概率論 第二節(jié) 樣本空間隨機事件

1、一、樣本空間一、樣本空間 樣本點樣本點 三、隨機事件間的關(guān)系及運算三、隨機事件間的關(guān)系及運算 二、隨機事件的概念二、隨機事件的概念四、小結(jié)四、小結(jié) 第二節(jié)樣本空間、隨機事件問題問題 隨機試驗的結(jié)果隨機試驗的結(jié)果?定義定義 隨機試驗隨機試驗 E 的所有可能結(jié)果組成的集合的所有可能結(jié)果組成的集合稱為稱為 E 的樣本空間的樣本空間, 記為記為 S .樣本空間的元素樣本空間的元素 , 即試驗即試驗E 的每一個結(jié)果的每一個結(jié)果, 稱為稱為樣本點樣本點.實例實例1 拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣,觀察字面觀察字面,花面出現(xiàn)的情況花面出現(xiàn)的情況.,1THS 一、樣本空間 樣本點 字字面面朝朝上上H花面朝上花面朝上

2、T實例實例2 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù).6, 5, 4, 3, 2, 12 S實例實例3 從一批產(chǎn)品中從一批產(chǎn)品中,依次任選三件依次任選三件,記錄出記錄出 現(xiàn)正品與次品的情況現(xiàn)正品與次品的情況. , , , , , , 3DDDDNDDDNNDDDNNNDNNNDNNNS 則則.,次次品品正正品品記記DN實例實例4 記錄某公共汽車站某日記錄某公共汽車站某日 上午某時刻的等車人數(shù)上午某時刻的等車人數(shù). ., 2, 1, 04 S實例實例5 考察某地區(qū)考察某地區(qū) 12月份的平月份的平 均氣溫均氣溫.215TtTtS . 為為平平均均溫溫度度其其中中t實例實例6 從一批

3、燈泡中任取從一批燈泡中任取 一只一只, 測試其壽命測試其壽命.06 ttS.t的的壽壽命命為為燈燈其其中中泡泡實例實例7 記錄某城市記錄某城市120 急急 救電話臺一晝夜接救電話臺一晝夜接 到的呼喚次數(shù)到的呼喚次數(shù). . , 2, 1, 07 S答案答案.18 , ,5 ,4 ,3 .1 S. ,12 ,11 ,10 .2 S寫出下列隨機試驗的樣本空間寫出下列隨機試驗的樣本空間.1. 同時擲三顆骰子同時擲三顆骰子,記錄三顆骰子之和記錄三顆骰子之和.2. 生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品件正品,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品記錄生產(chǎn)產(chǎn)品 的總件數(shù)的總件數(shù).課堂練習(xí)課堂練習(xí) 2. 同一試驗同一試驗 , 若

4、試驗?zāi)康牟煌粼囼災(zāi)康牟煌?則對應(yīng)的樣則對應(yīng)的樣 本空本空 間也不同間也不同. 例如例如 對于同一試驗對于同一試驗: “將一枚硬幣拋擲三將一枚硬幣拋擲三次次”. 若觀察正面若觀察正面 H、反面、反面 T 出現(xiàn)的情況出現(xiàn)的情況 ,則樣本空間則樣本空間為為若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù) , 則樣本空間為則樣本空間為. 3, 2, 1, 0 S.,TTTTHTTTHHTTTHHHTHHHTHHHS 說明說明 1. 試驗不同試驗不同, 對應(yīng)的樣本空間也不同對應(yīng)的樣本空間也不同.說明說明 3. 建立樣本空間建立樣本空間,事實上就是建立隨機現(xiàn)事實上就是建立隨機現(xiàn) 象的數(shù)學(xué)模型象的數(shù)學(xué)模型. 因此

5、因此 , 一個樣本空間可以一個樣本空間可以 概括許多內(nèi)容大不相同的實際問題概括許多內(nèi)容大不相同的實際問題.例如例如 只包含兩個樣本點的樣本空間只包含兩個樣本點的樣本空間它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面正面或出現(xiàn)或出現(xiàn)反面反面的的模型模型 , 也可以作為產(chǎn)品檢驗中也可以作為產(chǎn)品檢驗中合格合格與與不合格不合格的模的模型型 , 又能用于排隊現(xiàn)象中又能用于排隊現(xiàn)象中有人排隊有人排隊與與無人排隊無人排隊的的模型等模型等.,THS 所以在具體問題的研究所以在具體問題的研究中中 , 描述隨機現(xiàn)象的第一步描述隨機現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間就是建立樣本空間. 隨機事件隨機事件 隨機試驗隨機

6、試驗 E 的樣本空間的樣本空間 S 的子集稱的子集稱 為為 E 的隨機事件的隨機事件, 簡稱事件簡稱事件.試驗中試驗中,骰子骰子“出現(xiàn)出現(xiàn)1點點”, “出現(xiàn)出現(xiàn)2點點”, ,“出現(xiàn)出現(xiàn)6點點”,“點數(shù)不大于點數(shù)不大于4”, “點數(shù)為偶數(shù)點數(shù)為偶數(shù)” 等都為隨機事件等都為隨機事件. 實例實例 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù).1. 基本概念基本概念二、隨機事件的概念實例實例 上述試驗中上述試驗中 “點數(shù)不大于點數(shù)不大于6” 就是必然事件就是必然事件.必然事件必然事件 隨機試驗中必然會出現(xiàn)的結(jié)果隨機試驗中必然會出現(xiàn)的結(jié)果.不可能事件不可能事件 隨機試驗中不可能出現(xiàn)的結(jié)果隨機

7、試驗中不可能出現(xiàn)的結(jié)果. 實例實例 上述試驗中上述試驗中 “點數(shù)大于點數(shù)大于6” 就是不可能事件就是不可能事件. 必然事件的對立面是不可能事件必然事件的對立面是不可能事件,不可能事不可能事件的對立面是必然事件件的對立面是必然事件,它們互稱為它們互稱為對立事件對立事件.實例實例 “出現(xiàn)出現(xiàn)1點點”, “出現(xiàn)出現(xiàn)2點點”, , “出現(xiàn)出現(xiàn)6點點”.基本事件基本事件 由一個樣本點組成的單點集由一個樣本點組成的單點集.2. 幾點說明幾點說明例如例如 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù). 可設(shè)可設(shè) A = “點數(shù)不大于點數(shù)不大于4”,B = “點數(shù)為奇數(shù)點數(shù)為奇數(shù)” 等等等等. 隨

8、機事件可簡稱為事件隨機事件可簡稱為事件, 并以大寫英文字母并以大寫英文字母 A, B, C, 來表示事件來表示事件(2) 隨機試驗隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關(guān)系樣本空間與隨機事件的關(guān)系 每一個隨機試驗相應(yīng)地有一個樣本空間每一個隨機試驗相應(yīng)地有一個樣本空間, 樣樣本空間的子集就是隨機事件本空間的子集就是隨機事件.隨機試驗隨機試驗樣本空間樣本空間子集子集隨機事件隨機事件隨機事件隨機事件 基本事件基本事件 必然事件必然事件不可能事件不可能事件復(fù)合事件復(fù)合事件 互為對立事件互為對立事件.), 2 , 1( , , ,的的子子集集是是而而的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗驗SkABASEk 1. 包

9、含關(guān)系包含關(guān)系若事件若事件 A 出現(xiàn)出現(xiàn), 必然導(dǎo)致必然導(dǎo)致 B 出現(xiàn)出現(xiàn) ,則稱事件則稱事件 B 包含事件包含事件 A,記作記作.BAAB 或或?qū)嵗龑嵗?“長度不合格長度不合格” 必然導(dǎo)致必然導(dǎo)致 “產(chǎn)品不合產(chǎn)品不合格格”所以所以“產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格” 包含包含“長度不合格長度不合格”.圖示圖示 B 包含包含 A.SBA三、隨機事件間的關(guān)系及運算 2. A等于等于B 若事件若事件 A 包含事件包含事件 B， 而且事件而且事件B 包含事件包含事件 A，則稱事件則稱事件 A 與事件與事件 B 相等相等，記作記作 A=B.3. 事件事件 A 與與 B 的并的并(和事件和事件). 和和事事件件的的

10、事事件件與與稱稱為為事事件件或或事事件件BABxAxxBA 實例實例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定直徑是否合格所決定,因此因此 “產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格”是是“長度長度不合格不合格”與與“直徑不合格直徑不合格”的并的并.圖示事件圖示事件 A 與與 B 的并的并. SBABA; , , , 211的和事件的和事件個事件個事件為為稱稱推廣推廣nknkAAAnA 4. 事件事件 A 與與 B 的交的交 (積事件積事件).ABBA或或積事件也可記作積事件也可記作 . , ,211的和事件的和事件為可列個事件為可列個事件稱稱AAAkk . 積積

11、事事件件的的與與事事件件稱稱為為事事件件且且事事件件BABxAxxBA 圖示事件圖示事件A與與B 的積的積事件事件.SABAB實例實例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度 與直徑是否合格所決定與直徑是否合格所決定,因此因此“產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格”是是“長度合格長度合格”與與“直徑合格直徑合格”的交或積事件的交或積事件.和事件與積事件的運算性質(zhì)和事件與積事件的運算性質(zhì),AAA ,SSA ,AA ,AAA ,ASA . A; , , ,211的的積積事事件件個個事事件件為為稱稱推推廣廣nnkkAAAnA . , ,211的的積積事事件件為為可可列列個個事事件件稱稱AA

12、Akk 5. 事件事件 A 與與 B 互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件 B 不出現(xiàn)不出現(xiàn), B出現(xiàn)也必然導(dǎo)致出現(xiàn)也必然導(dǎo)致 A不出現(xiàn)不出現(xiàn),則稱事件則稱事件 A與與B互不相互不相容容, 即即. ABBA實例實例 拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣, “出現(xiàn)花面出現(xiàn)花面” 與與 “出現(xiàn)字面出現(xiàn)字面” 是互不相容的兩個事件是互不相容的兩個事件.“骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點點” “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)2點點”圖示圖示 A 與與 B 互斥互斥.SAB互斥互斥實例實例 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù) . 6. 事件事件 A 與與 B 的差的差

13、由事件由事件 A 出現(xiàn)而事件出現(xiàn)而事件 B 不出現(xiàn)所組成的不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件事件稱為事件 A 與與 B 的差的差. 記作記作 A- - B.圖示圖示 A 與與 B 的差的差.SABSABAB AB BA BA 實例實例 “長度合格但直徑不合格長度合格但直徑不合格” 是是 “長度合長度合格格” 與與 “直徑合格直徑合格” 的差的差. 設(shè)設(shè) A 表示表示“事件事件 A 出現(xiàn)出現(xiàn)”, 則則“事件事件 A 不出現(xiàn)不出現(xiàn)”稱為事件稱為事件 A 的的對立事件或逆事件對立事件或逆事件. 記作記作.A實例實例 “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點點” “骰子不出現(xiàn)骰子不出現(xiàn)1點點”圖示圖示 A 與與 B 的對立的對

14、立.SBA 若若 A 與與 B 互逆互逆,則有則有. ABSBA且且A7. 事件事件 A 的對立事件的對立事件對立對立對立事件與互斥事件的區(qū)別對立事件與互斥事件的區(qū)別SSABABA A、B 對立對立A、B 互斥互斥 ABSBA且且 AB互互 斥斥對對 立立事件間的運算規(guī)律事件間的運算規(guī)律.,)1(BAABABBA 交交換換律律),()()2(CBACBA 結(jié)結(jié)合合律律,)()()()3(BCACCBCACBA 分分配配律律.,:(4)BABABABA 摩摩根根律律德德則則有有為為事事件件設(shè)設(shè) ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA 例例1 設(shè)設(shè)A,B,C 表

15、示三個隨機事件表示三個隨機事件, ,試將下列事件試將下列事件用用A,B,C 表示出來表示出來. .(1) A 出現(xiàn)出現(xiàn) , B, C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(5) 三個事件都不出現(xiàn)三個事件都不出現(xiàn);(2) A, B都出現(xiàn)都出現(xiàn), C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(3) 三個事件都出現(xiàn)三個事件都出現(xiàn);(4) 三個事件至少有一個出現(xiàn)三個事件至少有一個出現(xiàn);(6) 不多于一個事件出現(xiàn)不多于一個事件出現(xiàn);(7) 不多于兩個事件出現(xiàn)不多于兩個事件出現(xiàn);(8) 三個事件至少有兩個出現(xiàn)三個事件至少有兩個出現(xiàn);(9) A, B 至少有一個出現(xiàn)至少有一個出現(xiàn), C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(10) A, B, C 中恰好有兩個出現(xiàn)中恰好有兩個

16、出現(xiàn).解解;)1(CBA;)2(CAB;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA;)8(BCACBACABABC ;)()9(CBA.)10(BCACBACAB ;ABC或或;)6(CBACBACBACBA ,)7(BCACBACABCBACBACBACBA (1)沒有一個是次品沒有一個是次品;(2)至少有一個是次品至少有一個是次品;(3)只有一個是次品只有一個是次品;(4)至少有三個不是次品至少有三個不是次品;(5)恰好有三個是次品恰好有三個是次品; (6)至多有一個是次品至多有一個是次品.解解;)1(4321AAAA:, )4, 3, 2, 1(,示示下下列列各各事事件件表表試試用用個個零

17、零件件是是正正品品產(chǎn)產(chǎn)的的第第表表示示他他生生零零件件設(shè)設(shè)一一個個工工人人生生產(chǎn)產(chǎn)了了四四個個iiAiiA 2例例4321432143214321)2(AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA ,4321AAAA ;4321AAAA或或;)3(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321)4(AAAAAAAAAAAAAAAA ;4321AAAA ; )5(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA .)6(43214321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 隨機試驗隨機試驗樣本空間樣本空間子集子集隨機事件隨機事件隨機事件隨機事件 基本事件基本事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件復(fù)合事件復(fù)合事件四、小結(jié)1. 隨機試驗隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關(guān)系樣本空間與隨機事件的關(guān)系2. 概率論與集合論之間的對應(yīng)關(guān)系概率論與集合論之間的對應(yīng)關(guān)系記號記號概率論概率論集合論集合論S樣本空間，必然事件樣本空間，必然事件空間空間不可能事