正弦定理和余弦定理

1、正弦定理和余弦定理高考風(fēng)向1.考查正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)；2.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀和解三角形；3.在解答題中對正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)中恒等變換、誘導(dǎo)公式等知識點(diǎn)進(jìn)行綜合考查學(xué)習(xí)要領(lǐng)1.理解正弦定理、余弦定理的意義和作用；2.通過正弦、余弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合1 正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，解決不同的三角形問題2 余弦定理：a2b2c22bccos_A，

2、b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形：cos A，cos B，cos C.3 SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R、r.4 在ABC中，a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin A<a<baba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，A>Ba>bsin A>sin B；tanA+tanB+tanC=tan

3、A·tanB·tanC；在銳角三角形中，cosA<sinB,cosA<sinC·2 根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換1 在ABC中，假設(shè)A60°，a，那么_.2 (2021·福建)ABC的三邊長成公比為的等比數(shù)列，那么其最大角的余弦值為_3 (2021·重慶)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos A，cos B，b3，那么c_.4 (2021·課標(biāo)全國)在ABC中，B60°，AC，那么AB2BC的最大值

4、為_5 圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，假設(shè)abc16，那么三角形的面積為()A2 B8C. D.題型一利用正弦定理解三角形例1在ABC中，a，b，B45°.求角A、C和邊c.思維啟迪：兩邊及一邊對角或兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意解的個數(shù)的判斷探究提高(1)兩角及一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意 a，b，c分別是ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，假設(shè)a1，b，AC2B，那么角A的大小為_題型二利用余弦定理求解三角形

5、例2在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且.(1)求角B的大?。?2)假設(shè)b，ac4，求ABC的面積思維啟迪：由，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解探究提高(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答此題的關(guān)鍵(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用 A，B，C為ABC的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2cos A0.(1)求角A的值；(2)假設(shè)a2，bc4，求ABC的面積題型三正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用例3(2021·課標(biāo)全國)a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acos Casin

6、 Cbc0.(1)求A；(2)假設(shè)a2，ABC的面積為，求b，c.思維啟迪：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再利用和差公式可求出A；面積公式和余弦定理相結(jié)合，可求出b，c.探究提高在關(guān)系式中，假設(shè)既含有邊又含有角通常的思路是將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?，再結(jié)合正、余弦定理即可求角 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c.(1)假設(shè)c2，C，且ABC的面積為，求a，b的值；代數(shù)化簡或三角運(yùn)算不當(dāng)致誤典例：(12分)在ABC中，假設(shè)(a2b2)sin(AB)(a2b2)·sin(AB)，試判斷ABC的形狀審題視角(1)先對等式化簡，整理成以單角的形式表示(2)判斷三角形的形狀可以根

7、據(jù)邊的關(guān)系判斷，也可以根據(jù)角的關(guān)系判斷，所以可以從以下兩種不同方式切入：一、根據(jù)余弦定理，進(jìn)行角化邊；二、根據(jù)正弦定理，進(jìn)行邊化角溫馨提醒(1)利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀時，對所給的邊角關(guān)系式一般都要先化為純粹的邊之間的關(guān)系或純粹的角之間的關(guān)系，再判斷(2)此題也可分析式子的結(jié)構(gòu)特征，從式子看具有明顯的對稱性，可判斷圖形為等腰或直角三角形(3)易錯分析：方法一中由sin 2Asin 2B直接得到AB，其實(shí)學(xué)生忽略了2A與2B互補(bǔ)的情況，由于計算問題出錯而結(jié)論錯誤方法二中由c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)不少同學(xué)直接得到c2a2b2，其實(shí)是學(xué)生忽略了a2b20的情況，由于化簡不當(dāng)致

8、誤結(jié)論表述不標(biāo)準(zhǔn)正確結(jié)論是ABC為等腰三角形或直角三角形，而不少學(xué)生答復(fù)為：等腰直角三角形高考中的解三角形問題典例：(12分)(2021·遼寧)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.角A，B，C成等差數(shù)列(1)求cos B的值；(2)邊a，b，c成等比數(shù)列，求sin Asin C的值解后反思(1)在解三角形的有關(guān)問題中，對所給的邊角關(guān)系式一般要先化為只含邊之間的關(guān)系或只含角之間的關(guān)系，再進(jìn)行判斷(2)在求解時要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征判斷使用哪個定理以及變形的方向.方法與技巧1應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：ABC，中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)2正、余弦定理的公式

9、應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin2Asin2Bsin2C2sin B·sin C·cos A，可以進(jìn)行化簡或證明失誤與防范1在利用正弦定理解三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進(jìn)而求出其他的邊和角時，有時可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類討論2利用正、余弦定理解三角形時，要注意三角形內(nèi)角和定理對角的范圍的限制A組專項根底訓(xùn)練(時間：35分鐘，總分值：57分)一、選擇題(每題5分，共20分)1 (2021·廣東)在ABC中，假設(shè)A60°，B45°，BC3，那么AC等于()A4 B2 C. D.2 (2021·浙江)在

10、ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.假設(shè)acos Absin B，那么sin Acos Acos2B等于()A B. C1 D13 在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，假設(shè)a2bcos C，那么此三角形一定是()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形4 (2021·湖南)ABC中，AC，BC2，B60°，那么BC邊上的高等于()A. B. C. D.二、填空題(每題5分，共15分)5 (2021·北京)在ABC中，假設(shè)b5，B，sin A，那么a_.6 (2021·福建)假設(shè)ABC的面積為，BC2，

11、C60°，那么邊AB的長度等于_7 在ABC中，假設(shè)AB，AC5，且cos C，那么BC_.三、解答題(共22分)8 (10分)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos ，·3.(1)求ABC的面積；(2)假設(shè)bc6，求a的值9 (12分)在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，4sin2cos 2A.(1)求A的度數(shù)；(2)假設(shè)a，bc3，求b、c的值B組專項能力提升(時間：25分鐘，總分值：43分)一、選擇題(每題5分，共15分)1 (2021·上海)在ABC中，假設(shè)sin2Asin2B<sin2C，那么ABC的形狀是()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D不能確定2 (2021·遼寧)ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，那么等于()A2 B2 C. D.3 (2021·湖北)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，假設(shè)三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且A>B>C,3b20acos A，那么sin Asin Bsin C為()A432 B567C543 D654二、填空題(每題5分，共15分)4 在ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊長，a，b，c成等比數(shù)列，且a2c2a