2009年福建高考文科數(shù)學(xué)卷（含詳細(xì)答案解析）

1、2009福建數(shù)學(xué)試題（文史類）第I卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題。每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若集合，則等于A B C D R1. 解析解析 本題考查的是集合的基本運(yùn)算.屬于容易題.解法1 利用數(shù)軸可得容易得答案B.解法2（驗(yàn)證法）去X=1驗(yàn)證.由交集的定義，可知元素1在A中，也在集合B中，故選B.2. 下列函數(shù)中，與函數(shù) 有相同定義域的是 A . B. C. D.解析 解析 由可得定義域是的定義域；的定義域是0；的定義域是定義域是。故選A.3一個(gè)容量100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下表組別頻數(shù)121324151613

2、7則樣本數(shù)據(jù)落在上的頻率為A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64解析 由題意可知頻數(shù)在的有：13+24+15=52，由頻率=頻數(shù)總數(shù)可得0.52.故選C.4. 若雙曲線的離心率為2，則等于A. 2 B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C. D. 1解析解析 由，解得a=1或a=3，參照選項(xiàng)知而應(yīng)選D.5. 如右圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為。則該集合體的俯視圖可以是解析 解法1 由題意可知當(dāng)俯視圖是A時(shí)，即每個(gè)視圖是變邊長為1的正方形，那么此幾何體是立方體，顯然體積是1，注意到題目體積是，知其是立方體的一半，可知選C. 解法2 當(dāng)俯

3、視圖是A時(shí)，正方體的體積是1；當(dāng)俯視圖是B時(shí)，該幾何體是圓柱，底面積是，高為1，則體積是；當(dāng)俯視是C時(shí)，該幾何是直三棱柱，故體積是，當(dāng)俯視圖是D時(shí)，該幾何是圓柱切割而成，其體積是.故選C.6. 閱讀圖6所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是A-1 B. 2 C. 3 D. 4解析解析當(dāng)代入程序中運(yùn)行第一次是，然后賦值此時(shí)；返回運(yùn)行第二次可得，然后賦值；再返回運(yùn)行第三次可得，然后賦值，判斷可知此時(shí)，故輸出，故選D。7. 已知銳角的面積為，則角的大小為A. 75° B. 60°w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B. 45° D.30°解析解析 由

4、正弦定理得，注意到其是銳角三角形，故C=°，選B8. 定義在R上的偶函數(shù)的部分圖像如右圖所示，則在上，下列函數(shù)中與的單調(diào)性不同的是AB. C. D解析 解析 根據(jù)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，故可知求在上單調(diào)遞減，注意到要與的單調(diào)性不同，故所求的函數(shù)在上應(yīng)單調(diào)遞增。而函數(shù)在上遞減；函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減；函數(shù)在（上單調(diào)遞減，理由如下y=3x2>0(x<0),故函數(shù)單調(diào)遞增，顯然符合題意；而函數(shù)，有y=-<0(x<0),故其在（上單調(diào)遞減，不符合題意，綜上選C。9.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則的值為A. -5 B

5、. 1 C. 2 D. 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析解析 如圖可得黃色即為滿足的直線恒過（0，1），故看作直線繞點(diǎn)（0，1）旋轉(zhuǎn)，當(dāng)a=-5時(shí)，則可行域不是一個(gè)封閉區(qū)域，當(dāng)a=1時(shí)，面積是1；a=2時(shí)，面積是；當(dāng)a=3時(shí)，面積恰好為2，故選D.10. 設(shè)是平面內(nèi)的兩條不同直線；是平面內(nèi)的兩條相交直線，則的一個(gè)充分而不必要條件是A. B. C. D. 解析 解析 要得到必須是一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另外一個(gè)平面平行。若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個(gè)平面。對于選項(xiàng)A，不是同一平面的兩直線，顯既不充分也不必要；對于選項(xiàng)B，由于與時(shí)相交直線，而且由于/m可

6、得，故可得，充分性成立，而不一定能得到/m，它們也可以異面，故必要性不成立，故選B.對于選項(xiàng)C，由于m,n不一定的相交直線，故是必要非充分條件.對于選項(xiàng)D，由可轉(zhuǎn)化為C，故不符合題意。綜上選B.11.若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對值不超過0.25， 則可以是A. B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C. D. 解析 的零點(diǎn)為x=,的零點(diǎn)為x=1, 的零點(diǎn)為x=0, 的零點(diǎn)為x=.現(xiàn)在我們來估算的零點(diǎn)，因?yàn)間(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零點(diǎn)x(0, ),又函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對值不超過0.25，只有的零點(diǎn)適合，故選A。12.設(shè)，為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零

7、向量，且滿足與不共線， =,則 的值一定等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A以，為鄰邊的平行四邊形的面積 B. 以，為兩邊的三角形面積C，為兩邊的三角形面積 D. 以，為鄰邊的平行四邊形的面積解析 假設(shè)與的夾角為， =··cos<，>=·cos(90)=·sin,即為以，為鄰邊的平行四邊形的面積，故選A。第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。13. 復(fù)數(shù)的實(shí)部是 -1 。解析 =-1-I,所以實(shí)部是-1。14. 點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)

8、取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長度小于1的概率為 。解析解析：如圖可設(shè),則,根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長，則其概率是。w。w.w.k.s.5.u.c.o.m 15. 若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解析 解析：由題意該函數(shù)的定義域，由。因?yàn)榇嬖诖怪庇谳S的切線，故此時(shí)斜率為，問題轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)。解法1 （圖像法）再將之轉(zhuǎn)化為與存在交點(diǎn)。當(dāng)不符合題意，當(dāng)時(shí)，如圖1，數(shù)形結(jié)合可得顯然沒有交點(diǎn)，當(dāng)如圖2，此時(shí)正好有一個(gè)交點(diǎn)，故有應(yīng)填或是。解法2 （分離變量法）上述也可等價(jià)于方程在內(nèi)有解，顯然可得16. 五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1.第二位同學(xué)

9、首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；若報(bào)出的是為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次，當(dāng)?shù)?0個(gè)數(shù)被報(bào)出時(shí)，五位同學(xué)拍手的總次數(shù)為 。解析 這樣得到的數(shù)列這是歷史上著名的數(shù)列，叫斐波那契數(shù)列.尋找規(guī)律是解決問題的根本，否則，費(fèi)時(shí)費(fèi)力.首先求出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)除以3所得余數(shù)的變化規(guī)律，再求所求就比較簡單了.這個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律是：從第三個(gè)數(shù)開始遞增，且是前兩項(xiàng)之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987分別除以3得余數(shù)分別是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0由此可見余數(shù)的變化規(guī)

10、律是按1、1、2、0、2、2、1、0循環(huán)，周期是8.在這一個(gè)周期內(nèi)第四個(gè)數(shù)和第八個(gè)數(shù)都是3的倍數(shù)，所以在三個(gè)周期內(nèi)共有6個(gè)報(bào)出的數(shù)是三的倍數(shù)，后面6個(gè)報(bào)出的數(shù)中余數(shù)是1、1、2、0、2、2，只有一個(gè)是3的倍數(shù)，故3的倍數(shù)總共有7個(gè)，也就是說拍手的總次數(shù)為7次.s.5.u.c.o.m 17(本小題滿分)2分）等比數(shù)列中，已知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）若分別為等差數(shù)列的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。解：（I）設(shè)的公比為 由已知得，解得 （）由（I）得，則， 設(shè)的公差為，則有解得 從而 所以數(shù)列的前項(xiàng)和18（本小題滿分12分）袋中有大小、形

11、狀相同的紅、黑球各一個(gè)，現(xiàn)一次有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個(gè)球 （I）試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若摸到紅球時(shí)得2分，摸到黑球時(shí)得1分，求3次摸球所得總分為5的概率。解：（I）一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下： （紅、紅、紅、）、（紅、紅、黑）、（紅、黑、紅）、（紅、黑、黑）、（黑、紅、紅）、（黑、紅、黑）、（黑、黑、紅）、（黑、黑、黑） （）記“3次摸球所得總分為5”為事件A 事件A包含的基本事件為：（紅、紅、黑）、（紅、黑、紅）、（黑、紅、紅）事件A包含的基本事件數(shù)為3 由（I）可知，基本事件總數(shù)為8，所以事件A的概率為

12、19（本小題滿分12分）已知函數(shù)其中， （I）若求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）在（I）的條件下，若函數(shù)的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求函數(shù)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像象左平移個(gè)單位所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)。解法一：（I）由得 即又（）由（I）得， 依題意， 又故 函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后所對應(yīng)的函數(shù)為 是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) 即 從而，最小正實(shí)數(shù)解法二：（I）同解法一（）由（I）得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 依題意，又，故函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后所對應(yīng)的函數(shù)為是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對恒成立亦即對恒成立。即對恒成立。故從而，最小正實(shí)數(shù)20（本小題滿分

13、12分）如圖，平行四邊形中，將沿折起到的位置，使平面平面 （I）求證： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求三棱錐的側(cè)面積。（I）證明：在中， 又平面平面 平面平面平面 平面 平面（）解：由（I）知從而 在中， 又平面平面 平面平面，平面 而平面 綜上，三棱錐的側(cè)面積，21（本小題滿分12分）已知函數(shù)且 （I）試用含的代數(shù)式表示； （）求的單調(diào)區(qū)間；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)；解法一：（I）依題意，得 由得（）由（I）得（ 故 令，則或 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表： +單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

14、由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為由時(shí)，此時(shí)，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R當(dāng)時(shí)，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為（）當(dāng)時(shí)，得 由，得 由（）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為 所以函數(shù)在處取得極值。 故 所以直線的方程為 由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線， 故在內(nèi)存在零點(diǎn)，這表明線段與曲線有異于的公共點(diǎn)解法二：（I）同解法一（）同解法一。（）當(dāng)時(shí)，得，由，得由（）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，故所以直線的方程為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得解得所以線段與曲線有異于的公共點(diǎn) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22（本小題滿分14分）已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)。 （I）求橢圓的方程； （）求線段MN的長度的最小值； （）當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由