某科技大學(xué)_微積分_極限習(xí)題課（附答案)

1、例1 求極限（1）， 解 時(shí)，極限為1；時(shí)（充分大時(shí)，），原式。（2）解 先求，所以原式=另法 利用（3）解 因?yàn)?，即有?dāng)時(shí)，由夾擠準(zhǔn)則得，同理，故原極限為1。（4） 解 先求，原極限為 。（5）.解 原式 （6）.解 分子為,原式. 練習(xí)（1） （答案）（2） （答案） （3） （答案） （4） （答案） （5） （答案） （6） （提示和差化積，極限為0）（7）設(shè)，求。（提示：令，則。）例2 設(shè)，求解 考慮，分三個(gè)情形：（1）若，極限為0.（2）若，則，易得，故數(shù)列單調(diào)遞減有下界，極限存在。對(duì)兩邊求極限得 ，從而。（3）時(shí)，同理求得。綜上極限為0.例3設(shè)，且 證明 。分析 問(wèn)題中的遞推公式

2、互相關(guān)聯(lián)，且平均值不等式（幾何平均與算術(shù)平均）可用，考慮單調(diào)有界準(zhǔn)則。 證 由于，且 可知為單調(diào)增加數(shù)列，為單調(diào)減少數(shù)列，且故數(shù)列極限都存在，設(shè)極限分別為，對(duì)兩邊取極限得，故。注 此題變化為：，且 則。例4 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并判斷類型：（1）. （2）. 解 （1）無(wú)定義的點(diǎn)為整數(shù).因?yàn)?，所以是跳躍間斷點(diǎn)；因?yàn)樗允强扇ラg斷點(diǎn)；時(shí)，是第二類間斷點(diǎn)。 思考：間斷點(diǎn)將實(shí)軸分成子區(qū)間，函數(shù)在哪個(gè)子區(qū)間上有界？（2）無(wú)定義的點(diǎn)及.因?yàn)?,故是的無(wú)窮間斷點(diǎn).又由于故是的跳躍間斷點(diǎn).例5 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，。證明存在，使得。證 令，則由條件知在上連續(xù)，設(shè)其最小值與最大值為。則又直接計(jì)算得知故由連續(xù)函數(shù)的介值定理，在區(qū)間必能取到值0。亦即存在，使得。同型練習(xí)題：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，。證明存在，使得。例6 設(shè)函數(shù)在實(shí)軸上連續(xù)，且。證明，使。（用反證法）例7 設(shè)在連續(xù)，且：，證明：時(shí)，是常數(shù)。證 對(duì)任，.令，利用及連續(xù)性條件得，即恒等于.同型練習(xí)題：設(shè)在連續(xù)，且，證明：是常數(shù)。例8 設(shè)為常數(shù)，若不等式對(duì)所有成立,證明 。 例9 設(shè)在連續(xù)，且任給，有 試證為線性函數(shù)，其中。 證 顯然，即為奇函數(shù)。又，即。從而，故對(duì)有理數(shù)都有。 任給，存在有理數(shù)數(shù)列，利用的