高考新坐標屆高考數(shù)學總復習專題突破四立體幾何問題的求解策略課件

1、專題突破四高考立體幾何問題的求解策略【反思啟迪】1.求直線和平面所成的角也有傳統(tǒng)法和向量法兩種傳統(tǒng)法關(guān)鍵是找斜線在平面內(nèi)的射影，從而找出線面角；向量法則可建立坐標系， 利用向量的運算求解用向量法可避開找角的困難，但計算較繁，所以要注意計算上不要失誤2對于角的計算，一般是把所求角進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想，主要是將空間角轉(zhuǎn)化為平面角或兩向量的夾角解(1)證明：AE平面 CDE，CD平面 CDE，AECD.在正方形 ABCD 中，CDAD，ADAEA，CD平面 ADE.ABCD，AB平面 ADE.(2)以 D 為原點，分別以射線 DE，DC 為 x，y 軸的正半軸，建立空間直角坐標系 Dxyz

2、，如圖(2)所示由題意知各點坐標如下：D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，2， 2)，B(1，1，0)設平面 ADE 的法向量為 m(x1，y1，z1)，平面 ABD 的法向量為 n(x2，y2，z2)，可算得AD(0，2， 2)，AE(1，2， 2)，DB(1，1，0)由mAD0，mAE0，得2y1 2z10，x12y1 2z10.可取 m(0，1， 2)由nAD0，nBD0，得2y2 2z20，x2y20，可取 n(1，1， 2)于是|cosm，n|mn|m|n|33232.由題意可知，所求二面角是銳角，故二面角 BADE 的大小是6.【反思啟迪】1.當空間直角坐

3、標系容易建立時，用向量法較為簡潔明快2用法向量求二面角的大小時，有時不易判斷兩法向量的大小是否就是二面角的大小(相等或互補)，但我們完全可以根據(jù)圖形得出結(jié)論， 這是因為二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是比較明顯的【變式訓練 2】 如圖 44， 在四棱錐 SABCD 中， 平面 SAD平面 ABCD.底面 ABCD 為矩形，AD 2a，AB 3a，SASDa.(1)求證：CDSA；(2)求二面角 CSAD 的大小圖 44解取 BC 的中點 E，AD 的中點 P，連結(jié) PE.在SAD 中，SASDa，P 為 AD 的中點，所以 SPAD.又因為平面 SAD平面 ABCD，且平面 SAD平面 ABC

4、DAD，所以，SP平面 ABCD.顯然有 PEAD.如圖，以 P 為坐標原點，PA 為 x 軸，PE 為 y 軸，PS 為 z 軸建立空間直角坐標系，則 S0，0，22a，A22a，0，0，B22a， 3a，0，C22a，3a，0，D22a，0，0.(1)易知CD(0，3a，0)，SA22a，0，22a，因為CDSA0，所以 CDSA.(2)設 n(x，y，z)為平面 CSA 的法向量，則有nSA0，nCA0，即22ax22az0，2ax3ay0，取 n(3，2，3)顯然，EP平面 SAD，所以PE為平面 SAD 的一個法向量，所以 m(0，1，0)為平面 SAD 的一個法向量所以 cosn，

5、m22212，所以二面角 CSAD 的大小為3.類型 3利用向量解決立體幾何中的探索性問題利用空間向量解決探索性問題的一般方法是先設出該點，再設法求出該點的坐標(1)若點在坐標軸上，可直接設點的坐標(2)若點在某條線段上，例如點 P 在線段 CC1上，可設CPCC1， 從而點 P 的坐標可用表示出來， 再根據(jù)已知條件求值即可【典例 3】(2015濟南模擬)如圖 45，棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱長都等于 2，ABC 和A1AC 均為60，平面 AA1C1C平面 ABCD.(1)求證：BDAA1；(2)求二面角 DA1AC 的余弦值； 圖 45(3)在直線 CC1上是否存在點 P， 使

6、 BP平面 DA1C1， 若存在，求出點 P 的位置，若不存在，請說明理由思路點撥設 BD 與 AC 交于點 O，連結(jié) A1O，證明 OB，OC，OA1兩兩垂直，從而以點 O 為坐標原點建立直角坐標系(1)證明AA1 BD0；(2)根據(jù)兩個平面的法向量夾角余弦值求二面角的余弦值；(3)設在直線 CC1上存在點 P，使 BP平面 DA1C1，利用CPCC1，求出點 P 坐標，再根據(jù)BP與平面 DA1C1的法向量垂直求值規(guī)范解答設 BD 與 AC 交于 O，則 BDAC，連結(jié) A1O，在AA1O 中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AA12AO22AA1AOcos 603，AO2A1O2A

7、A12，A1OAO.由于平面 AA1C1C平面 ABCD，A1O平面 ABCD.以 OB，OC，OA1所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A(0，1，0)，B( 3，0，0)，C(0，1，0)，D( 3，0，0)，A1(0，0， 3)，C1(0，2， 3)(1)證明：由于BD(2 3，0，0)，AA1(0，1， 3)，AA1BD0(2 3)10 300，BDAA1.(2)由于 OB平面 AA1C1C，平面 AA1C1C 的一個法向量為 n1(1，0，0)設 n2平面 AA1D，則n2AA1，n2AD，設 n2(x，y，z)，則y 3z0， 3xy0，取 n

8、2(1，3，1)，則n1，n2即為二面角 DA1AC 的平面角，cosn1，n2n1n2|n1|n2|55，所以，二面角 DA1AC 的平面角的余弦值為55.(3)假設在直線 CC1上存在點 P，使 BP平面 DA1C1，設CPCC1，P(x，y，z)，則(x，y1，z)(0，1， 3)，從而有 P(0，1，3)，BP( 3，1，3)，設 n3平面 DA1C1，則n3A1C1，n3DA1，又A1C1(0，2，0)，DA1( 3，0，3)，設 n3(x3，y3，z3)，2y30，3x33z30，取 n3(1，0，1)，因為 BP平面 DA1C1，則 n3BP，即 n3BP3 30，得1，即點 P

9、 在 C1C 的延長線上，且 C1CCP.【反思啟迪】 利用空間向量解決探索性問題，可將所求問題轉(zhuǎn)化為方程(組)是否有解的問題， 通過解方程(組)來判斷是否有解【變式訓練 3】(2015日照調(diào)研)如圖 46，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BECF，BCCF，AD 3，EF2，BE3，CF4.圖 46(1)求證：EF平面 DCE；(2)當 AB 的長為何值時，二面角 AEFC 的大小為 60.解(1)證明：在BCE 中，BCBE，BCAD 3，BE3，EC2 3，在FCE 中，CF2EF2CE2，EFCE.由已知條件知，DC平面 EFCB，DCEF，又 DC 與 EC 相交于 C，EF平面 DCE.(2)如圖，以點 C 為坐標原點，以 CB，CF 和 CD 分別作為 x軸，y 軸和 z 軸，建立空間直角坐標系 Cxyz.設 ABa(a0)，則 C(0，0，0)，A(3，0，a)，B(3，0，0)，E(3，3，0)，F(xiàn)(0，4，0)，從而EF(3，1，0)，AE(0，3，a)設平面 AEF 的法向量為 n(x