，得到充分的信息，簡化數(shù)據(jù)處理過程，節(jié)省人力、物力和時間。正確合理的試驗設(shè)計，可以使試驗結(jié)果的可靠性顯著提高。試驗設(shè)計還可以為迅速尋求參數(shù)的優(yōu)化數(shù)值和選擇最佳工藝方案指明方向。 材料科學(xué)與材料工業(yè)中經(jīng)常會出現(xiàn)各種試驗設(shè)計問題，例如配方試驗或稱混料試驗(Experiments with Mixtures)，就是在材料科學(xué)中經(jīng)常

5、遇到的問題之一。 基本概念 指標(biāo)：在試驗設(shè)計中，人們把判斷試驗效果好壞所采用的標(biāo)準(zhǔn)稱為試驗指標(biāo)，或簡稱為指標(biāo) 因素：或稱為因子，有可能影響試驗指標(biāo)的條件，稱作因素。通常情況下固定的因素在試驗方案中并不稱為因素，只有變化的因素才稱為因素 水平：或稱為處理，能影響試驗指標(biāo)的因素，通常人為地給予控制、分組，在統(tǒng)計學(xué)上，統(tǒng)稱其為因子的水平基本要求 進(jìn)行不同處理的實驗單元間，要有相同的系統(tǒng) 要有明確的試驗?zāi)康?、恰?dāng)?shù)闹笜?biāo) 要挑選因子，適當(dāng)確定水平。使試驗范圍盡可能大一點，試驗范圍太小的缺點是不容易獲得比已有條件有顯著改善的結(jié)果。每一個因素的水平個數(shù)最好適當(dāng)多一些，水平的間隔大小和生產(chǎn)控制精度是密切相關(guān)的

6、。同時，因素和水平的含意可以是廣義的 處理實驗數(shù)據(jù)要能配上相應(yīng)的數(shù)理統(tǒng)計方法，以達(dá)到預(yù)期的試驗?zāi)康囊蛩氐闹餍?yīng)和因素間的交互效應(yīng) 各因素的水平所對應(yīng)的目標(biāo)值稱為主效應(yīng)，各個因素除了對目標(biāo)值有獨立的影響外，還可能共同對目標(biāo)值產(chǎn)生作用，即交互作用。交互作用通常表現(xiàn)為因素的乘積對指標(biāo)的影響，其系數(shù)為正稱為正交互作用，其系數(shù)為負(fù)稱為負(fù)交互作用。 試驗設(shè)計方法的發(fā)展過程 全面試驗法 將每一個因素的不同水平組合做同樣數(shù)目的試驗。一般說m個因子n個水平的全面試驗需要做nm次試驗。當(dāng)因素的個數(shù)不多，每個因數(shù)的水平數(shù)也不多時，用全面試驗的方法，并且通過數(shù)據(jù)分析可以獲得較為豐富的結(jié)果，結(jié)論也比較精確。當(dāng)因素較多，

7、水平數(shù)較大時，全面試驗要求的試驗數(shù)目可能非常大，雖然最后能夠早出最好的搭配方案，但費時費工，往往不可能實現(xiàn)，因此除了一些比較簡單的情況外，一般不進(jìn)行全面試驗 簡單對比法 又稱孤立因素法，是將因子中只變化一個，其余的固定，然后逐步地得到好的搭配的方法。這種方法一般也能得到一定的效果，而且比全面試驗的次數(shù)少，但也有缺點，就是對待各因子和水平不是均等的。并且先固定那些因子，后變化那些因子，都會影響試驗結(jié)果，因此最后的結(jié)果是不是最好的，還不能充分肯定 隨機試驗法 完全隨機試驗法：是一種最基本的試驗設(shè)計，即各因素的水平完全隨機分配 隨機區(qū)試驗法：在劃分區(qū)間后，用隨機數(shù)字表或抽簽法來確定順序的試驗設(shè)計方案

8、拉丁方試驗法 將一定數(shù)的文字排成正方形，每個文字在各行各列都出現(xiàn)一次而且只出現(xiàn)一次，這樣的方格稱為拉丁方。第一行與第一列相同的順序排列的拉丁方稱為標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方。對于因子數(shù)多于3的實驗，實驗數(shù)將隨著因子數(shù)的增加而快速地增加，采用拉丁方試驗法，可以大大減少實驗數(shù)。組成拉丁方區(qū)的必要條件是，在拉丁方區(qū)內(nèi)行數(shù)等于列數(shù)等于水平數(shù)。拉丁方是供不存在交互作用的因子的實驗設(shè)計用的。拉丁方設(shè)計的主要目的是研究單因素不同水平對實驗結(jié)果的影響。 拉丁方舉例 3*3拉丁方 A B C B C A C A B 4*4拉丁方 A B C D B A D C C D A B D C B A正交拉丁方法 正交拉丁方是指兩個或

9、兩個階數(shù)相同的拉丁方之間呈正交關(guān)系而言的 正交拉丁方試驗一般在5*5，7*7，8*8中進(jìn)行 正交拉丁方的個數(shù)不超過拉丁方字母的個數(shù)減1 對于6*6的拉丁方，則不存在正交拉丁方法， 拉丁方或正交拉丁方試驗，可用隨機法安排試驗正交試驗設(shè)計正交試驗設(shè)計及其數(shù)據(jù)分析正交試驗設(shè)計 正交試驗設(shè)計方法，就是利用數(shù)理統(tǒng)計學(xué)與正交性原理，從大量的試驗點挑選適量的具有代表性、典型性的點，應(yīng)用“正交表”合理安排試驗的一種科學(xué)的試驗設(shè)計方法。 統(tǒng)計學(xué)家將正交設(shè)計通過一系列表格來實現(xiàn)，這些表格叫做正交表，記為Lt(me)，其中L表示正交表，t表示總共做t次試驗，m表示每個因素都有m個水平，e表示表中有e列，最多可以安排

10、e個因素。常用正交表 二水平正交表：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231) 三水平正交表：L9(34)，L27(313) 四水平正交表：L16(45) 五水平正交表：L25(56) 混合水平的表：L8(424)，L12(2331)，L16(4423)，L16(4326)，L16(4229)，L16(41212)，L18(8128)，L18(2137)正交表L9(34) No. 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1正

11、交設(shè)計的特征 正交設(shè)計是利用數(shù)學(xué)上的正交性確定的設(shè)計方法，本質(zhì)上具有“均勻分散、整齊可比”的特點。具體表現(xiàn)為： 水平均勻性：每個因子和因子的每個水平都是均勻分配的 搭配的均勻性：每個因子的各個水平出現(xiàn)的次數(shù)都是相同的，任何兩個因子的搭配也都以相同的次數(shù)出現(xiàn) 正交試驗點的分布正交試驗過程 就是在確定指標(biāo)、因子和水平后，用正交表安排試驗方案。它主要要求解決三個方面的問題 分析因子與指標(biāo)的關(guān)系，即當(dāng)因子變化時，指標(biāo)是怎樣變化。找出這種變化的規(guī)律，可以利用它能動地指導(dǎo)生產(chǎn) 分析因子影響指標(biāo)的主次，即分析哪個因子是影響指標(biāo)的主要因素，哪些是次要因素。找出主要影響因素常常是生產(chǎn)中關(guān)鍵問題之一 尋找好的生產(chǎn)

12、工藝，即找到每個因子各取什么水平，會得到最好的指標(biāo)。也就是選出最優(yōu)方案，這是生產(chǎn)中最需要解決的問題用正交表安排試驗的步驟 根據(jù)因子數(shù)和水平數(shù)以及試驗條件的限制，選擇合適的正交表 將各因子放到表頭的各列中 將各因子的水平安排到相應(yīng)的表格中 形成試驗方案 正交試驗設(shè)計的評價 正交試驗設(shè)計缺點在于它只適合于水平數(shù)不多的試驗。通常情況每個因子有q個水平，用正交表安排試驗，至少要作q2次試驗，當(dāng)q較多時，q2非常大，很多情況無法進(jìn)行試驗 正交試驗設(shè)計只考慮全局平衡，只得到可能的優(yōu)化方向 直觀分析 利用正交表進(jìn)行試驗設(shè)計并分析結(jié)果一般有兩種方法，即直觀分析與方差分析。 直觀分析就是通過計算將各個因子、水平

13、對試驗結(jié)果質(zhì)量指標(biāo)影響的大小，用圖形表示出來，通過直觀分析，綜合比較，以確定最優(yōu)化試驗方案的方法。 直觀分析的目的 因子與指標(biāo)的變化規(guī)律，從k1,k2,k3與因子的關(guān)系圖來考察 因子影響指標(biāo)的主次順序，從極差R來考察，R越大，影響越大 選頂最優(yōu)方案，看各個因子中哪些水平的平均指標(biāo)最高，來獲得最優(yōu)方案 以實驗驗證最優(yōu)方案 正交試驗設(shè)計直觀分析例題 研究溫度、壓力、配比及時間四個因子對某種材料質(zhì)量指標(biāo)的影響：溫度取430、450、4700C，壓力取10、20、30kg，配比取3%、5%、7%，時間取1、2、3小時，質(zhì)量指標(biāo)越大越好設(shè)計試驗v 根據(jù)因子和水平數(shù)選用可以安排四因子、三水平的正交表L9(

14、34) v 將溫度、壓力、時間和配比隨機安排在正交表的各個列上 v 安排各因素的水平v 得到試驗方案 試驗試驗號號 列列號號 A（溫度）（溫度） 1 B（壓力）（壓力） 2 C（配比）（配比） 3 D（時間）（時間） 4 試驗方案試驗方案 質(zhì)量指標(biāo)質(zhì)量指標(biāo) 1 1 1 1 1 A1B1C1D1 22 2 1 2 2 2 A1B2C2D2 52 3 1 3 3 3 A1B3C3D3 43 4 2 1 2 3 A2B1C2D3 58 5 2 2 3 1 A2B2C3D1 61 6 2 3 1 2 A2B3C1D2 61 7 3 1 3 2 A3B1C3D2 55 8 3 2 1 3 A3B2C1D

15、3 70 9 3 3 2 1 A3B3C2D1 64 K1 117 135 153 147 K2 180 183 174 168 K3 189 168 159 171 總和總和 486 k1 39 45 51 49 k2 60 61 58 56 k3 63 56 53 57 總平均總平均 54 R 24 16 7 8 直觀分析對各個因子的每個水平所對應(yīng)的質(zhì)量指標(biāo)求和得到K1, K2, K3在每一列中計算的K1, K2, K3平均值k1, k2, k3 在每一列中計算極差，即用每一列的k1, k2, k3中最大者減去最小者所得到的值，記為R用每一個因子的k值對該因子的水平作圖，觀察各個因子與指標(biāo)

16、的變化規(guī)律 分析結(jié)果 由極差R決定因子影響指標(biāo)的主次順序：溫度壓力時間配比 選擇最優(yōu)方案：由各個因子中平均指標(biāo)最高的水平組合而成試驗方案： A3B2C2D3 實驗驗證優(yōu)選方案 正交試驗設(shè)計程序流程 程序說明 開始 控制讀入數(shù)據(jù) 讀入因子數(shù)、水平數(shù)、試驗數(shù)、指標(biāo)數(shù) 數(shù)組定維 讀入正交設(shè)計因子、水平數(shù)字信息和指標(biāo)信息 計算并打印K值 選擇最大K值和最小K值 計算并打印因子極差R 打印直觀分析圖 結(jié)束多指標(biāo)試驗設(shè)計的分析方法 在實際問題中，用來衡量試驗效果的指標(biāo)往往不止一個，而是多個，這類試驗叫做多指標(biāo)試驗，進(jìn)行多指標(biāo)試驗設(shè)計的分析方法有綜合評分法和綜合平衡法： 綜合評分法：是將多指標(biāo)化為一個評分指

17、標(biāo)來進(jìn)行直觀分析的方法 綜合平衡法是先分別將各個指標(biāo)按單指標(biāo)進(jìn)行計算和分析，再將各指標(biāo)的分析結(jié)果進(jìn)行綜合平衡，以得到“最優(yōu)”試驗方案 綜合評分法和綜合平衡法所得到的結(jié)論，一般是一致的，在實際應(yīng)用中綜合評分法用得較多，因為計算上比較方便綜合評分法的程序設(shè)計 程序說明 開始 控制讀入數(shù)據(jù) 讀入因子數(shù)、水平數(shù)、試驗數(shù)、指標(biāo)數(shù) 數(shù)組定維 讀入正交設(shè)計因子、水平數(shù)字信息和指標(biāo)信息 綜合評分 計算并打印k值和K值 選擇最大K值和最小K值 計算并打印因子極差R 打印直觀分析圖 結(jié)束綜合平衡法的程序設(shè)計 開始 程序說明 數(shù)據(jù)控制 進(jìn)入循環(huán) 進(jìn)行每個單指標(biāo)的直觀分析并打印相應(yīng)圖形 結(jié)束注 意 有些試驗中有的因子

18、可以取較多的水平，但是也有的因子受條件的限制，不能多選水平，這就遇到水平數(shù)不同的情況。解決不同水平數(shù)問題的方法：可以直接用不同水平混合型的正交表；也可以采用擬水平方法，即將水平一律補齊為相同水平再加以解決。 對于因子間有相互作用，即存在交互作用的正交試驗設(shè)計，采用專門的有交互作用的正交表。交互作用放在哪一列上，由二列間交互作用表決定。 方差分析 直觀分析方法，其優(yōu)點是簡單、直觀、計算量較小。但是，直觀分析不能給出誤差大小的估計，也就不能知道結(jié)果的精度。方差分析可以彌補直觀分析的不足之處。 在一批實驗數(shù)據(jù)中，數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值代表了數(shù)據(jù)的平均水平，反映了數(shù)據(jù)的集中性；而數(shù)據(jù)的方差，反映了數(shù)據(jù)的波動

19、性，即數(shù)據(jù)的分散性，方差大小表明數(shù)據(jù)變化的顯著程度，而數(shù)據(jù)變化的顯著程度，又反映了因素對指標(biāo)影響的大小。 T8鋼淬火試驗（四因素二水平） 其中A和B有交互作用，而且需要考慮其誤差，測試淬火硬度，硬度越大越好。 正交表的選擇 共計考慮7個因素，每個因素有兩個水平，因此選用L8(27)進(jìn)行試驗設(shè)計。首先進(jìn)行表頭設(shè)計正交試驗設(shè)計、實驗結(jié)果與方差分析計算過程 表中Ti=mi-(T/8)(i=1,2) 以A因素為例，令硬度值分別為Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6, Y7, Y8，則 IA=Y1+Y2+Y3+Y4, IIA=Y5+Y6+Y7+Y8 T= Y1+Y2+Y3+Y4+ Y5+Y6+Y

20、7+Y8 SA=4(IA/4)-(T/8)2+(I IA /4)-(T/8)2 =4 (IA 2+I IA 2)/16-T(IA +I IA)/16+T2/32 =4 (IA 2+I IA 2)/16- T2/32 = (IA 2+I IA 2)/4 T2/8 即： S = (I2+II2)/4 T2/8 由此計算出： SA=121/8, SB=81/8, SA*B=361/8, SC=81/8, SD=81/8, SE= 9/8 + 25/8 =34/8 因素對指標(biāo)影響 用F檢驗法檢驗各個因素對指標(biāo)影響的顯著性： F = （各因素方差/因素方差的自由度）：（誤差方差/誤差方差自由度） 即：

21、F = (S/f) / (Se/fe) 由此計算結(jié)果如下表： 分析結(jié)果 查表可以得到F檢驗值：F0.25(1,2)=2.57, F0.05(1,2)=18.51, F0.01(1,2)=98.5 F值大的因素對指標(biāo)的影響大，F(xiàn)值小的因素對指標(biāo)的影響小。由此可以得到，C和A*B對硬度指標(biāo)的影響較顯著，A和B、D的影響依次減小。 篩選最優(yōu)方案：C是最顯著因素，先選C，C列的m2m1，故此選C2方案；A*B也是顯著因素，A*B的m2m1，選二水平得到A、B的搭配A1B2或A2B1，A比B重要，先選A，A的m1m2，故選定A1B2；D不顯著，可以選D2，因此最優(yōu)方案是A1B2 C2D2 。 方差分析的

22、程序流程 程序說明 開始 控制讀入數(shù)據(jù) J=P：Yes or No 讀入Ai,Bi,Ci,Di和指標(biāo)Yi(I=1,M) 計算指標(biāo)加和Y0=Y/O 計算各因子對指標(biāo)的影響K(I,J)(I=1,2;J=1,N) 計算H(I,J)=K(I,J)*K(I,J); U(I,J)=K(I,J)/(O/M) T(I,J)=U(I,J)-Y0 計算S(J)=H(I,J)+H(I,J)/N-Y(0)*Y(0)/O 誤差E=S(5)+S(6) 計算各因子F值，并對顯著性因子，打印“*”標(biāo)記 結(jié)束均勻試驗設(shè)計均勻設(shè)計的緣起 所有的試驗設(shè)計方法本質(zhì)上就是在試驗的范圍內(nèi)給出挑選代表點的方法。正交設(shè)計是根據(jù)正交性準(zhǔn)則來挑

23、選代表點，使得這些點能反映試驗范圍內(nèi)各因素和試驗指標(biāo)間的關(guān)系。正交設(shè)計在挑選代表點時有兩個特點：均勻分散，整齊可比。均勻分散時試驗點有代表性；整齊可比便于試驗數(shù)據(jù)的分析。為了保證整齊可比的特點，正交設(shè)計至少要求做q2次試驗。若要減少試驗的數(shù)目，只有去掉整齊可比的要求。均勻設(shè)計就是只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)均勻散布的一種試驗設(shè)計方法。均勻設(shè)計表每一個均勻設(shè)計表都有一個代號Un(qs)或Un*(qs)，其中“U”表示均勻設(shè)計，“n”表示要做n次試驗，q表示每個因素有q個水平，s表示該表有s列；U的右上角加“*”和不加“*”代表兩種不同類型的均勻設(shè)計表，通常加“*”的均勻設(shè)計表有更好的均勻性，應(yīng)優(yōu)先選

24、用。但是不加“*”的均勻設(shè)計表表能安排更多的因素，所以當(dāng)因素數(shù)s較大，且超過加“*”的均勻設(shè)計表的使用范圍時，可使用不加“*”的均勻設(shè)計表每一個均勻設(shè)計表都附有一個使用表，它指示我們?nèi)绾螐木鶆蛟O(shè)計表中選用適當(dāng)?shù)牧校约坝蛇@些列所組成的試驗方案的均勻度。使用表最后一列D表示刻劃均勻度的偏差 (discrepancy)，偏差值越小，表示均勻度越好 均勻設(shè)計的特征均勻設(shè)計有其獨特的布點方式，其特點表現(xiàn)在： 每個因素的每個水平做一次且只做一次試驗 任何兩個因素的試驗點點在平面的格子上，每行每列有且僅有一個試驗點 均勻設(shè)計表的任何兩列組成的試驗方案一般并不等價，因此每個均勻設(shè)計表必須有一個使用表 當(dāng)因素

25、的水平數(shù)增加時，試驗數(shù)按水平數(shù)的增加量在增加 均勻設(shè)計實驗結(jié)果需要應(yīng)用回歸分析方法來處理，由于沒有正交性，不能使用直觀分析或方差分析性質(zhì)（1）和（2）反映了試驗安排的均衡性，即對各因素，每個因素的每個水平一視同仁；均勻設(shè)計表U6*(64) 及其使用表 均勻設(shè)計表U7(74)及其使用表 均勻設(shè)計表U7*(74)及其使用表 均勻設(shè)計舉例 在阿魏酸的合成工藝考察中，為了提高產(chǎn)量，選取了原料配比（A）、吡啶量（B）和反應(yīng)時間（C）三個因素，它們各取了7個水平如下： A： 1.0, 1.4, 1.8, 2.2, 2.6, 3.0, 3.4 B(ml)：10, 13, 16, 19, 22, 25, 28

26、 C(h)： 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 試驗方案的確定 根據(jù)3個因素和7個水平，我們可以選取均勻設(shè)計表U7*(74)或U7(74)，由它們的使用表可以查到，當(dāng)s=3時，兩個表的偏差分別為0.2132和0.3721，故應(yīng)當(dāng)選用U7*(74) 來安排試驗，其試驗方案列于下表。該方案是將A、B、C分別放在U7*(74)表的后3列而獲得的。 試驗方案試驗數(shù)據(jù)分析 回歸分析擬合出指標(biāo)與各個因素的關(guān)系式Y(jié)=f(x1, x2, , xn)Y=a1*x1+a2*x2+anxn 通過關(guān)系式揭示指標(biāo)與各個因素之間的定性關(guān)系或定量關(guān)系:系數(shù)的大小決定因素對指標(biāo)影響的大小，系

27、數(shù)的正負(fù)決定因素對指標(biāo)影響的趨勢 非線性關(guān)系式表征交互作用影響或非線性因素的影響 最優(yōu)工藝條件的確定：用各種最優(yōu)化算法求關(guān)系式的極值；用微積分算法求極值；條件有限時可以用網(wǎng)格求極值正交設(shè)計與均勻設(shè)計的比較 正交設(shè)計和均勻設(shè)計是目前最流行的兩種試驗設(shè)計的方法，它們各有所長，互相補充，給使用者提供了更多的選擇 正交設(shè)計具有正交性，如果試驗按它設(shè)計，可以估計出因素的主效應(yīng)，有時也能估計出它們的交互效應(yīng) 均勻設(shè)計是非正交設(shè)計，它不可能估計出方差分析模型中的主效應(yīng)和交互效應(yīng)，但是它可以估計出回歸模型中因素的主效應(yīng)和交互效應(yīng)進(jìn)一步的比較 正交設(shè)計用于水平數(shù)不高的試驗，因為它的試驗數(shù)至少是水平數(shù)的平方；均勻

28、設(shè)計適合于多因素多水平試驗 均勻設(shè)計提供的均勻設(shè)計表在選用時有較多的靈活性均勻設(shè)計的試驗次數(shù)隨水平數(shù)呈連續(xù)性增加，正交設(shè)計呈跳躍性增加 正交設(shè)計的數(shù)據(jù)分析程式簡單，直觀分析可以給出試驗指標(biāo)隨每個因素的水平變化的規(guī)律；均勻設(shè)計的數(shù)據(jù)處理要用回歸分析來處理，計算復(fù)雜，必須有計算機的幫助，試驗數(shù)相同時的偏差的比較水平數(shù)相同時偏差的比較偏差相近時試驗次數(shù)的比較數(shù)據(jù)特征與實驗數(shù)據(jù)的取舍 有效數(shù)字 實驗數(shù)據(jù)有效位數(shù)的確定的正確作法是所取位數(shù)除末一位數(shù)字為測量時的可疑數(shù)或估計數(shù)外，其余各位數(shù)字都是準(zhǔn)確可靠的，通常末一位可疑數(shù)字上下可以有一個單位的誤差，這樣的數(shù)字稱作有效數(shù)字。 舍入誤差 舍入誤差是人為的引入

29、誤差，引入一種人為的誤差總是希望它在多次實踐中的均值基本上等于零才好。古典的“四舍五入”法則并不是具有所期望的性質(zhì)。其舍入誤差的期望值等于第n+1位單位的二分之一，此乃其結(jié)癥所在。為了適應(yīng)生產(chǎn)與科學(xué)技術(shù)工作的需要，國家數(shù)學(xué)修約規(guī)則規(guī)定了“四舍六入五單雙”的法則：四舍六入五考慮，五后非零必進(jìn)一；五后皆零視奇偶，五前為偶應(yīng)舍去，五前為奇則進(jìn)一。 有效數(shù)字的確定方法 在加減計算中，各數(shù)所保留的小數(shù)點后的位數(shù)，應(yīng)與所給各數(shù)中小數(shù)點后位數(shù)最少的相同 在乘除法計算中，應(yīng)以有效數(shù)字最少的或百分誤差最大的數(shù)字為準(zhǔn)，對其它各數(shù)值按上述取舍規(guī)則處理后，再進(jìn)行乘除運算，所得積或商的精確度也不應(yīng)該大于相乘、除各數(shù)值中

30、精確度最小的數(shù)字的精確度 在對數(shù)計算中，真數(shù)與對數(shù)的有效位數(shù)相同 在計算均值時，若為四個或多于四個數(shù)平均時，則平均數(shù)的有效位數(shù)可增加一位 對常數(shù)、e及、等的有效數(shù)字位數(shù)，可以根據(jù)需要任意確定 界限數(shù)值不得修約 數(shù)據(jù)的表示方法 實驗數(shù)據(jù)是實驗信息與結(jié)果的記錄，要準(zhǔn)確、簡明、形象地表示出來，通?？梢圆捎昧斜?、作圖和經(jīng)驗公式三種方法來表示 列表法 列表法的優(yōu)點在于，簡單易作，簡明緊湊，便于比較。一般常用的有統(tǒng)計式、定性式、定量式及函數(shù)式，后兩種用的較多。實驗數(shù)據(jù)列表時應(yīng)當(dāng)注意： 表的名稱與項目要簡明，必要時可在表名下或下加附注說明數(shù)據(jù)來源，編列的表號應(yīng)寫在表名之前，表中的項目應(yīng)包括名稱及單位，一般應(yīng)

31、采用符號表示之，表中主項代表自變量，負(fù)項代表因變量 數(shù)字的寫法應(yīng)注意整齊統(tǒng)一、正確 有效數(shù)字應(yīng)當(dāng)取舍適當(dāng) 自變量應(yīng)取整數(shù)或其它較方便的數(shù)值，按遞增或遞減的順序排列 如果實驗數(shù)據(jù)的自變量與因變量都不夠規(guī)則，不便應(yīng)用列表法 作圖法 作圖法優(yōu)點在于，形象簡明，便于直觀比較。作圖法的坐標(biāo)有直角坐標(biāo)法、單對數(shù)坐標(biāo)、雙對數(shù)坐標(biāo)、三角坐標(biāo)、極坐標(biāo)及立體坐標(biāo)等，最常用的是直角坐標(biāo)。 作圖法應(yīng)當(dāng)注意： 橫坐標(biāo)代表自變量，縱坐標(biāo)代表因變量，坐標(biāo)分度應(yīng)使坐標(biāo)紙的最小分格相應(yīng)于實驗數(shù)據(jù)的精確度，應(yīng)盡量將變數(shù)加以變換，使所得圖形為直線或近似直線 用實驗數(shù)據(jù)描點時，應(yīng)能表示出實驗數(shù)據(jù)的誤差范圍，同一坐標(biāo)紙內(nèi)描繪幾條曲線時

32、，不同曲線的描點應(yīng)用不同畫法予以區(qū)別 根據(jù)各描點作曲線時，如數(shù)據(jù)過少不足以確定自變量和因變量之間關(guān)系時，最好將各點用直線連接，如果描點足夠多，描出光滑連續(xù)曲線，不必通過所有各點，特別是兩端的描點，但是應(yīng)使曲線盡可能地與所有各點相接近，并使兩邊的點數(shù)及點與曲線的距離乘積的總和近于相等。 經(jīng)驗公式表示法 經(jīng)驗公式表示法是用一個方程式來表示實驗數(shù)據(jù)或?qū)嶒灁?shù)據(jù)曲線： 經(jīng)驗公式的選擇一般沒有簡便的方法可獲得一個理想的公式，通常是根據(jù)解析幾何原理和經(jīng)驗來推測公式應(yīng)有的形式； 經(jīng)驗公式中常數(shù)的求法：經(jīng)驗公式中常數(shù)的求法有圖解法、選點法、平均法、最小二乘法等多種方法 數(shù)字特征的計算與檢驗 數(shù)據(jù)是實驗的信息，是

33、事物內(nèi)在規(guī)律性的外部表現(xiàn)。研究、處理數(shù)據(jù)是為了認(rèn)識事物的內(nèi)在規(guī)律，以促進(jìn)科學(xué)研究和指導(dǎo)生產(chǎn)。 事物的本質(zhì)，現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律，往往隱藏在大量的數(shù)據(jù)之中。因此，對數(shù)據(jù)做科學(xué)的整理與分析，去粗存精，去偽存真，方能得到由表及里的科學(xué)認(rèn)識 位置特征參數(shù)的計算 實驗數(shù)據(jù)的位置特征參數(shù)是用來描述實驗數(shù)據(jù)的平均位置與特定位置的，其中常用的有算術(shù)平均值、均方根均值、計權(quán)均值、中位值、幾何平均值等 算術(shù)平均值 算術(shù)平均值一般用表示，是實驗數(shù)據(jù)x1,x2,xn的代數(shù)和除以樣本量N，即用來表示總體的平均水平 常常同一觀測值在同一測量過程中出現(xiàn)多次。如果觀測的實驗數(shù)據(jù)xi,重復(fù)出現(xiàn)vi次，則vi即為 niinixNxxx

34、xNx1211)(1xnvxxii均方根均值 均方根均值簡稱均方根值，用下式表示 如果觀測值xi重復(fù)出現(xiàn)頻率為vi時，則 nxnxxxxini )(2222221nxii)(2計權(quán)均值 又稱加權(quán)均值，對同一物理量用不同方法或設(shè)備，或由不同人員進(jìn)行測量，在計算均值時常對可靠的數(shù)值給以比較大的比重（），所得平均值稱作計權(quán)均值（加權(quán)均值），即 其中1，2，n為給予各觀測值的相應(yīng)比重，稱作權(quán)數(shù)。權(quán)數(shù)不能任意給定，必須考慮各有關(guān)因素，權(quán)衡該觀測值的可靠程度，予以恰當(dāng)?shù)奶幚?iiinnniixxxxxW3212211幾何平均值 幾何平均值是將n個觀測值聯(lián)乘后并開n次方所得的數(shù)值，即 如果以對數(shù)形式表示，則

35、 平均值類型的選擇主要取決于一組觀測值的分布類型 nniinnigxxxxxx 121nxxigloglog平均值的計算方法 平均值的計算方法有直接算法、遞推算法和二次均值算法三種，以算術(shù)平均值為例 直接算法 nxxnii1平均值的計算方法 遞推算法 二次均值算法 )(11111111iiiiiiiiixxixixxx ixixiixiixxNxx)(1)1()1(離散特征參數(shù)的計算 樣本的離散特征參數(shù)是用來描述數(shù)據(jù)的分散程度，常用的離散特征參數(shù)有極差、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)均差及變異系數(shù)等 極差 極差（L）是一個最簡單的離散特征參數(shù)，它是樣本中數(shù)據(jù)的最大值（Xmax）與最小值（Xmin）之差 L=Xm

36、ax-Xmin 由于極差L是由個別的實驗數(shù)據(jù)所決定的，未能充分利用數(shù)據(jù)提供的信息，其代表性較差 方差（s2）與標(biāo)準(zhǔn)差 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 對于有限個數(shù)的樣本，應(yīng)以代替較為合適，即 iiNiixxNxxNs22122)(1)(1iixxNs2)(1iixxNs22)(11標(biāo)準(zhǔn)均差和變異系數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)均差 變異系數(shù) 方差、標(biāo)準(zhǔn)均差及變異系數(shù)都是以均值為中心的離散特征參數(shù)，尤其以方差的計算與應(yīng)用最為普遍 )2)(1(211NiisxxNNMxsC離散特征參數(shù)的算法 離散特征參數(shù)的算法主要有直接算法、遞推算法和移去均值算法，以方差為例 直接算法 遞推算法，令 和 ，則 移去均值算法 式中 用二次均值法求出 ii

37、xxNs22)(100 x020siixxNs22)(1inixxNs22)(1nx分布特征參數(shù)的計算 分布特征參數(shù)是用作描述實驗數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)f(x)圖形特征的，常用的有偏度系數(shù)(G1)與峰度系數(shù)(G2) 標(biāo)準(zhǔn)偏度系數(shù) 通常用標(biāo)準(zhǔn)偏度系數(shù)（G1），作為分布不對稱的檢驗 按照G1取值符號的不同，可分為負(fù)偏度分布、對稱分布及正偏度分布。標(biāo)準(zhǔn)偏度系數(shù)G1的直觀意義如下圖 NiisxxNG131)(61峰度系數(shù) G2作為分布特征的另一重要參數(shù)，描述概率密度函數(shù)f(x)圖形頂峰的凸平度。按照G2取值符號的不同，可以看出G2=0時為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。G20時，頂端的凸度大，當(dāng)G20時，頂峰的凸度小 Ni

38、isxxNNG1423124相關(guān)特征參數(shù)的計算 通常計算相關(guān)特征參數(shù)，用意描述實驗數(shù)據(jù)相互之間或?qū)嶒灁?shù)據(jù)Xi與實驗編號i之間可能存在的相關(guān)關(guān)系 線性時關(guān)系數(shù)的計算 如果把實驗數(shù)據(jù)Xi的下標(biāo)編號i視為實驗觀測進(jìn)行的相對時間，從而分析Xi與相對實驗時間i之間的關(guān)系。為研究實驗數(shù)據(jù)Xi有無隨時間i改變的系統(tǒng)誤差與趨勢性變化的存在，提供定量依據(jù) Rxt數(shù)值的大小，表示了實驗數(shù)據(jù)Xi與時間i之間可能存在的線形關(guān)系的強弱 21121NisxxNRiixt線性相關(guān)系數(shù)的計算 R(j)為總體相關(guān)系數(shù)(j)的估計值?？傮w相關(guān)系數(shù)(J)作為實驗數(shù)據(jù)各次實驗之間相關(guān)性的一個定量測度，若(J)=0時，表示各次實驗之間

39、相互獨立；若(J) 0 時，表示實驗數(shù)據(jù)間存在的線性相關(guān)關(guān)系的強弱。就是說相關(guān)系數(shù)(J)給出了由Xi線性預(yù)報Xi+j的可能性大小。R（J）給出了(J)的漸近無偏估計值 其中j=1,2,3,k kN jNijiisxxsxxjNjR11)(異常數(shù)據(jù)的剔除 在一批實驗數(shù)據(jù)中，如果混雜有異常數(shù)據(jù)，則必然會歪曲實驗結(jié)果。因此，必須正確地剔除異常數(shù)據(jù)（或稱作壞值）。另一方面，由于在特定條件下進(jìn)行實驗量測的隨機波動，致使測量數(shù)據(jù)有一定的分散性。如果人為的丟掉一些誤差較大的，但不屬于異常的數(shù)據(jù)，這樣會造成虛假的高精度 異常數(shù)據(jù)的判別與剔除方法 人們對異常數(shù)據(jù)的判別與剔除，往往采用兩種方法： 物理判別法：在實

40、驗過程中，人們根據(jù)常識或經(jīng)驗，判別由于震動、誤讀、等原因造成的壞值，隨時發(fā)現(xiàn)，隨時剔除 統(tǒng)計判別法：給定一置信概率，并確定一個置信限，凡超過此限制的誤差，就認(rèn)為它不屬于隨機誤差范圍，系屬異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予剔除 如何利用計算機對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行檢查、判別、統(tǒng)計推斷，指出實驗數(shù)據(jù)中的可疑點，剔除異常數(shù)據(jù)，這是實驗數(shù)據(jù)中的一項重要任務(wù)，至今仍然未得到很好解決 拉依達(dá)(Pauta)準(zhǔn)則 如果實驗數(shù)據(jù)的總體x是正態(tài)分布的，則有 其中，和分別表示正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差。因此，在實驗數(shù)據(jù)中出現(xiàn)大于+3或小于-3數(shù)據(jù)點的概率是很小的。根據(jù)上式，對于大于+3或小于-3的實驗數(shù)據(jù)，作為異常數(shù)據(jù)予以剔除 003. 03

41、xP拉依達(dá)(Pauta)準(zhǔn)則 對于實驗數(shù)據(jù) x1, x2, xn ,算出均值、殘差Vi和標(biāo)準(zhǔn)差 (i=1,2,n) 若某個測量值xd的殘差vd(1dn)滿足下式 3 作為極限誤差，則認(rèn)為xd是異常數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除 iixNx1xxvii nxxnvniiii22211)(113dv肖維勒(Chauvenl)準(zhǔn)則 若某個測量值xd的殘差vd（1dn）滿足下式 xd被判定為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予以剔除。其中n由下表查出 另外還有格拉布斯(Grubbs)準(zhǔn)則、狄克遜(Dixon)準(zhǔn)則、t檢驗準(zhǔn)則（羅馬諾夫斯基準(zhǔn)則）等經(jīng)驗準(zhǔn)則 ndv漏失數(shù)據(jù)的彌補 經(jīng)過試驗設(shè)計，進(jìn)行方差分析的數(shù)據(jù)都是通過精心安排獲得的，有時不

42、幸因試驗做壞了或丟失了某些數(shù)據(jù)，而又無法重做時，彌補數(shù)據(jù)的方法通常有兩種： 當(dāng)試驗有重復(fù)并且每一處理至少有一個數(shù)據(jù)沒有丟失時，丟失的數(shù)據(jù)可以用未丟失的數(shù)據(jù)的平均值代替 如果試驗無法重復(fù)，則可用計算離差平方和的方法來彌補 舉 例 題 解 對應(yīng)于處理A2B1和A4B2丟失的數(shù)據(jù)，分別記作a與b，令 總離差平方和 組間離差平方和 剩余離差平方和Le為 Le=LT-LA-LB 21 .18431baccbaLT2222222222223 . 04 . 12 . 15 . 10 . 29 . 10 . 20 . 23 . 25 . 3cbaLA22227.17.49.38.731cbaLB2224.58

43、.59.641題 解 對a和b進(jìn)行估計，應(yīng)使得Le最小，故此需要Le對a和b的偏導(dǎo)為0，即 化簡得到：6a+b=18.2 a+6b=6.1 解方程得到： a=2.95, b=0.53 用a,b彌補 A2B1處理和A4B2處理的漏失數(shù)據(jù)。值得注意的是，這種情形中誤差的自由度減少，會降低各種檢驗的靈敏度 0aLe0bLe0)1 .18(61)9 .6(21)9 .3(322baaaaaLe0)1.18(61)8.5(21)7.1(322babbbbLe實驗數(shù)據(jù)的誤差分析 實驗數(shù)據(jù)中的誤差 在整理試驗數(shù)據(jù)時，首先應(yīng)該對原始數(shù)據(jù)的可靠性進(jìn)行客觀的評定。任何實驗中都或多或少地存在一定的誤差。誤差是隨機變

44、量，服從正態(tài)分布，不管采用多么精確的儀器都無法避免誤差。評定實驗數(shù)據(jù)的誤差，分析實驗數(shù)據(jù)中誤差的來源，找出造成誤差的主要因素，可以針對性地準(zhǔn)備實驗方案，減少實驗誤差，提高實驗精度。 絕對誤差 數(shù)量的測定值（近似值）與真（實）值（準(zhǔn)確值）之差，稱為此測定值的誤差。測定值用x 表示，真值用X表示，其絕對誤差為x: x-x X x+x 通常以最大絕對誤差來表示絕對誤差： x- x-x X x+x x+ 任何量的絕對誤差和最大絕對誤差都是名數(shù)，其單位與實驗數(shù)據(jù)的單位相同。 相對誤差 絕對誤差與所測量的值相比較，得到相對誤差x，通常也是用最大相對誤差來表示相對誤差Ex： x = (x/ X) 100%

45、Ex = ( / x) 100% 相對誤差是不名數(shù)，與所測量的量的因次無關(guān)。 系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差亦稱常差，它在反復(fù)測定的情況下保持同一數(shù)值與同一符號，單純增加測定的次數(shù)是無法減少這種誤差的影響的，這種誤差也不可能用實驗誤差的一般數(shù)學(xué)理論加以計算，如果事先不知道修正值，可能在一系列測量中形成這種誤差。系統(tǒng)誤差決定實驗的準(zhǔn)確度。偶然誤差 偶然誤差是任何實驗中都有的，它不能從實驗中消除，但是服從統(tǒng)計規(guī)律（概率理論）。偶然誤差在反復(fù)測定時，表現(xiàn)為大小、符號上各不相同，可以說是無意引入的隨機誤差。偶然誤差可以通過數(shù)學(xué)處理被發(fā)現(xiàn)并且予以定量，實驗數(shù)據(jù)的精確度主要取決于偶然誤差。 偶然誤差的特征 正誤差與負(fù)

46、誤差絕對值相等時，出現(xiàn)的概率也相等 在一定的測定條件中，偶然誤差的絕對值不超過某一限度 絕對值小的誤差比絕對值大的誤差在測定中出現(xiàn)的概率大 隨著同一個量的等精度測定次數(shù)的增加，偶然誤差的算術(shù)平均值將越來越趨近于零 實驗誤差產(chǎn)生的原因 實驗誤差的大小首先取決于選擇的研究方案，不同的方案有不同的誤差 實驗設(shè)備和儀器的精密程度 實驗過程與所擬訂的理想制度的偏差 過失誤差誤差的表示方法 常見的誤差表示法除絕對誤差和相對誤差外，還有范圍誤差、算術(shù)平均誤差、均方誤差和或然誤差等四種表示方法 范圍誤差：一組測定值中最高值與最低值之差，以此說明誤差變化的范圍。范圍誤差的最大缺點是顯示不出與測量次數(shù)的關(guān)系，而測

47、量次數(shù)卻與真值的近似程度密切相關(guān) 算術(shù)平均誤差 n 為測定次數(shù)，di為測定值與平均值之偏差。算術(shù)平均誤差的缺點是，無法表達(dá)出各次測量實驗數(shù)據(jù)之間彼此符合的程度 ndnxxiin均方誤差 稱標(biāo)準(zhǔn)誤差，當(dāng)測定次數(shù)n 為無窮大時 在有限次測定中 均方誤差是最常用的一種表示精確度的方法，它不但與一組測定值中每一個數(shù)據(jù)有關(guān)，而且對其中較大誤差或較小誤差敏感性很強，能較明顯地反映出較大的個別誤差。實驗越精確，其標(biāo)準(zhǔn)誤差越小 ndi212ndi或然誤差 也稱概差，常用表示，它所代表的意義是在一組測定值中若不計正負(fù)號，誤差大于的測定值與誤差小于的測定值將各占測定次數(shù)的50%，也就是說，在一組測定值中誤差落在+

48、和-之間的測定次數(shù)占總測定次數(shù)的一半。它與均方誤差的關(guān)系是 =0.6745 真值與平均值 實驗誤差是難于避免的，因此真值是無法測量得到的。在控制系統(tǒng)誤差的條件下，只有通過增加實驗次數(shù)，可以減少偶然誤差，獲得真值的近似值。換言之，真值是指測定次數(shù)無限多時求得的平均值，當(dāng)測定次數(shù)有限時，其平均值近似于真值，成為最佳近似值。通常使用的平均值有算術(shù)平均值、加權(quán)平均值、對數(shù)平均值、均方根平均值、幾何平均值和調(diào)和平均值等。平均值類型的選擇主要決定于實驗數(shù)據(jù)的分布類型 算術(shù)平均值 如果測定值的分布服從正態(tài)分布，算術(shù)平均值即為一組等精度測量中的最佳值或最可信賴值 nxnxxxxin 21加權(quán)平均值 對同一物理

49、量用不同的方法測定，或由熟練程度不同的研究人員測定，計算平均值時常希望對比較可靠的數(shù)據(jù)予以突出，即將其權(quán)適當(dāng)加大，這種平均值則稱為加權(quán)平均值 iiinnnxxxxx2112211數(shù)學(xué)期望 將權(quán)理解為測定值xi在很大的測量總數(shù)n中出現(xiàn)的頻率，如果代之以概率Pi，則有 或者 此時的加權(quán)平均值等于它的數(shù)學(xué)期望x0 iinnxPxPxPxPx22110 xxMx均方根平均值 n個正的或負(fù)的變量x1, x2, ,xn，其均方根均值定義為 nxnxxxxin 222221均幾何平均值 幾何平均值是將n個正的量x1, x2, ,xn連乘再開n次所求得的值，定義如下 或用對數(shù)表示為 當(dāng)對一組測定值xi取對數(shù)后

50、所得的圖形的分布曲線更加對稱時，常用幾何平均值 nnxxxx21幾nxxilglg幾對數(shù)平均值 在實驗數(shù)據(jù)分布曲線具有對數(shù)特征的情況下，表征平均值的量需要采用對數(shù)平均值。兩個量x1、x2 的對數(shù)平均值為 變量的對數(shù)平均值總小于算術(shù)平均值,如果變量相差甚微時，可以用算術(shù)平均值代替對數(shù)平均值，而引起的誤差不大 2121211lnlnln2xxxxxxxxx對調(diào)和平均值 如果量H的倒數(shù)等于量x1, x2, ,xn的倒數(shù)的算術(shù)平均值，即 則H稱為n個正量的調(diào)和平均值。調(diào)和平均值常用在需要牽涉到與一些量的倒數(shù)有關(guān)的場合。其值常小于幾何平均值和算術(shù)平均值 nxxxHn111121 nxxxnH11121

51、近似值及其在簡單運算中的誤差 在整理數(shù)據(jù)的任何運算中，由于原始數(shù)據(jù)只是真值的近似值，顯然，計算結(jié)果亦將是具有一定誤差的近似值。而且原始數(shù)據(jù)中的誤差越大，則計算結(jié)果越不精確。如果原始數(shù)據(jù)中的誤差為已知時，則計算結(jié)果的誤差亦可定量求出。但是，計算結(jié)果不能提高數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。 估計計算結(jié)果的知識是重要的，因為有了這種知識，不僅使我們能估計出計算結(jié)果的準(zhǔn)確度，而且?？梢院喕嬎?，以及確定從手冊中所查出數(shù)據(jù)應(yīng)取的位數(shù)，從而使計算結(jié)果的誤差不超過規(guī)定的限度。 和的誤差 對于一系列實驗數(shù)據(jù) 其和為 則有 相對誤差為 或者寫為 由此可見，+必介于各項相對誤差中最大值與最小值之間 111xxX222xxXnnnx

52、xXxxXnXXXX 21nxxxx 21nxxxx 21nnxxxxxx 2121nxnxxxxxxxx 2121差的誤差 差的誤差幾乎與和式相同，設(shè) x=x1-x2 此時相對誤差為 需要注意避免x1、x2相差較小時的相對誤差 xxX21XXX21xxx2121xxxx乘積的誤差 設(shè) 則 對照 有 相對誤差為 11111xxxX22221xxxX2211212122112122112121111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxXXxxX221121xxxxxxx21221121xxxxxxxx商的誤差 設(shè) 取商后得到 所以 相對誤差 凡是連乘連除所得結(jié)果的相對誤差，近似地等于各個數(shù)的

53、相對差之和。因此，乘法與除法的運算進(jìn)行得越多，則計算結(jié)果的相對誤差越大。幾十次乘除后，其結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)比原始數(shù)據(jù)中位數(shù)最少的還要少一位到兩位 11111xxxX22221xxxX2211212122112122211121111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxXX222112221121xxxxxxxxxxxx212211xxxx冪的誤差 設(shè) 則其乘冪應(yīng)為 依二次項定理展開，即 如果取其前兩項，則有 相對誤差為 絕對誤差為 或者 xxxxxX11nnnnxX1 32! 321! 211xxxnnnnnnnnxXxnnnxX1xpnnxpxnxxnxxnp1根的誤差 設(shè)決定 的誤差，

54、由二項式展開，取一次近似，得到： 相對誤差為 絕對誤差為 或者 因為冪升高急劇降低結(jié)果的準(zhǔn)確度，因此，對在進(jìn)一步計算中冪次升高的量，在測定中就應(yīng)該特別注意。相反，要開方的量，在測定時可取較小的準(zhǔn)確度 nnnxxxX1111xnnnxX1111xn1xxnxn 111xnxnx11誤差理論的基本問題 誤差理論中除了直接測定量的誤差問題，常常需要解決的是間接測定值，即函數(shù)的誤差理論，設(shè)有函數(shù) 以dx1表示x1的絕對誤差，dx2 表示 x2的絕對誤差， ，則可以得到函數(shù)誤差的一般式 或者 函數(shù)誤差理論有三個基本課題：正問題（直接問題）、反問題和決定最有利的測定條件 nxxxfy,.,21nndxxd

55、xxdxxfdyy,.,2211nnnxxxfdxxdxxdxxfdy,.,.,212211誤差理論的正問題 正問題就是函數(shù)關(guān)系以及自變量誤差均為已知，求函數(shù)誤差的問題，分述如下： 對于一元函數(shù)，設(shè) y=f(x) , 則 或 亦即 將函數(shù)展成泰勒級數(shù)： 若取前兩項，則得： 即 故相對誤差為 絕對誤差為xxfyydxxfdyy xfxxfy ! 3!2! 13 2 xxfxxfxxfxfxxf xxfxfxxf dxxfdydxxfy或 xfddxxfdxxfxfyyylnlndxxfy二元函數(shù)的正問題設(shè) y=f(x1,x2) 則 展成泰勒級數(shù) 取前兩項得到： 最大絕對誤差 最大相對誤差 221

56、1,dxxdxxfdyy2221112121,dxxxxfdxxxxfxxfdyy 222221221212122121212,2,! 21dxxxxfdxdxxxxxfdxxxxf2221112121,dxxxxfdxxxxfxxfdyy2221121max,dxxxxfxxxfdy21max,lnxxfdy常見函數(shù)的正問題 設(shè)x、u、w為測定值，a、b、c為常數(shù)，則在下列函數(shù)中可用上式求相對誤差，并估計配合得最不利的情況 （1） 兩邊取對數(shù)，得到 lny=lna+lnx+lnw-lnu 微分得到 相對誤差為 uaxwy uduwdwxdxydyydlnuuwwxxyy常見函數(shù)的正問題 （2

57、） lny=alnx+blnw+clnu (3) y=xu lny=ulnx cbauwxy uducwdwbxdxaydyydlnuucwdwbxxayyuduxxdxuydyydlnlnuuxxxuyyln常見函數(shù)的正問題 (4) y=x+u lny=ln(x+u) (5) y=x-u lny=ln(x-u) (6) y=eax lny=ax (7) y=abx lny=bxlna uxdudxyyydlnuxuxyyuxdudxydyydlnuxuxyyadxydyydlnxayyadxbydyydlnlnxabyyln常見函數(shù)的正問題 （8） y=lgx y=0.43429lnx ln

58、y=ln(0.43429lnx)=ln0.43429+ln(lnx) 常用對數(shù)的絕對誤差接近于該數(shù)相對誤差的一半 （9） y=sinx lny=lnsinx 其它函數(shù)，依次類推 ydxxydyyd143429. 0lndxxxydln1lnxxy43429.0ctgxdxxxdxydyydsincoslnxctgxyy多元函數(shù)的正問題 對于多元函數(shù)，設(shè) y=f(x1,x2,xn),用數(shù)學(xué)歸納法即可知，絕對誤差為 相對誤差 將以上兩式中的微分符號 d換成差分符號，改寫成差分式 nnnnndxxxxxfdxxxxxfdxxxxxfdy,2122211121 nnnydxxyydxxyydxxyyx

59、xxfdydy111,ln221121誤差理論的反問題 反問題就是如何根據(jù)函數(shù)給定的誤差，來確定自變量誤差的問題。此時已知條件是函數(shù)關(guān)系和函數(shù)誤差。實際上，此類問題計算的結(jié)果往往可以回答：按照一定的研究方案進(jìn)行實驗時，應(yīng)該怎樣選取測定儀器的精密度的問題。與正問題不同的是，此類問題并非什么函數(shù)都能順利解決的。從基本關(guān)系式出發(fā) 現(xiàn)在dy是已知的，又由前述知其絕對誤差為 相對誤差為 由此可以看出，即使dy為已知，仍然無法得知dxi之值，因為它可以有無窮多個值與之項對應(yīng) nndxxdxxdxxfdyy,.,2211inndfdxxfdxxfdxxfdyy.2211niiinnyfdxxffdxxffd

60、xxffdxxf12211.誤差等傳播原則 一種實際可行的方案是假設(shè)各項對總誤差dy的影響相同 ，根據(jù)這個假設(shè)，問題就變?yōu)榇_定的了，即認(rèn)為下式成立 或者 由此得出 其次按等傳播原則，其相對誤差亦可同理得出 通常還需注意，在間接測定值（指一般函數(shù)）中并不全由直接測定值所組成，有時還包括若干常量，如 等，其絕對誤差可以任意選定。待定出絕對誤差以后，再決定應(yīng)取數(shù)字的位數(shù)，從而保證函數(shù)誤差在給定的范圍以內(nèi) ndydydydyn.21ndydxxfdxxfdxxfnn.221111xfndydx22xfndydxnnxfndydxnyxxxxn.321例題 已知某氣體的容積可按下式計算V=V0(1+aT