勾股定理求最短路徑問題

1、.東湖中學(xué)東湖中學(xué)勾股定理的應(yīng)用.考考你的記性：1、勾股定理的文字及符號語言2、在平面上如何求點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線的最短路徑，依據(jù)什么？（1）兩點(diǎn)之間線段最短（2）垂線段最短3、那么如何求某些幾何體中的最短路徑呢？.勾股定理的應(yīng)用之求解幾何體的最求解幾何體的最短路線長短路線長.BA 螞蟻怎么走最近螞蟻怎么走最近? 例例1 如圖如圖 在一個(gè)底面周長為在一個(gè)底面周長為20cm,高高AA為為4cm的圓柱石凳的圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在點(diǎn)食物在B處，恰好一只在處，恰好一只在A處處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從想從A 處爬向處爬向B處

2、，你們想一想，處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？螞蟻怎么走最近？A.方案(1)方案(2)方案(3)方案(4) 螞蟻螞蟻AB的路的路線線BAAdABAABBAO.BAArO4怎樣計(jì)算怎樣計(jì)算AB？在在RtRtAAAAB B中，利用勾股定理可得，中，利用勾股定理可得，222BAAAAB側(cè)面展開圖側(cè)面展開圖其中其中AA是圓柱體的高是圓柱體的高,AB是底面圓周長的一半是底面圓周長的一半(r).圓柱圓柱(錐錐)中的最值問題中的最值問題有一圓形油罐底面圓的周長為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對角B處吃食物，它爬行的最短路線長為多少？AB分析：由于老鼠是沿著圓柱的表面爬行的，故需把圓柱展開

3、成平面圖形.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以發(fā)現(xiàn)A、B分別在圓柱側(cè)面展開圖的寬1m處和長24m的中點(diǎn)處，即AB長為最短路線.(如圖)解：AC = 6 1 = 5 ，BC = 24 = 12， 在RtABC由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169,AB=13(m) .21BAC.正方體中的最值問題正方體中的最值問題例2、如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是（ ）. （A）3 （B） 5 （C）2 （D）1AB分析： 由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如圖）.CABC21. 如圖是一塊長，寬，高分別是6cm，4cm和3

4、cm的長方體木塊一只螞蟻要從長方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（）長方體中的最值問題長方體中的最值問題.第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面， 則這個(gè)長方形的長和寬分別是9和4，則所走的最短線段是=.第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長方形，則這個(gè)長方形的長和寬分別是7和6，所以走的最短線段是 ；=.第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長方形，則這個(gè)長方形的長和寬分別是10和3，所以走的最短線段是=三種情況比較而言，第二種情況最短 答案：.臺階中的最值問題臺階中的最值問題例例1 1、如圖是一個(gè)

5、三級臺階，它的每一級的長寬和高、如圖是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為分別為20dm20dm、3dm3dm、2dm，A和和B是這個(gè)臺階兩個(gè)相對是這個(gè)臺階兩個(gè)相對的端點(diǎn)，的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到則螞蟻沿著臺階面爬到B點(diǎn)最短路程是多少？點(diǎn)最短路程是多少？20203 32 2AB32323AB=25.例例4、如圖，長方體的長、如圖，長方體的長為為15 cm，寬為，寬為 10 cm，高，高為為20 cm，點(diǎn)，點(diǎn)B離點(diǎn)離點(diǎn)C 5 cm,一只螞蟻如果要沿著長方一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)體的表面從點(diǎn) A爬到點(diǎn)爬到

6、點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是多需要爬行的最短距離是多少？少？ 1020BAC155長方體中的最值問題（續(xù)）.BAC1551020B5B51020ACEFE1020ACFAECB2015105.找方法、巧歸納v分別畫出立體圖形和對應(yīng)的平面展開圖v制作實(shí)體模型v歸納出所在直角三角形的兩直角邊的一般性規(guī)律，并記錄在平面圖或模型上.檢測題一：如圖，一只螞蟻沿邊長為a的正方體表面從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B，則它走過的路程最短為（）v答案：a5.檢測題二、如圖是一個(gè)棱長為4cm的正方體盒子，一只螞蟻在D1C1的中點(diǎn)M處，它到BB1的中點(diǎn)N的最短路線是（）102.檢測題三、如圖所示，一圓柱高8cm，底面半徑2cm，一

7、只螞蟻從點(diǎn)A沿表面爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程（取3）是（）10.如圖，一只螞蟻從實(shí)心長方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點(diǎn)C1處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？ABA1B1DCD1C1214分析: 根據(jù)題意分析螞蟻爬行的路線有三種情況(如圖 ),由勾股定理可求得圖1中AC1爬行的路線最短.ABDCD1C1421 AC1 =42+32 =25 ;ABB1CA1C1412 AC1 =62+12 =37 ;AB1D1DA1C1412 AC1 =52+22 =29 . 檢測題四檢測題四.小 結(jié)： 把幾何體適當(dāng)展開成平面圖形，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，或點(diǎn)到直線“垂線段最短”等性質(zhì)來解決問題。.一、臺階中的最值問題一、臺階中的最值問題a ab bc cABabcbcbAB=c22ancnb）（.二、正方體中的最值問題二、正方體中的最值問題ABCABC2aa的長方形的對角線長，即由