教學(xué)目的掌握三種可以降階的微分方程

1、教學(xué)目的：教學(xué)目的：掌握三種可以降階的微分方程掌握三種可以降階的微分方程 求解方法求解方法教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：第二類可以降階的微分方程第二類可以降階的微分方程教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：第三類可以降階的微分方程第三類可以降階的微分方程第三講第三講 可降階微分方程可降階微分方程 主視圖主視圖 可降階微分方程可降階微分方程僅顯含僅顯含x不顯含不顯含y不顯含不顯含x一、一、 型的微分方程型的微分方程)()(xfyn11d )(Cxxfyn212dd)(CxCxxfyn 再積分可得依此繼續(xù)下去，連續(xù)積分 n 次，便得方程(6-18)的含有 n 個(gè)任意常數(shù)的通解)()(xfyn的右端僅含有自變量 x ，對(duì)于這種

2、 微分方程方程，兩端積分便使它降為一個(gè) n-1 階的微分方程 可降階微分方程可降階微分方程12sine21Cxyx 212cose41CxCxyx3221221sine81CxCxCxyxxyxcose2 例例 1 求微分方程 的通解解解 對(duì)所給方程連續(xù)積分三次，得這就是所求的通解例題例題 回主視圖回主視圖，方程(6-19)變成 ，),(pxfp 1,Cxp1,ddCxxy21d,CxCxy這是關(guān)于 x 和 p 的一階微分方程，設(shè)其通解為xypdd由于，因此又得到一個(gè)一階微分方程, 對(duì)它積分即得(6-19)的通解py pxpy dd，則yxfy ,中不顯含未知函數(shù) y ，如果設(shè)微分方程不顯含不

3、顯含y 221112xpxxpxxxCxd1111122121212 yxyx例例 2 求方程 的通解py yp 解解 所給方程不顯含變量 y ，令，則 ，1212xppx代入原方程得代入原方程得 它是一階線性微分方程，化為標(biāo)準(zhǔn)形式它是一階線性微分方程，化為標(biāo)準(zhǔn)形式 xxCpxxxxxxde11ed1221d1222其通解為其通解為 例題例題 211xCxyp將將代入上式，并再積分一次得所求方程的通解代入上式，并再積分一次得所求方程的通解212arctan1ln21CxCxyyxxy 2121|0 xy例例3 求方程 滿足初始條件 yp py 解解 此方程不顯含 y ，令，則，代入方程得3|0

4、 xy的特解xpxp212例題例題 213ddxxy211xCp分離變量后兩邊積分得分離變量后兩邊積分得 3|0 xy31C由 得，從而233Cxxy兩邊積分得兩邊積分得133xxy故所求特解為故所求特解為1|0 xy12C由由 得得回主視圖回主視圖yppxyypxpydddddddd yyfy ,微分方程中 不顯含自變量 x ，對(duì)于這類方程，yp 令，兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得),(ddpyfypp則方程(6-20)變成這是一個(gè)關(guān)于變量 p和y 的一階微分方程，設(shè)它的通解為1,Cypy, 分離變量并積分，即可得方程(6-20)21d,yxCy C的通解不顯含不顯含x yppydd yyppddyCy1 02 yyy例例4 求微分方程 的通解py 解 方程中不顯含自變量 x，設(shè) ，則0dd2 pypyp代入原方程得代入原方程得0p如果如果，那么方程中約去那么方程中約去 p 并分離變量得并分離變量得yCp1兩端積分并化簡(jiǎn)，得兩端積分并化簡(jiǎn)，得，即即例題例題 21lnlnCxCy再分離變量并積分，得再分離變量并積分，得，即即xCCy1e20pCy 如果如果，那么那么，顯然它也滿足原方程，但顯