多元函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)

1、1上下1上下 第七章第七章 多元微分學(xué)多元微分學(xué) 空間曲面與曲線多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法則偏微商與全微分多元函數(shù)的基本概念12上下2上下理解二元函數(shù)的定義，會(huì)求二元函數(shù)的定義域理解二元函數(shù)的定義，會(huì)求二元函數(shù)的定義域 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)概念 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)概念 理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義，掌握多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義，掌握多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 理解全微分概念，會(huì)求二元函數(shù)全微分理解全微分概念，會(huì)求二元函數(shù)全微分掌握多元函數(shù)的極值概念，會(huì)求多元函數(shù)的極值 掌握多元函數(shù)的極值概念，會(huì)求多元函數(shù)的極值 會(huì)使用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)應(yīng)用最小二乘法 會(huì)使用拉格朗日

2、乘數(shù)法求條件極值，會(huì)應(yīng)用最小二乘法 會(huì)解一些經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的最優(yōu)化問(wèn)題 會(huì)解一些經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的最優(yōu)化問(wèn)題 教學(xué)目的教學(xué)目的:本章重點(diǎn)本章重點(diǎn):本章難點(diǎn)本章難點(diǎn):偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，多元復(fù)合函偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，多元函數(shù)極值求法數(shù)求導(dǎo)法則，多元函數(shù)極值求法. .二元復(fù)合函數(shù)微分法，多元函數(shù)的極二元復(fù)合函數(shù)微分法，多元函數(shù)的極值與求法值與求法. . 23上下3上下v目的要求目的要求 掌握復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法掌握復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則，隱函數(shù)求偏導(dǎo)法則。則，隱函數(shù)求偏導(dǎo)法則。v重點(diǎn)重點(diǎn) 復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則v難點(diǎn)難點(diǎn) 復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則7.4 多元復(fù)合函

3、數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法則34上下4上下一、一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理 (1) u= (x,y),v= (x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x，y) 處連續(xù)處連續(xù); (2) 函數(shù)函數(shù)z= f(u,v)的偏導(dǎo)數(shù)在的偏導(dǎo)數(shù)在(x,y)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u,v)處連續(xù)處連續(xù). 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) z= f (x,y), (x,y) 在在(x,y)處存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且處存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且7.4 多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法則45上下5上下xvvfxuufxz yvvfyuufyz z=fuvxyxy鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)復(fù)合函

4、數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則z= f (u,v) u=u(x,y),v=v(x,y)56上下6上下解解,yxvxyu 令令,sinvezu 則則xvvfxuufxz 1cossin veyveuu)cos()sin(yxeyxyexyxy yvvfyuufyz 1cossin vexveuu)cos()sin(yxeyxxexyxy 注注: 此題可不用鏈?zhǔn)椒▌t來(lái)解此題可不用鏈?zhǔn)椒▌t來(lái)解的的偏偏微微商商。求求例例)sin(yxezxy 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)67上下7上下解解22,uxy vxy 令令,vzu xvvfxuufxz 12lnvvvuxuu y 22222222()ln()xyx yxyyxyxy yvv

5、fyuufyz 12lnvvvuyuu x 22222222()ln()xyxyxyxxyxy 冪指函數(shù)冪指函數(shù)注注: 此題必須用鏈?zhǔn)椒▌t來(lái)解此題必須用鏈?zhǔn)椒▌t來(lái)解22()xyzxy 例例求求的的偏偏微微商商。導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)78上下8上下.)( arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 解：解：xyvyxu ,22令令),(arctanvufuezv 則則xvvfxuufxz )11(22arctanarctanvuexevv )(2xy )(22222arctanyxyyxxexy )2(arctanyxexy 練習(xí)練習(xí)89上下9上下yvvfyuufyz xvueyevav1)11(22

6、arctanarctan )(22222arctanyxxyxyexy )2(arctanxyexy .)( arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 xyvyxu ,22令令),(arctanvufuezv 則則910上下10上下)2(arctanxyexy dyyzdxxzdz )2()2(arctandyxydxyxexy .)( arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 xvvfxuufxz )2(arctanyxexy yvvfyuufyz 考研考研題目題目1011上下11上下幾種常見的形式幾種常見的形式（1）若）若z= f(u,v), u=u (x), v= v

7、 (x) 只有一個(gè)自變量只有一個(gè)自變量 dxdvvfdxduufdxdz uvxz= f)()(),(xzxvxufz 則則這時(shí)這時(shí)1112上下12上下(2)若若z= f(u), u=u(x,y), u是是一個(gè)中間變量一個(gè)中間變量z=fuxyxududfxz yududfyz yxzyxufz,),( 1213上下13上下(3)若若z=f (u,x,y), u= (x,y)z=fuxyxyxfxuufxz yfyuufyz ),(),),(yxzyxyxfz 對(duì)于本形式，要注意以下幾點(diǎn)：對(duì)于本形式，要注意以下幾點(diǎn)：1314上下14上下 注意注意1. 這里這里x, y具有具有雙重雙重身份：既作為

8、自變身份：既作為自變量，也作為中間變量。量，也作為中間變量。2.:的的差差別別在在于于與與xfxz 前一個(gè)把前一個(gè)把x看作自變量，看作自變量，后一個(gè)把后一個(gè)把x看作中間變量。看作中間變量。 xfxuufxz yfyuufyz z=fuxyxy1415上下15上下例例 設(shè)設(shè)z=xy+et, x=sint, y=cost. 求求 dtdztfdtdyyfdtdxxfdtdz tyyetxxtyx )sin(lncos1cos12cos1(sin )cos(sin )lnsin.ttttttte 解解1516上下16上下例例 設(shè)設(shè)u= f(x,y,z),z=sin(x2+y2),求求yuxu ,u=

9、fyxzxyxzzfxfxu zfyxxxf )cos(222yzzfyfyu .)cos(222zfyxyyf 解解練習(xí)練習(xí)1617上下17上下例例 設(shè)設(shè)z= f(x2-y2,exy),f 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求求yzxz ,z=fuvyxxy則則設(shè)設(shè),22xyevyxu xvvfxuufxz xyyevfxuf 2vfyeufxxy 2.2vfxeufyyzxy 解解1718上下18上下例例 設(shè)設(shè)z= f (x2-y2,exy), f 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求2zy x z=fuvyxxy則則設(shè)設(shè),22xyevyxu .2vfxeufyyzxy 解解2()zzy xxy )2(vf

10、xeufyxxy 2222222()()xyxyxyfufvffyexyeuxu vxvvfufvxev uxvx z=fuvyxxy1819上下19上下例例解解 yzfuxy vxyyxvxyu ,令令yyyxyxyfx)()(1 yvvyvyuufx )()()(1 1)()()(1 vyvxufx _,).()(12 xyzfyxyxyfxz則則具有二階連續(xù)微商，具有二階連續(xù)微商， 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),1920上下20上下)()()(vyvuf 2zy x )(yzx xvvyxvvxuuf )()()( )(11)()(yxyvyuf )()()(yxyyxxyf y yz例例),(yxvxyu

11、 _,).()(12 xyzfyxyxyfxz則則具有二階連續(xù)微商，具有二階連續(xù)微商， 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),2021上下21上下解法二解法二1)()()(1 yxyyxxxyfxyz )()()(yxyyxxyf )()()(yxyyxxyf y 例例 yxz2_,).()(12 xyzfyxyxyfxz則則具有二階連續(xù)微商，具有二階連續(xù)微商， 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),2122上下22上下隱函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法(1.二元方程確定的一元隱函數(shù)二元方程確定的一元隱函數(shù)) 設(shè)設(shè)F(x,y)=0確定確定y是是x的可微函數(shù)的可微函數(shù)y=y(x),則則 Fx,y(x) 0 ,可知，可知，F(xiàn)通過(guò)通過(guò)y是是x的函數(shù)。的函數(shù)。 0

12、dxdyFFdxdFyxFxyx，則則有有若若0 yF.yxFFdxdy 二、復(fù)合函數(shù)微分法的應(yīng)用二、復(fù)合函數(shù)微分法的應(yīng)用利用復(fù)合函數(shù)微分法利用復(fù)合函數(shù)微分法2223上下23上下022.1 dxdyyxyxdxdy 222.( , )1F x yxy令令,2,2yFxFyx 則則yxyxFFdxdyyx 22的的函函數(shù)數(shù)的的微微商商，所所確確定定的的如如求求xyx122 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)2324上下24上下例的的函函數(shù)數(shù)，是是確確定定設(shè)設(shè)方方程程xyyxxy1 .dxdy求求解1),( yxxyyxF設(shè)設(shè)1,1,xyFyFx yxFFdxdy 則則.11 xy練習(xí)練習(xí)2425上下25上下2. 三元方程

13、確定的二元隱函數(shù)三元方程確定的二元隱函數(shù)設(shè)設(shè)F(x,y,z)=0確定確定z是是x,y的函數(shù)的函數(shù),根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t有根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t有0 xzFFzx0 yzFFzy，則則若若0 zF.,zyzxFFyzFFxz Fxyzxy2526上下26上下例例),(333yxfzaxyzz 確確定定設(shè)設(shè)方方程程.,yzxz 求求解解333) ,(axyzzzyxF 設(shè)設(shè).33,3,32xyzFxzFyzFzyx 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0332 xyzzxFFxz xyzyz3332 ,2xyzyz zyFFyz xyzxz3332 .2xyzxz 2627上下27上下例例,0 xyzez設(shè)設(shè)2.zx y 求解,),(xyzezyxFz 令令.,xyeFxzFyzFzzyx zxFFxz ,xyeyzz zyFFyz .xyexzz 2)()()(xyexyzeyzyzyzxyezzz .)(32222xyezyxexyzzezzz 2zx y ()zyx 2728上下28上下小節(jié)小節(jié)xvvfxuufxz yvvfyuufyz 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.,zyzxFFyzFFxz 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)設(shè)F(x,y,z)=0確定確定z