2016高一數(shù)學(xué)必修2第二章測試題及答案解析

1、第二章綜合檢測題 時間 120 分鐘，滿分 150 分。 一、選擇題 (本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小 題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的 ) 1 .若直線 a 和 b 沒有公共點(diǎn)，則 a 與 b 的位置關(guān)系是( ) A .相交 B .平行 C.異面 D .平行或異面 2. 平行六面體 ABCD AiBiCiDi中，既與 AB 共面也與 CCi共面 的棱的條數(shù)為 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知平面a和直線 I，則a內(nèi)至少有一條直線與 1( ) A .平行 B .相交 C.垂直 D.異面 4. 長方體 ABCD AiBiCiDi中

2、，異面直線 AB, AQi所成的角等 于( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 5. 對兩條不相交的空間直線 a 與 b,必存在平面a,使得( ) A. a? a, b? a B. a? a, b / a C. a 丄 a, b 丄 a D. a? a, b 丄 a 6. 下面四個命題： 若直線 a b 異面 b c 異面 則 a c 異面； 若直線 a b 相交 b c 相交 則 a c 相交； 若 a/ b 則 a b 與 c 所成的角相等； 若 a 丄 b , bc ,貝y a / c. 其中真命題的個數(shù)為 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. i 7. 在正方體

3、ABCDAiBiCiDi 中 E F 分別是線段 AiBi BiCi 上的不與端點(diǎn)重合的動點(diǎn)，如果 AiE= BiF ,有下面四個結(jié)論： EF 丄 AAi；EF / AC;EF 與 AC 異面；EF /平面 ABCD. 其中一定正確的有 ( ) A . B . C. D . 8 設(shè) a , b 為兩條不重合的直線，a, B為兩個不重合的平面，下 列命題中為真命題的是 ( ) A .若 a , b 與a所成的角相等，則 a/b B .若 a / a, b / 伏 all B,則 a / b C.若 a? a, b?伏 alb ,貝U a/ 3 D .若 a 丄a, b 丄3 a丄3貝y a 丄

4、b 9.已知平面 a丄平面B, aQ B= l，點(diǎn) A a, A?l，直線 AB II l, 直線 AC 丄 l，直線ml a, n/ B則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立 的是（ ） A. AB/m B. AC 丄 m C. AB I B D. AC 丄 B 10. （2016 大綱版數(shù)學(xué)（文科）已知正方體 ABCD AiBiCiDi中，E、 F 分別為 BBi、CCi的中點(diǎn)，那么直線 AE 與 DiF 所成角的余弦值為 B. .3 _ ii.已知三棱錐 D ABC 的三個側(cè)面與底面全等，且 AB=AC = 3, BC= 2,則以 BC 為棱，以面 BCD 與面 BCA 為面的二面角的余 弦值

5、為（） 3 i i A.3 B.3 C. 0 D. 2 i2.如圖所示，點(diǎn) P 在正方形 ABCD 所在平面外，RA 丄平面 ABCD, FA=AB,則 PB 與 AC 所成的角是（ ） C. 45 D. 30 二、填空題（本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分.把答案填 在題中的橫線上） 13. _ 下列圖形可用符號表示為 _ .A. 90 A. 14. 正方體 ABCD AiBiCiDi中，二面角 Ci -AB C 的平面角等 于 _ . 15. 設(shè)平面 a/平面B, A, Ca, B, D B,直線 AB 與 CD 交 于點(diǎn) S，且點(diǎn) S 位于平面a, B之間，AS= 8, B

6、S= 6, CS= i2,則 SD 16. 將正方形 ABCD 沿對角線 BD 折成直二面角 A BD C,有 如下四個結(jié)論： AC 丄 BD; 厶 ACD 是等邊三角形； AB 與平面 BCD 成 60 的角； AB 與 CD 所成的角是 60 . 其中正確結(jié)論的序號是 _ . 三、解答題（本大題共 6 個大題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明， 證明過程或演算步驟） 17. （i0 分）如下圖，在三棱柱 ABC AiBiCi 中， ABC AiBQi 求證：（i）平面 ABiFi /平面 CiBF; 平面 ABiFi丄平面 ACCiAi. 分析本題可以根據(jù)面面平行和面面垂直的判定定理和性質(zhì)

7、定理，尋找使結(jié)論成立的充分條件. 18. （本小題滿分 12 分） 如圖所示， 在四棱錐 P ABCD 中， PAX 平面 ABCD, AB= 4, BC= 3, AD = 5,Z DAB =Z ABC= 90 E 是 CD的中點(diǎn). （1）證明：CD 丄平面 PAE; 若直線 PB 與平面 FAE 所成的角和 PB 與平面 ABCD 所成的角 相等，求四棱錐 P ABCD 的體積. 19. （12 分）如圖所示，邊長為_2 的等邊 PCD 所在的平面垂直于 矩形 ABCD 所在的平面，BC = 2 2, M 為 BC 的中點(diǎn). （1） 證明：AM 丄 PM; （2） 求二面角 P AM D 的

8、大小. 20. （本小題滿分 12 分）（2018 遼寧文，19）如圖，棱柱 ABC A1B1G 的側(cè)面 BCC1B1是菱形，B1CXA1B. (1)證明：平面 ABiC 丄平面 AiBCi； 設(shè) D 是 AiCi上的點(diǎn)，且 AiB/平面 BiCD，求 AiD DCi的值. V2 2i. (i2 分)如圖， ABC 中，AC= BC-AB, ABED 是邊長為 i 的正方形，平面 ABED 丄底面 ABC,若 G, F 分別是 EC, BD 的中 點(diǎn) 八、 C (1) 求證：GF/底面 ABC; (2) 求證：AC 丄平面 EBC; (3) 求幾何體 ADEBC 的體積 V. 分析(i)轉(zhuǎn)化為

9、證明 GF 平行于平面 ABC 內(nèi)的直線 AC; (2)轉(zhuǎn) 化為證明 AC垂直于平面 EBC內(nèi)的兩條相交直線 BC和 BE; (3)幾何 體 ADEBC是四棱錐 C-ABED. 22. （12 分） 如下圖所示， 在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC= 3, BC= 4, AB = 5, AA1 = 4,點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn). (1) 求證：AC 丄 BCi； (2) 求證：AG /平面 CDBi； (3) 求異面直線 ACi與 BiC 所成角的余弦值. 詳解答案 1答案D 2答案C 解析AB 與 CCi為異面直線，故棱中不存在同時與兩者平行的 直線，因此只有兩類： 第一類與 AB

10、平行與 CCi相交的有：CD、C1D1 與 CG 平行且與 AB 相交的有：BB1、AA1, 第二類與兩者都相交的只有 BC,故共有 5 條. 3答案C 解析1 直線 I 與平面a斜交時，在平面a內(nèi)不存在與 I 平行的 直線，二 A 錯； 2 l? a時，在a內(nèi)不存在直線與 I 異面，二 D 錯； 3 l / a時，在a內(nèi)不存在直線與 I 相交. 無論哪種情形在平面a內(nèi)都有無數(shù)條直線與 I 垂直. 4答案D 解析由于 AD / AiDi，則/ BAD 是異面直線 AB, AQi所成的 角，很明顯/ BAD = 90 5答案B 解析對于選項 A，當(dāng) a 與 b 是異面直線時，A 錯誤；對于選 項

11、 B，若 a, b 不相交，則 a 與 b 平行或異面，都存在a,使 a? a, b / a, B 正確；對于選項 C, a 丄a, b a, 一定有 a/ b, C 錯誤；對 于選項 D , a? a, b丄a 一定有 a 丄 b , D 錯誤. 6答案D 解析異面、相交關(guān)系在空間中不能傳遞，故錯；根據(jù)等 角定理，可知正確；對于，在平面內(nèi)，a / c ,而在空間中，a 與 c 可以平行，可以相交，也可以異面，故錯誤. 7答案D 解析如圖所示.由于 AAi丄平面 A1B1C1D1 , EF?平面 AiBiCiDi,則EF 丄 AAi,所以正確；當(dāng) E, F 分別是線段 g , B。 的中點(diǎn)時，

12、EF/ AiCi, 又 AC/ AiCi，貝 S EF / AC，所以不正確；當(dāng) E, F 分別不是線段 AiBi, BiCi的中點(diǎn)時，EF 與 AC 異面，所以不 正確；由于平面 AiBiCiDi /平面ABCD, EF?平面 AiBiCiDi，所以 EF /平面 ABCD，所以正確. 8答案D 解析選項 A 中，a, b 還可能相交或異面，所以 A 是假命題； 選項 B 中，a, b 還可能相交或異面，所以 B 是假命題；選項 C 中，a, B還可能相交，所以 C 是假命題；選項 D 中，由于 a 丄a, a丄則 a / B或 a? B,貝卩B內(nèi)存在直線 I /a,又 b B,則 bI，所

13、以 a 丄 b. 9答案C 解析如圖所示： AB/ l / m; AC 丄 l, m/1? AC 丄 m; AB/ I? AB/ B 3 10答案3 命題意圖本試題考查了正方體中異面直線的所 成角的求解的運(yùn)用. 解析首先根據(jù)已知條件，連接 DF，然后則角 DFDi即為 異面直線所成的角，設(shè)邊長為 2,則可以求解得到 5= DF = DiF, DDi = 2,結(jié)合余弦定理得到結(jié)論. 11答案C 解析取 BC 中點(diǎn) E,連 AE、DE，可證 BC 丄 AE, BC 丄 DE，二 / AED 為二面角 A- BC- D 的平面角 又 AE= ED = V2, AD = 2,AZ AED= 90 故選

14、 C. 12答案B 解析將其還原成正方體 ABCD- PQRS,顯見 PB/ SC, ACS 為正三角形，/ ACS= 60 13答案an片 AB 14答案45 解析如圖所示，正方體 ABCD AiBiCiDi中，由于 BC 丄 AB, BCi丄 AB,貝卩/CiBC 是二面角 Ci AB C 的平面角.又 BCCi是等 腰直角三角形，則/ CiBC= 45 i5答案9 則直線 AB, CD 確定一個平面 ACBD. T all AC / BD , i6答案 解析如圖所示，取 BD 中點(diǎn)，E 連接 AE, CE,則 BD 丄 AE, BD丄 CE,而 AEA CE= E,. BD 丄平面 AE

15、C, AC?平面 AEC, 故 AC 丄BD，故正確. AS_ CS SB= ， 6 = SB，解得 SD= 9. 解C 設(shè)正方形的邊長為 a,則 AE= CE=2a 由知/ AEC= 90 是直二面角A BD C的平面角， 且/ AEC = 90 二 AC= a, ACD 是等邊三角形，故正確. 由題意及知，AE 丄平面 BCD，故/ ABE 是 AB 與平面 BCD 所成的角，而/ ABE=45所以不正確. 分別取 BC, AC 的中點(diǎn)為 M, N, 連接 ME, NE, MN. 1 1 貝 S MN / AB, 且 MN = 2AB= qa, 1 1 ME / CD，且 ME = 2CD

16、pa, / EMN 是異面直線 AB, CD 所成的角. 2 在 RtAAEC 中，AE= CE2a, AC= a, 1 1 NE = 2AC = 2a. MEN 是正三角形，二/ EMN = 60 故正 確. 17證明(1)在正三棱柱 ABCA1B1C1中， T F、F1分別是 AC、A1C1的中點(diǎn)， B1F1 / BF, AF1 / C1F. 又T B1F1 A AF1 = F1, C1F A BF= F, 平面 AB1F1 / 平面 C1BF. (2) 在三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA1 丄平面 A1B1G,. BF 丄 AA 又 BF丄 A1C1, A1C1 A AA1 = A

17、1, B1F1 丄平面 ACC1A1，而 B1F1?平面 AB1F1, 平面 AB1F1丄平面 ACC1A1. 18解析 (1)如圖所示，連接 AC,由 AB= 4, BC= 3,Z ABC= 90 得 AC =5. 又 AD = 5, E 是 CD 的中點(diǎn)，所以 CD 丄 AE. v PA 丄平面 ABCD, CD?平面 ABCD，所以 FAX CD. 而 FA，AE 是平面 FAE 內(nèi)的兩條相交直線，所以 CD 丄平面 FAE. 過點(diǎn) B 作 BG/CD，分別與 AE, AD 相交于 F, G,連接 PF. 由(1)CD 丄平面 FAE 知，BG 丄平面 FAE.于是/ BPF 為直線 P

18、B 與 平面 PAE 所成的角，且 BG 丄 AE. 由 PA 丄平面 ABCD 知，/ PBA 為直線 PB 與平面 ABCD 所成的角. AB= 4, AG = 2, BG 丄 AF,由題意，知/ PBA=Z BPF, 由/DAB =/ABC= 90 知，AD /BC, 又 BG / CD，所以四邊形 BCDG 是平行四邊形，故 GD= BC= 3.于是 AG= 2. 在 RtABAG 中，AB= 4, AG= 2, BGXAF,所以 BG= AB2 + AG2 = 2 5, BF = ABG = .于是 PA = BF = 5 5 . 1 又梯形 ABCD 的面積為 S=寸(5 + 3)

19、X 4= 16,所以四棱錐 P- ABCD的體積為 _ 1 1 8 5 128 5 因?yàn)?sin/ PBA= PA PBsin/ BPF = BF PB ,所以 PA= BF. p V=：x SX PA=：x 16X = . 3 3 5 15 19解析(1)證明：如圖所示，取 CD 的中點(diǎn) E,連接 PE, EM, EA, PCD 為正三角形， PE 丄 CD, PE= PDsin/PDE = 2sin60=羽. 平面 PCD 丄平面 ABCD, PE 丄平面 ABCD，而 AM?平面 ABCD,. PE 丄 AM. T 四邊形 ABCD 是矩形， ADE, ECM , ABM 均為直角三角形

20、，由勾股定理可求得 EM= 3, AM= 6, AE= 3, 2 2 2 EM2 + AM2 = AE2. AM 丄 EM. 又 PEA EM = E,. AM 丄平面 PEM,. AM 丄 PM. (2) 解：由(1)可知 EM 丄 AM , PM 丄 AM , / PME 是二面角 P- AM D 的平面角. PE J3 tan/ PME = EM= 3= 1 ,/ PME = 45 二面角 P AM D 的大小為 45 20解析 B (1)因?yàn)閭?cè)面 BCCiBi是菱形，所以 BiC 丄 BCi, 又已知 BiC 丄 AiB，且 AiBQ BCi= B, 所以 BiC 丄平面 AiBCi， 又 BiC?平面 ABiC 所以平面 ABiC丄平面 AiBCi . 設(shè) BCi交 BiC 于點(diǎn) E,連接 DE，則 DE 是平面 AiBCi與平面 BiCD 的交線. 因?yàn)?AiB/平面 BiCD,AiB?平面 AiBCi,平面 AiBCi Q平面 BiCD =DE，所以 AiB/ DE. 又 E 是 BCi的中點(diǎn)，所以 D 為 AiCi的中點(diǎn). 即 AiD DCi = i. 2i解(i)證明：連接 AE,如下圖所示. T ADEB 為正方形， 二 AEA BD= F,且 F 是 AE 的中點(diǎn)， 又 G 是 EC