正弦余弦定理證明教案

1、正弦余弦定理證明教案【根底知識(shí)精講】1.正弦定理、三角形面積公式正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，并且都等于該三角形外接圓的直徑，即：=2R.面積公式：S=bcsinA=absinC=acsinB.2.正弦定理的變形及應(yīng)用變形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)sinAsinBsinC=abc(3)sinA=,sinB=,sinC=.應(yīng)用(1)利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解決以下兩類解斜三角形問(wèn)題：a.兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.b.兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角.一般地，兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，有兩解、一解、無(wú)解三種

2、情況.A為銳角時(shí)A為直角或鈍角時(shí).(2)正弦定理，可以用來(lái)判斷三角形的形狀.其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化.例如：在判斷三角形形狀時(shí)，經(jīng)常把a(bǔ)、b、c分別用2RsinA、2RsinB、2RsinC來(lái)代替.3.余弦定理在ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC；變形公式：cosA=,cosB=,cosC=在三角形中，我們把三條邊(a、b、c)和三個(gè)內(nèi)角(A、B、C)稱為六個(gè)根本元素，只要其中的三個(gè)元素(至少一個(gè)是邊)，便可以求出其余的三個(gè)未知元素(可能有兩解、一解、無(wú)解)，這個(gè)過(guò)程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜

3、三角形.4.解三角形問(wèn)題時(shí)，須注意的三角關(guān)系式：A+B+C=0A，B，Csin=sin=cossin(A+B)=sinC特別地，在銳角三角形中，sinAcosB,sinBcosC,sinCcosA. 【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】掌握正、余弦定理，并學(xué)會(huì)用其余弦定理解三角形.例1  在ABC中，ABC，且A=2C,b=4,a+c=8，求a、c的長(zhǎng).解：由正弦定理=及A=2C得=,即=,cosC=.由a+c=8=2b及余弦定理，得cosC=.=，整理得(2a-3c)(a-c)=0ac,2a=3c.a+c=8,a=,c=.例2  在ABC中，如果lga-lgc=

4、lgsinB=-lg，且B為銳角，試判斷此三角形的形狀.解：lga-lgc=lgsinB=-lg,sinB=又0°B90°，B=45°由lga-lgc=-lg,得= .由正弦定理得= .即2sin(135°-C)= sinC即2sin135°cosC-cos135°sinC=sinC.cosC=0,得C=90°又A=45°,B=45°從而ABC是等腰直角三角形.例3  如圖：平行四邊形兩鄰邊長(zhǎng)為a和b(ab)，兩對(duì)角線的一個(gè)交角為(0°90

5、76;)，求該平行四邊形的面積. 分析：由于了平行四邊形相鄰兩邊長(zhǎng)和對(duì)角線的一個(gè)交角，再考慮到平行四邊形的面積是AOB的四倍，因此只要求OA·OB·sin即可.解：設(shè)平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于O.AB=a,BC=b,AOB=，又設(shè)OA=x,OB=y.在AOB中，應(yīng)用余弦定理可得：a2=x2+y2-2xycos                在BOC中，應(yīng)用余弦定理可得：b2=x2+y2-2x

6、ycos(180°-)        由-得：b2-a2=4xycos0°90°，xy= (ba)S=4SAOB=2xysin=tan例4  在ABC中，4sinBsinC=1,b2+c2-a2=bc,且BC，求A、B、C.分析：由于題設(shè)條件b2+c2-a2=bc十分特殊，將它與余弦定理對(duì)照可得A=60°,這樣B+C=120°，于是再利用條件4sinBsinC=1，可求得B與C.解：由余弦定理cosA=.又0°A180

7、6;A=60°B+C=120°,又由于4sinBsinC=14sinBsin(120°-B)=14sinB(cosB+sinB)=1sin2B+2sin2B=1sin2B=cos2Btan2B=,2B=30°或2B=210°由于B+C=120°,且BC，60°B120°2B=210°,B=105°,從而C=15°A=60°,B=105°,C=15°例5  ABC中，a，b，c為角A，B，C的對(duì)邊，且a+c=2b，A-C=,求sinB的值

8、.解法一：由正弦定理和條件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB，由和差化積公式得2sin·cos=2sinB由A+B+C=，得sin=cos又A-C=,得cos=sinBcos=2sin·cos又0,cos0sin=從而cos=sinB=· =.解法二：由正弦定理和條件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinBA-C=,A+B+C=兩式相減可得B=-2Csin(+C)+sinC=2sinB得sincosC+cossinC+sinC=2sinBcosC+sinC=2sinB即cos(-C)=2sinBcos=4sin·cos0B,c

9、os0sin=cos=sinB=·cosB= 【難題巧解點(diǎn)拔】例1  ABC中，假設(shè)a=5,b=4,cos(A-B)= ，求AB.分析：很明顯，只要求cosC的值，應(yīng)用余弦定理即可求出AB.解法一：由條件a=5,b=4=9，由cos(A-B)= ,根據(jù)半角公式有sin=,cos=代入式得tg=  tg=ctg,tg= ,根據(jù)萬(wàn)能公式cosC=c2=a2+b2-2abcosC=36,AB=c=6解法二：AB，如圖，作BAD=B,AD=BDCAD=A-B令A(yù)D=BD=y,CD=x,由余弦定理cos(A-B)=

10、 ,x=a-y,= ,y=4,x=1CAD中再由余弦定理cosC=,c=6評(píng)析：上述解法反映邊向角的轉(zhuǎn)化，也可由角向邊轉(zhuǎn)化直接求出邊.例2  半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且OA=2，B為半圓周上任意一點(diǎn)以AB為邊向形外作等邊三角形ABC(如圖)，問(wèn)B點(diǎn)在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大，并求出這個(gè)最大面積.解：設(shè)AOB=x，那么SAOB=·2·1·sinx=sinx,AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cosx=5-4cosx.SABC=AB2= (5-4cosx

11、)= -cosxSOACB=SAOB+SABC=sinx-cosx+=2sin(x-)+0x,- x-  x-=時(shí)，即x=時(shí),SOACB有最大值2+(平方單位)例3  ABC中，AB=AC=a,BAC=，等邊三角形PQR的三邊分別通過(guò)A，B，C三點(diǎn).試求PQR的面積的最大值.分析：先依題意畫出圖形(如圖).因?yàn)樽儎?dòng)三角形PQR為正三角形，它的面積S=PQ2，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求邊長(zhǎng)PQ的最大值.為此需要建立PQ的函數(shù)式，這又必須選取適當(dāng)?shù)牧孔鳛樽宰兞?觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，PQ的位置是隨著PAB的大小變化而變化的.不妨就以PAB為自變量.以下的

12、程序就是應(yīng)用三角形的邊角關(guān)系，求出以PAB的三角函數(shù)表示PQ的解析式，最后求它的最大值.解：設(shè)PAB=x,那么PBA=120°-x,QAC=180°-x-，QCA=x+-60°.在PAB中，=，PA=sin(120°-x),在AQC中，=AQ=sin(x+-60°)PQ=PA+AQ=sin(120°-x)+sin(x+-60°)=sin(+30°)cos(90°-x).因?yàn)槠渲衋, +30°都是常量，所以當(dāng)90°-x=0即x=90°-時(shí)，取得(PQ)max=sin(

13、+30°)同時(shí)也就取得了(S)max= (PQ)2max=a2sin2(+30°)例4  在ABC中，A=，求證：c-a.證明：在ABC中，由A=，得C=2A，B=-3A,0A =.0A，cosA1，即22cosA+13,故c-a.評(píng)析：解此題的關(guān)鍵是利用正弦定理及三角公式將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合角A的取值范圍推得結(jié)論. 【課本難題解答】課本第132頁(yè)，習(xí)題5.9第8題：F132N，38°第9題兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是4cm和4cm,面積是48cm2. 【命題趨勢(shì)分析】本節(jié)主要考查：1.根據(jù)條件，求三角形的末知元素，或

14、判斷三角形的形狀.2.運(yùn)用正、余弦定理及關(guān)系式A+B+C=解決三角形中的計(jì)算和證明問(wèn)題.3.利用所學(xué)的三角知識(shí)解決與三角形有關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題和簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.根據(jù)考試的方向，可以預(yù)見，利用正、余弦定理解斜三角形問(wèn)題將會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、方程、向量等知識(shí)相結(jié)合，尤其是與生活、生產(chǎn)、科學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)際相結(jié)合，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力. 【典型熱點(diǎn)考題】例1  在ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，設(shè)a+c=2b，A-C=，求sinB的值.解：根據(jù)正弦定理和可得：sinA+sinC=2sinB,A+B+C=那么2sin·cos=2sinB.又A-C=,s

15、in=cos2coscos=2sinB=4sincos又0sin=cos= sinB=2··=例2  假設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且最大邊為最小邊的2倍，那么三內(nèi)角之比為        .解：設(shè)三角形三內(nèi)角從小到大依次為B-d,B,B+d,那么B-d+B+B+d=180°B=60°設(shè)最小邊為x，那么最大邊為2x,從而=tand=,d=30°所以三內(nèi)角分別為A=30°,B=60°,C=90°,得

16、三內(nèi)角之比為123.應(yīng)填123.例3  在ABC中，A、B、C三頂點(diǎn)所對(duì)邊分別為a,b,c，試證明b2=c2+a2-2accosB.證明：因?yàn)?+那么有：2=·=(+)·(+)=2+2+2·=2+2+2·cos(180°-B)=c2+a2-2ac·cosB所以b2=c2+a2-2ac·cosB例4  求sin220°+cos280°+sin20cos80°的值.解：設(shè)ABC中的A=10°,B=20°,C=150°對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c.ABC的外接圓半徑為2R，那么由正弦定理得：a=2Rsin10°,b=2Rsin20°,c=2Rsin150°由余弦定理，得：(2Rsin150°)2=(2