實驗一-維納濾波器的計算機實現(xiàn)

1、精品實驗一維納濾波器的計算機實現(xiàn)一、設(shè)計目的1利用計算機編程實現(xiàn)加性干擾信號的維納濾波。2將計算機模擬實驗結(jié)果與理論分析結(jié)果相比較，分析影響維納濾波效果的各種因素，從而加深對維納濾波的理解。二、設(shè)計原理與方法維納濾波是一種從噪聲背景中提取信號的最佳線性方法，假定一個隨機信號 x(n) 具有以下形式：x(n) s(n) v(n)（1-1 ）其中， s(n) 為有用信號， v(n) 為噪聲干擾，將其輸入一個單位脈沖響應(yīng)為h(n)的線性系統(tǒng)，其輸出為y(n)h( m)x(nm)（1-2 ）m我們希望 x(n) 通過這個系統(tǒng)后得到的y(n) 盡可能接近于 s(n) ，因此，稱y(n)為信號 s(n)

2、的估值。按照最小均方誤差準(zhǔn)則，h(n) 應(yīng)滿足下面的正則方程：xs (k)h(m) xx (km)（1-3 ）m這就是著名的維納霍夫方程，其中xx (m) E x(n) x (n m)(1-4)xs (m) 是x(n) 與s(n) 的互相關(guān)函數(shù)，定義為xs (m) E x( n)s ( n m)(1-5)-可編輯 -精品這里，E · 表示求數(shù)學(xué)期*望表，示取共軛。在要求 h(n) 滿足因果性的條件下， 求解維納 - 霍夫方程是一個典型的難題。雖然目前有幾種求解 h(n) 的解析方法，但它們在計算機上實現(xiàn)起來非常困難。因此本實驗中利用近似方法，即最佳FIR維納濾波方法，在計算機上實現(xiàn)隨

3、機信號的維納濾波。設(shè) h(n) 為一因果序列，其長度為N ，則N 1y(n)h(m) x(n m)(1-6)m同樣利用最小均方誤差準(zhǔn)則，h(n) 滿足下面正則方程：Rxxh rxs(1-7)其中hh(0), h(1),K , h(NT(1-8)1)xx (0)xx (1)Kxx (N1)xx (1)xx (0)Kxx (N2)RxxKK(1-9)Kxx ( N1)xx (N2)Kxx (0)rxsxs (0)xs (1)Kxs ( N1)T(1-10)這里 T表示轉(zhuǎn)置運算。稱Rxx 為信號 x(n) 的N 階自相關(guān)矩陣，rxs 為x(n) 與s(n) 的互相關(guān)函數(shù)向量。當(dāng)Rxx 為滿秩矩陣時，

4、由公式(1-7) 可得hRxx1rxs(1-11)由此可見，利用有限長的h(n) 實現(xiàn)維納濾波器，只要已知Rxx 和 rxs ，就可以按上式解得滿足因果性的h 。雖然它不同于真正的維納濾波器，但是只要N選擇的足夠大， 它就可以很好地逼近真正的維納濾波器，這一點我們可以在下面實驗中得到證實。在本實驗中， s(n) 由下式來確定：-可編輯 -精品s(n) as(n 1) w(n)(1-12)其中 a0.95, w( n) 是零均值方差為22的均勻分布白噪聲，v(n) 是與w1 as(n) 互不相關(guān)的均勻分布白噪聲，其均值為零，方差根據(jù)理論推導(dǎo)，此時維納最佳濾波器為2v1 。H ( z)0.238(

5、1-13)0.724 z 11單位脈沖響應(yīng)為h(n) 0.238(0.724) n u(n)(1-14)由此可以實現(xiàn)對信號 x(n) 的最佳過濾，即?(1-15)y(n) s(n)0.724s(n 1) 0.238 x( n)其中 s?(n) 為s(n) 的最佳估值。同時可以推出，經(jīng)過理想維納濾波后，均方誤差應(yīng)為E e2( n)?20.23811(1-16)E ( s(n) s(n)在實驗中，我們利用下面公式來統(tǒng)計均方誤差：? 1ELL2s? i)s i)(1-17)(i 1其中 L為維納濾波數(shù)據(jù)長度。實際中，一般很難確切地知道xx (m) 和xs( m) ，通常是利用有限個x(n)和 s(n

6、) 的樣本來估計它們?xx (m)1Lmx(i ) x (im )(1-18)m iL1?xs (m)1Lmx(i ) s (im )(1-19)m iL1為了在檢驗實際中某次產(chǎn)生序列的自相關(guān)特性與理論值的近似程度，我們可以采用下式進(jìn)行度量：-可編輯 -精品K( ?xx (m)xx ( m)2mK（ 1-20a）xxKxx2( m)mKK( ?xs (m)xs (m) 2mK（1-20b）xsKxs2 (m)mK該式表示了自相關(guān)函數(shù)的理論值與某次實現(xiàn)的實際值的相對平方誤差。實驗中為了得到與自相關(guān)特性理論值相符的觀測序列，往往需要多次產(chǎn)生序列， 直到兩者的相對平方誤差足夠小。本實驗中，我們?nèi)=

7、50 ，并認(rèn)為xx0.03 且xs0.01的序列才是滿足要求的。三、設(shè)計內(nèi)容與步驟1 仔細(xì)閱讀維納濾波原理，根據(jù)圖1.1 給出的框圖編制維納濾波程序。2 運行維納濾波程序，選擇L=500,N=10，觀察并記錄實驗結(jié)果，分析比較下列三個問題： 與s(n) 比較，信號 x(n) 在維納濾波前后有何差別？濾波效果如何？ 估計出 ?的和理想的比較，近似程度如何？h(n)h(n) 理想的維納濾波和 FIR維納濾波效果有何差異？-可編輯 -精品圖 1.13 固定 L=500,分別取 N=3 、20, 根據(jù)實驗結(jié)果，觀察 N 的大小對 ? 的估 h(n)計和濾波效果的影響。記錄實驗結(jié)果。4 固定 N=10,

8、 改變 L=200,1000,?根據(jù)實驗結(jié)果，觀察并記錄 L的大小對 h( n) 的精度和濾波效果的影響。四、設(shè)計報告要求1簡述設(shè)計目的和原理。2 按設(shè)計步驟附主要結(jié)果。3 根據(jù)結(jié)果總結(jié)主要結(jié)論。4. 如果使用自編程序，附上源程序。5. 實驗感想。-可編輯 -精品五、附錄參考程序（1 ）繪圖程序，繪圖是跟據(jù)一次實驗結(jié)果繪制并非多次重復(fù)取均值后繪制clear all% 輸入信號樣本個數(shù) L， FIR 濾波器階數(shù) N% L=input('L=');N=input('N=');a=0.95;% 產(chǎn)生 L 個 v(n) 、 u(n) 、 s(n) 和 x(n), 在同一

9、座標(biāo)內(nèi)繪出最后100 個 s(n) 和 x(n)w=-sqrt(3*(1-(0.952)+2*sqrt(3*(1-(0.952)*rand(1,L);%w(n) 的標(biāo)準(zhǔn)差v=-sqrt(3)+2*sqrt(3)*rand(1,L);u=ones(1,L);s(1)=1;% 計算 s(n)i=2;while(i<=L);s(i)=a*s(i-1)+w(i);i=i+1;end;i=1;% 計算 x(n)-可編輯 -精品while(i<=L);x(i)=s(i)+v(i);i=i+1;end;figure(1);% 繪制 s(n)( 紅色 ),x(n)( 藍(lán)色）k=(L-99):1:L

10、;plot(k,s(k),'r',k,x(k),'k-');legend('s(n)','x(n)',0);title('s(n)和 x(n)');xlabel('n');ylabel('輸入信號 ');% 利用 L 個 v(n),s(n) ，估計 Rxx 和 rxs, 調(diào)用矩陣求逆子程序計算h1 ，將 N 個理想的h(n)和估計的h1 繪與同一座標(biāo)內(nèi)%fxx=zeros(1,N);% 計算 fxxfor(i=1:N);for(k=0:(L-i-1);fxx(i)=(1/(L-i)*

11、x(k+1)*x(k+i)+fxx(i);end;end;for(i=1:N);% 生成 Rxx 矩陣for(k=1:N);Rxx(k,i)=fxx(abs(k-i)+1);-可編輯 -精品end;end;rxs=zeros(1,N);% 計算 rxsfor(i=1:N);for(k=0:(L-i-1);rxs(i)=(1/(L-i)*x(k+1)*s(k+i)+rxs(i);end;end;h1=(inv(Rxx)*rxs'for(i=1:N);% 繪制 h( 理想濾波器 )， h1( 估計濾波器 )h(i)=0.238*(0.724)i*u(i);end;figure;k=1:1:N;plot(k,h(k),'r',k,h1(k),'k-')